吉林省长春市第十一高中2014-2015学年高一数学下学期期末考试试题 理.doc

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长春市十一高中2014-2015学年度高一下学期期末考试数学试题（理科）一、选择题（每小题4分，共48分）1．若是互不相同的直线，是平面，则下列命题中正确的是（）A.若则B.若则C.若则D.若则2.空间直角坐标系中,点关于平面对称的点的坐标为（）A．B．C．D．3.若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.无法确定4．已知等差数列的前项和为，则数列的前100项和为（）A.B.C.D.5．点是直线上的动点，则代数式有（）A.最小值6B.最小值8C.最大值6D.最大值86．球面上有A、B、C、D四个点，若AB、AC、AD两两垂直，且AB=AC=AD=4，则该球的表面积为（）A.B.C.D.7.如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为()8.数列满足且,则数列的第100项为（）A．B．C．D．9.若等比数列的各项均为正数，前项的和为，前项的积为，前项倒数的和为，则有（）A．B．C．D．10．三棱锥三条侧棱两两垂直，PA=a，PB=b，PC=c，三角形ABC的面积为S，则顶点P到底面的距离是（）A.B.C.D.11．正三棱锥V-ABC的底面边长为，E,F,G,H分别是VA,VB,BC,AC的中点，则四边形EFGH的面积的取值范围是（）A.B.C.D.12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，过DD1的中点作直线，使得与BD1所成角为40°，且与平面A1ACC1所成角为50°，则的条数为（）5 A．1B．2C．3D．无数二、填空题（每小题4分，共16分）13．在直角三角形中，，，若，则．14．若x>0,y>0,且y=,则x+y的最小值为．15．如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为6的等边三角形．若AB=4，则四面体ABCD外接球的表面积为．ABCD16．在一个数列中，如果对任意,都有为常数，那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积．已知数列是等积数列，且，公积为，记的前项和为，则：（1）．（2）．三．解答题：（本大题共6小题，共66分）17．(本小题满分10分)设（1）求的最大值；（2）求最小值.18．(本小题满分10分)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S.19．(本小题满分12分)设数列是公比小于1的正项等比数列，为数列的前项和，已知，且成等差数列。（1）求数列{an}的通项公式；（2）若，且数列是单调递减数列，求实数的取值范围。20．（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，底面是矩形，且，，．若为的中点，且．（1）求证：平面；（2）线段上是否存在一点，使得二面角为？若存在，求出的长；不存在，说明理由．5 21．（本小题满分12分）如图，已知斜三棱柱的侧面与底面ABC垂直，(1)求侧棱与底面ABC所成的角；(2)求侧面与底面ABC所成的角；(3)求顶点C到平面的距离.22.（附加题，本小题满分10分，该题计入总分）已知数列中，，，记为的前项的和．设，（1）证明：数列是等比数列；（2）不等式：对于一切恒成立，求实数的最大值.5 2014—2015学年高一下学期末考试理科数学参考答案一、CCBAADBDCCBB二、13.14.1815.16.2，4700三、17、（1）……………………5分……………10分18、解：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8、高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形，如图．(1)几何体的体积为．……………………5分(2)正侧面及相对侧面的底边上的高为．左、右侧面的底边上的高为．故几何体的侧面积为．……………………10分19、解：（1）由题可设：，且……………………2分成等差数列，所以，所以，所以……………………4分所以数列的通项公式为：；……………………6分（2），由，得，……………………8分即，所以……………………10分故.……………………12分20、（1）证明：∵，且，，∴，∴∴.……………………3分又，且，∴平面．……………………5分（2）解：过作，以为原点，建立空间直角坐标系（如图），5 zOxyAByCarDeB１Ｃ１A１D１OarPar则，，……………………6分设，平面的法向量为=，∵，，且取，得=．……………………8分又平面,且平面,∴平面平面.又,且平面平面∴平面.不妨设平面的法向量为=．……………………10分由题意得，解得或（舍去）．∴当的长为时，二面角的值为．……………………12分21、(1)解：作A1D⊥AC，垂足为D，由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC∴∠A1AD为A1A与面ABC所成的角……………………2分∵AA1⊥A1C，AA1＝A1C，∴∠A1AD＝45°为所求.……………………4分(2）解：作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB，∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角.……………………6分由已知，AB⊥BC，得ED∥BC又D是AC的中点，BC＝2，AC＝2，∴DE＝1，AD＝A1D＝，tan∠A1ED＝＝．故∠A1ED＝60°为所求.……………………8分(3)方法一：由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A1ABB1的距离.连结HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB.又A1E⊥AB，知HB∥A1E，且BC∥ED，∴∠HBC＝∠A1ED＝60°∴CH＝BCsin60°＝为所求.方法二：连结A1B.根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥C－A1AB的高h.由V锥C－A1AB＝V锥A1－ABC得S△AA1B·h＝S△ABC·A1D，……………………10分即×2h＝×2×3∴h＝为所求.……………………12分5 22、（1）所以是以，公比为的等比数列.……………………4分（2）由知,,当时,当时,即……………………6分即得所以……………………8分因（当时等号成立），即所求的最大值.……………………10分5