四川省泸县第一中学2022-2023学年高二下学期3月月考文科数学 Word版含解析.docx

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泸县一中2022-2023学年高二下期第一学月考试数学（文史类）试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．本试卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，请将答题卡交回.第I卷选择题（60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.现须完成下列2项抽样调查：①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查；②某生活小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁有180人，年龄在超过30岁不超过60岁的有270人，60岁以上的有90人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量为30的样本.较为合理的抽样方法分别为（）A.①抽签法，②分层随机抽样B.①随机数法，②分层随机抽样C.①随机数法，②抽签法D.①抽签法，②随机数法【答案】A【解析】【分析】根据抽签法以及分层抽样的使用条件，可得答案.【详解】对于①，由于抽取的总体个数与样本个数都不大，则应用抽签法；对于②，抽取的总体个数较多，且总体有明确的分层，抽取的样本个数较大，则采用分层随机抽样.故选：A.2.甲，乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（）A.在这5天中，甲，乙两人加工零件数的极差相同B.在这5天中，甲，乙两人加工零件数的中位数相同C.在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数D.在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差 【答案】C【解析】【分析】由茎叶图的数据，分别计算甲、乙加工零角个数的极差，中位数，平均数，方差，进而得解.【详解】甲在5天中每天加工零件的个数为：18,19,23,27,28；乙在5天中每天加工零件的个数为：17,19,21,23,25对于A，甲加工零件数的极差为，乙加工零件数的极差为，故A错误；对于B，甲加工零件数的中位数为，乙加工零件数的中位数为，故B错误；对于C，甲加工零件数的平均数为，乙加工零件数的平均数为，故C正确；对于D，甲加工零件数的方差为，乙加工零件数的方差为，故D错误；故选：C3.若函数的图象在处的切线与直线垂直，则的值为（）A.1B.2或C.2D.1或【答案】D【解析】【分析】由两线垂直可知处切线的斜率为3，利用导数的几何意义有，即可求的值.【详解】由题意知：直线的斜率为，则在处切线的斜率为3，又∵，即，∴或，故选：D．4.函数的图象大致为（） AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】判断函数的奇偶性，再判断函数值的正负，从而排除错误选项，得正确选项.【详解】因为所以得，所以为奇函数，排除C；在，设，，单调递增，因此，故在上恒成立，排除A、D，故选：B.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 5.正方形的边长为2，以为起点作射线交边于点，则的概率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出以为起点作射线交边于点时所有射线形成的角的大小，再考虑对应的射线所形成的角的大小，从而可求概率.【详解】如图，在边上取一点，使得，则.以为起点作射线交边于点时所有射线形成的角为，以为起点作射线交边于点且时所有的射线形成的角为，故时对应的概率为.故选：B.6.已知为实数，则“”是“方程表示的曲线为椭圆”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】取曲线不是椭圆，充分性不成立；反之成立.【详解】当时，取曲线是圆而不是椭圆，故充分性不成立；当方程表示的曲线为椭圆时，成立，所以“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.故选：B【点睛】方法点晴：曲线表示椭圆的充要条件是：，且.7.用辗转相除法求正整数、的最大公约数的程序框图如图所示，用其计算730和675的最大公约数时，当第3次到达判断框时，、、的值分别是（）A.50，15，5B.40，15，10C.60，15，10D.55，15，10【答案】D【解析】【分析】根据框图，代入循环结构，依次得到的值.【详解】，进入循环，，，，，此时，，.故选D【点睛】本题考查程序框图的循环结构，里面涉及求余函数，意在考查理解和计算，属于基础题型. 8.某市2016年至2020年新能源汽车年销量y（单位：百台）与年份代号x的数据如下表，若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为，则表中的值为（）年份20162017201820192020年份代号x01234年销量y10153035A.22B.20C.30D.32.5【答案】B【解析】【分析】先求出、，再利用回归直线过进行求解.