四川省泸县第一中学2022-2023学年高二下学期第二学月月考文科数学 Word版含解析.docx

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泸县一中2023年春期高二第二学月考试文科数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2．考试结束后，将本试卷自己保管，答题卡交回.3.考试时间：120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，，在复平面内，复数和所对应的两点之间的距离是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的几何意义以及两点间的距离公式即可求解.【详解】，在复平面内对应的点为，，在复平面内对应的点为，所以两点之间的距离为.故选：C2.设函数，则（）A.-6B.-3C.3D.6【答案】C【解析】【分析】根据瞬时变化率的求解方法求解即可.【详解】解：根据导数的定义：， 故选：C.【点睛】本题考查函数的瞬时变化率的求解问题，是基础题.3.某个国家某种病毒传播的中期，感染人数和时间（单位：天）在天里的散点图如图所示，下面四个回归方程类型中最适宜作为感染人数和时间的回归方程类型的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据散点图据曲线形状判断．【详解】，，A中是常数，B中是增函数，C中是减函数，D中是减函数，散点图所有点所在曲线的切线的斜率随的增大，而增大，而四个选项中，A斜率不变，CD的斜率随的增大而减小，只有B满足．故选：B．4.函数的定义域为，导函数在在的图象如图所示，则函数在内极值点有 A.个B.个C.个D.个【答案】C【解析】【详解】分析：根据极值的定义，观察图象知导数值变化的个数，即为极值点的个数．详解：∵函数极值点满足导数为0，且左右两侧导数一正一负，观察导函数图象，可得，满足条件的点为c，d，e，f共4个故选C点睛：本题主要是通过导函数的图象研究函数的极值问题．如果是导函数，则需要看导数值的正负变化，如果是原函数，则看的是函数的单调性的变化．5.已知函数，则的大致图像正确的是（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值，即可判断；【详解】解：因为，所以，所以为偶函数，函数图象关于轴对称，故BD排除；又，因为，所以，，所以，故排除A；故选：C6.已知函数的定义域为，：，：是增函数，则是的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由已知，可根据题意，借助导数和函数为增函数可以求解出的取值范围，然后与命题进行对比从而做出选择.【详解】由已知，命题：，命题：是增函数，函数的定义域为，， 若函数为增函数，则在上恒成立，等价于在上恒成立，所以，所以命题：是增函数，等价于，显然，是的充分不必要条件.故选：B.7.已知直线将圆平分，且与直线垂直，则的方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意得出直线过圆心，结合垂直关系求得斜率，即可得到直线方程.【详解】因为直线将圆平分，所以直线过圆心，因为直线与直线垂直，所以斜率为，所以直线，故选：D8.先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为，，则，，3能够构成等腰三角形的概率是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知，先求解基本事件总数，然后再分别列出满足三角形为等腰三角形的情况，然后按照古典概型的计算方法进行计算即可.【详解】由已知，先后两次抛掷同一个骰子，事件总数为，当时，时，符合要求，有种情况；当时，时，符合要求，有种情况；当时，时，符合要求，有种情况； 当时，时，符合要求，有种情况；当时，时，符合要求，有种情况；当时，时，符合要求，有种情况；所以能够构成等腰三角形的共有种情况，因此所求概率为：.故选：C.9.若函数取极大值和极小值时的的值分别为0和，则A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由函数极值的性质可知，极值点处的导数为零，且左右两侧导数异号，据此可以列出关于a，b的方程（组），再进行判断．详解】设f（x）=ax3+bx2（a≠0），则f′（x）=3ax2+2bx，由已知得且a＞0，即化简得a+2b=0．故选D．【点睛】可导函数在其极值点处的导数为零，且左右两侧的导数值异号，有些学生会忽视导数异号这一条件．在解答题中，在利用导数为零列方程求出待定字母的值后，一般会对极值点异侧的导数异号这一条件进行验证．10.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作垂直于实轴的弦，若，则的离心率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先根据已知条件建立等量关系，进一步利用通径和焦距间的等量求出双曲线的离心率． 【详解】解：双曲线的左右焦点分别为、，过作垂直于实轴的弦，若，则：△为等腰直角三角形．由于通径，则：，解得：，所以：，解得：；由于e＞1，所以：，故选：C．【点睛】本题考查通径在求离心率中的应用，等腰直角三角形的性质的应用．属于基础题型．11.在正三棱锥中，，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】取AC的中点F，连结EF.判断出（或其补角）为异面直线与所成角.取DC的中点G，连结AG.分别求出，，，由余弦定理求出异面直线与所成角的余弦值.【详解】解：如图：取AC的中点F，连结EF. 因为为中点，所以.所以,（或其补角）为异面直线与所成角.取DC的中点G，连结AG，则，在中，，所以,所以.在中，，由余弦定理得：，所以.在底面正三角形BCD中，因为，为中点，所以.在中，，，，由余弦定理得：.所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A12.已知实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】构造函数，利用导数求出函数的单调区间及最值，再根据已知条件即可得出答案.【详解】解：设，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，故，所以，又，所以，所以.故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知满足约束条件，则目标函数的最大值为______．【答案】【解析】【分析】由约束条件可得可行域，将问题转化为在轴截距最小，利用数形结合的方式可得结果.详解】由约束条件可得可行域如下图所示，当取最大值时，在轴截距最小，由图象可知：当过时，在轴截距最小，由得：，即，.故答案为：.14.若函数在区间内单调递增，则的取值范围__________.