同济七版高等数学1.4-1.5 无穷小与无穷大 极限运算法则.pptx

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一、无穷小与无穷大二、极限的运算法则第四节无穷小与无穷大第五节极限运算法则 本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。首先来介绍无穷小。在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义。 1.定义极限为零的变量称为无穷小量,简称如,无穷小是指函数变化的趋势.}无穷小.一、无穷小在某个过程中 定义1记作1)无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆;2)零是可以作为无穷小的唯一的数；注“无穷小量”并不是表达量的大小,而是表达它的变化状态的.“无限制变小的量”3)称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程。 2.无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性 意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3.无穷小的运算性质:定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证 注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 例1解先变形再求极限. 定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证 推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小 例2证证明有界量与无穷小量的乘积 二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大. 特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. 例无穷大量是否一定是无界量?在某极限过程中,无界量是否一定是无穷大量?但该数列是无界的. 再如是无界函数,但不是无穷大.因为取而取当所以f(x)不是无穷大!注：无穷大量是变量，在变化过程中可以变得大于任意给定的正数，反映了函数的一个变化趋势；二无界量实质函数绝对值可以大于事先给定的正数M，是一个数值概念，不反映函数的变化趋势。 证例的图形的铅直渐近线.定义铅直渐近线 三、无穷小与无穷大的关系定理4在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证 意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论. ∗有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大;∗有非零极限的变量(或无穷大)与无穷大之积仍为无穷大;∗用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷大.容易证明例解∗两个正(负)无穷大之和仍为正(负)无穷大; 四、极限运算法则定理1证由无穷小运算法则,得 有界，注①此定理对于数列同样成立②此定理证明的基本原则：③(1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数④(2)有两个重要的推论 推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2⑤定理的条件：存在商的情形还须加上分母的极限不为0⑥定理简言之即是：和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商⑦定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对任何一个过程都成立 定理2那末如果提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理可由前面的定理直接得出结论. 定理3证由定理1(1),由保号性定理,即故有有 注意应用四则运算法则时,要注意条件:参加运算的是有限个函数,它们的极限商的极限要求分母的极限不为0.不要随便参加运算,因为不是数,它是表示函数的一种性态.都存在, 五、求极限方法举例解例 小结则有则有 解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,例得 解例消去零因子法再求极限.方法分子,分母的极限都是零.先约去不为零的无穷小因子 例解无穷小因子析出法分子,分母的极限均为无穷大.方法先用去除分子分母,分出无穷小,再求极限.先将分子、分母同除以x的最高次幂,无穷小分出法以分出再求极限.求有理函数当的极限时,无穷小, 小结例解“抓大头” 例解先作恒等变形,和式的项数随着n在变化,再求极限.使和式的项数固定,原式=不能用运算法则.方法 例解“根式转移”法化为型不满足每一项极限都存在的条件,不能直接应用四则运算法则.分子有理化 练习解原式=解原式= 设函数是由函数与函数复合而成,有定义,若且存在有则定理4)]([xgfy=)(ufy=)(xgu=)]([xgfy=,)(0uxg¹六、复合函数的极限运算法则证有对上述有取故取证及同时成立,即h<-0)(uxg0)(0¹-uxg0)(uxg- 化为如果函数满足该定理的条件,那么作代换可把求此定理表明：——极限过程的转化 例求极限:解可看作与复合而成.并且因而 例解原式=这种用变量代换方法求极限,实质就是复合函数求极限法.故 内容小结1.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系3.无穷小与无穷大的关系4.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件 5.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(分母不为0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂(2)复合函数极限求法设中间变量(“抓大头”) 思考题在某个过程中，若有极限，无极限，那么是否有极限？为什么？(1)（2）A.无穷小量B.无穷大量C.有界量非无穷小量D.无界但非无穷大量试确定常数使(3)0)1(lim33=--¥®xaxx（4）求 思考题在某个过程中，若有极限，无极限，那么是否有极限？解答没有极限．假设由极限运算法则可知：必有极限，与已知矛盾，故假设错误．有极限，为什么？(1) 无界，不是无穷大． 试确定常数解令则使即(3)0)1(lim33=--¥®xaxx 4.求解法1原式=解法2令则原式=