【详解】由题意，得，，因为y关于x的回归直线方程为，所以，解得.故选：B.9.圆关于直线对称，则的最小值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据圆的标准方程得出圆的圆心，由圆的对称性可得直线过圆心，得到关于、的关系式，运用基本不等式可求得的最小值.【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，而直线经过圆心，所以，得，因为，， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：B.【点睛】本题考查圆的对称性，基本不等式的应用，关键在于巧妙地运用“”，构造基本不等式，属于中档题.10.正方体，棱长为2，M是CD的中点，则三棱锥的体积为（）A.B.2C.D.4【答案】B【解析】【分析】取中点，连接,通过计算证明平面，再根据求解即可.【详解】解：如图所示：取中点，连接,由题意可得,,,所以,,所以可得,,所以,所以,,又因为, 所以,平面,所以=.故选:B.11.已知圆，过直线上一点向圆作切线，切点为，则的面积最小值为（）A.3B.C.D.【答案】B【解析】【分析】结合图形，利用勾股定理可知取得最小值时也最小，从而求得，进而可得的面积最小值.【详解】由圆，得圆心，半径，所以圆心到直线的距离为，因为所以当直线与垂直时，取得最小值，此时也最小，故，所以，即的面积最小值为.故选：B. 12.已知，，，则，，的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用导数确定其单调性，由单调性比较大小可得．【详解】设，则，时，，是减函数，又，所以，即，故选：D．第II卷非选择题（90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13.某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选________户．【答案】56【解析】【分析】由分层抽样计算方法有，中等收入家庭的户数占总户数的比例再乘以要抽取的户数，即可得到答案.【详解】该社区共有户.利用分层抽样的方法,中等收入家庭应选户故答案为：56【点睛】本题考查分层抽样，注意抽取比例是解决问题的关键，属于基础题. 14.已知实数满足，则的最大值为___________．【答案】0【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义计算作答.【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影（含边界），其中，目标函数，即表示斜率为2，纵截距为z的平行直线系，画出直线，显然直线经过点A，其纵截距是经过阴影且斜率为2，纵截距为z的平行直线系中最大的，所以的最大值为0.故答案为：015.设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若轴，则椭圆的方程为__________【答案】【解析】【详解】试题分析：如下图，∵轴，∴，设，又∵，则点坐标为带入椭圆为解得，所以椭圆的方程为 .考点：1.椭圆的标准方程；2.椭圆的性质.16.若对任意的，均有成立，则称函数为和在上的“中间函数”．已知函数，且是和在区间上的“中间函数”，则实数m的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】根据“中间函数”的定义列出不等式，将问题转化成不等式恒成立问题，利用参变分离以及构造函数的方法来解决函数最值，从而求出的取值范围.【详解】依题意得：已知条件等价为：在区间上恒成立对于在区间上恒成立，变形为：令，易知单调递增，对于在区间上恒成立，变形为：令则为增函数，在单调递增， 综上所述：即故答案为：.【点睛】本题考查了用参变分离的方法解决恒成立的问题，考查了用导数求函数单调性、极值、最值以及恒成立的等价形式，对学生分析问题和解决问题的能力有一定的要求，属于难题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知的极坐标方程为，以极点O为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，（1）求的直角坐标方程，（2）过作直线l交圆于P，Q两点，且，求直线l的斜率．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式即可求解；（2）设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（t为参数），代入圆方程中化简，利用根与系数的关系，结合已知和参数的几何意义即可求解.【小问1详解】解：因为的极坐标方程为：，且，所以，，故的直角坐标方程为.【小问2详解】解：设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（t为参数），与联立，得．点P对应的参数为，点Q对应的参数为， 则，因为，所以，联立可得，解得：，所以直线的斜率为或.18.“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌．”天宫课堂”是结合载人飞行任务，贯穿中国空间站建造和在轨运营系列化推出的，将由中国航天员担任“太空教师”，以青少年为主要对象，采取天地协同互动方式开展．2022年10月12日15时40分，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲．学校针对这次直播课，举办了”天宫课堂”知识竞赛，有100名学生代表参加了竞赛，竞赛后对这100名学生的成绩（满分100分）进行统计，将数据分为［60，70），［70，80），［80，90），［90，100]这4组，画出如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中m的值；（2）估计这100名学生竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；（3）若该校准备对本次知识竞赛成绩较好的40%的学生进行嘉奖，试问被嘉奖的学生的分数不低于多少？【答案】（1）0.005（2）84.5（3）87.5【解析】【分析】（1）利用频率组距直方图各个小长方形的面积之和为进行计算；（2）根据直方图数据和平均数的计算公式进行计算求解；（3）根据题意，从高分往低分统计，计算出小长方形的面积之和为时即可. 【小问1详解】由图可得,解得【小问2详解】估计这100名学生竞赛成绩的平均数．【小问3详解】设被嘉奖的学生的分数不低于，因为第四组的频率为，第三组的频率为，所以，所以，得．19.已知是函数极值点，则：（1）求实数的值．（2）求函数在区间上的最值．【答案】（1）；（2）在上的最小值为，最大值为.【解析】【分析】（1）由求得的值；（2）结合函数的单调性来求得函数在区间上的最值.【小问1详解】，由题意知，或，时，，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以为函数的极值点，满足要求； 时，，因为，当且仅当时，，所以函数在上单调递增，不是函数的极值点，不符合题意.则.【小问2详解】由（1）知，且在单调递减，在单调递增，又，，，则，.20.如图所示，在直四棱柱中，，，且，，，M是的中点．（1）证明；（2）求点B到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明平面，利用线面垂直证明线线垂直即可；（2）利用等体积法求解店面距离即可.【小问1详解】如图、连接BD， ∵，，∴，∴，∴．∵平面ABCD，∴，又，∴平面，∵平面，∴．【小问2详解】解：连接BM，．由已知可得，，，∴，∴．设点B到平面的距离为h，由（1）知BC⊥平面，∴三棱锥的体积，即，解得，即点B到平面的距离为．21.已知，.（1）证明：；（2）证明：当时，.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）将所证不等式转化为在上恒成立，利用导数可求得在上单调递增，得到，由此可得结论；（2）根据（1）中结论，利用放缩法可知要证，只需证在上恒成立即可；构造函数，利用导数可求得，根据可得结论.【小问1详解】要证，只需证，即证；令，则；令，则在上恒成立，在上单调递增，即在上单调递增，又，当时，；在上单调递增，，即，原不等式得证.【小问2详解】由（1）得：当时，，，，则当对恒成立时，不等式恒成立；令，则， 令，则在上恒成立，在上单调递增，即在上单调递增，又，在上恒成立，在上单调递增，，即；当时，，即，当时，.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证明与三角函数有关的不等式的问题，解题关键是能够通过放缩法，将三角函数进行转化，从而变为函数最值的求解问题，通过对函数最值的求解，得到恒成立的不等式.22.已知，分别是双曲线C：(，)的左、右焦点，，P是C上一点，，且.（1）求双曲线C的标准方程；（2）经过点的直线l与双曲线C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D，过点O作(O为坐标原点)，垂足为M.则在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存，.【解析】【分析】(1)根据双曲线的定义取出a、b、c即可；(2)设BD交x轴于E点，∵OM⊥BD，∴若在x轴上存在定点N，使得为定值，则E为定点，N为OE中点，，即直线BD过x轴上的定点E.【小问1详解】由题意得， ∵，，∴，又，∴，解得，∴，，∴双曲线C的标准方程为.【小问2详解】由(1)得，设，，则，易知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，，联立直线l与双曲线C的方程，消去x得，∵，∴，.∵直线BD的斜率，∴直线BD的方程为，设BD交x轴于E点，如图，∵OM⊥BD，∴若在x轴上存在定点N，使得为定值，则E为定点，N为OE中点，，即直线BD过x轴上的定点E.在直线BD的方程中，令，得 ，∴直线BD过定点.∴，则.综上，在x轴上存在定点，使得为定值.