【答案】【解析】 【分析】由题意得出导函数在上恒成立，即在上恒成立，求得即可得解.【详解】在上恒成立，所以在上恒成立，当，，所以，故答案为：.15.在四面体中，，，，则四面体的外接球的体积为_____________________________．【答案】.【解析】【分析】根据三角形的边长关系得到再结合题干得到平面，，进而得到三角形BCD和三角形ACD有公共的斜边，得到球心为的中点进而求解.【详解】由题意知，，∴，∵，∴平面，∴，∴在中，，∴四面体的外接球的球心为的中点，则其半径，故球的体积为故答案为.【点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.16.已知定义在上的函数的图象关于点对称，，若函数图象与函数图象的交点为，则_____． 【答案】4046【解析】【分析】由题意，函数图象与函数图象的交点也关于点对称，再根据函数的对称性求解即可.【详解】由题意，定义在上的函数的图象关于点对称，关于点对称，故函数图象与函数图象的交点也关于点对称.不妨设，则由函数的对称性可得，，...，，，，，...，，，故.故答案为：三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答17.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点为曲线上的动点，点在线段的延长线上且满足点的轨迹为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）设点的极坐标为，求面积的最小值.【答案】（1）：，：；（2）2.【解析】【分析】（1）消去参数，求得曲线的普通方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，即可求得曲线的极坐标方程，再结合题设条件，即可求得曲线的极坐标方程； （2）由,求得，求得面积的表达式，即可求解.【详解】（1）由曲线的参数方程为(为参数)，消去参数，可得普通方程为，即，又由，代入可得曲线的极坐标方程为，设点的极坐标为，点点的极坐标为，则，因为，所以，即，即，所以曲线的极坐标方程为.（2）由题意，可得,则，即，当，可得的最小值为2.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.18.成都市都江堰猕猴桃闻名中外，每年月份猕猴桃大量上市．某猕猴桃企业计划种植红心猕猴桃，绿心猕猴桃两种猕猴桃品种，通过大量考察研究得到如下统计数据．红心猕猴桃的亩产量约为公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：年份年份编号单价（元/公斤）绿心猕猴桃亩产量的频率分布直方图如图所示： （1）若红心猕猴桃的单价（单位：元/公斤）与年份编号间具有线性相关关系，请求出关于的回归直线方程，并估计年红心猕猴桃的单价；（2）利用上述频率分布直方图估计绿心猕猴桃的平均亩产量（同一组数据用中点值为代表）；参考公式：回归直线方程，其中，．【答案】（1），年红心猕猴桃的单价约为元/公斤（2）公斤【解析】【分析】（1）计算出、的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出回归直线方程，再将代入回归直线方程，可得出年红心猕猴桃的单价；（2）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加可得出绿心猕猴桃的平均亩产量.【小问1详解】解：，．，，故回归直线方程为，当时，，故年红心猕猴桃的单价预计为元/公斤.【小问2详解】 解：由频率分布直方图可知，绿心猕猴桃的平均亩产量为公斤.19.如图，已知四棱锥中，平面，底面是直角梯形，且．（1）求证：平面；（2）若是的中点，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理证明，由平面，可得．从而可证得平面（2）在直角梯形中，过作于点，则四边形为矩形，，．求得，计算的面积，根据到平面的距离是到平面距离的一半，求得棱锥的高，代入体积公式计算．【详解】解：（1）证明：平面，∴在中，依余弦定理有：，∴又，∴，即又，∴平面（2）在直角梯形中，过作于点，则四边形为矩形，，．在中，可得，，．， 是的中点，到平面的距离是到平面距离的一半，．【点睛】本题考查了线面垂直的判定，考查了三棱锥的换底性及棱锥的体积公式，涉及知识较多，对学生的推理论证能力有一定的要求，属于中档题．20.已知函数在处切线与轴平行.（1）求的值；（2）若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，得到；（2）令，则问题转化为与轴有三个交点，求出函数导函数，即可得到函数的单调性与极值，即可得到不等式组，解得即可；【小问1详解】解：因，所以，在处的切线与轴平行，，解得．【小问2详解】解：令，则原题意等价于图象与轴有三个交点，由，解得或；由，解得． 在时取得极大值；在时取得极小值．故，．21.设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.【答案】(1)椭圆方程为;(2)直线l的斜率的取值范围为.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确a的值，由，得，再利用，可解得a的值；（Ⅱ）先化简条件：，即M再OA的中垂线上，，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求；利用两直线方程组求H，最后根据，列等量关系即可求出直线斜率的取值范围.试题解析：（Ⅰ）解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.（Ⅱ）解：设直线的斜率为（），则直线的方程为.设，由方程组，消去，整理得.解得，或，由题意得，从而. 由（Ⅰ）知，，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.设，由方程组消去，解得.在中，，即，化简得，即，解得或.所以，直线的斜率的取值范围为.【考点】椭圆的标准方程和几何性质，直线方程【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．22.已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围，并证明．【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间．（2），证明见解析【解析】 【分析】（1）对函数求导，然后由导数的正负可求出函数的单调区间，（2）设直线与相切，切点坐标为，然后利用导数的几何意义可求出的值，再由题意可知有两解，从而可求出实数的取值范围，不妨设，则，，两式相加，相减化简变形得，则将问题转化为，令，再次转化为在恒成立即可，构造，利用导数求出其最小值大于零即可.【小问1详解】当时，定义域为，故，所以在定义域上单调递增，∴的单调递增区间为，无单调递减区间．【小问2详解】由题意可知有两解，设直线与相切，切点坐标为，则，解得，，，则、、的函数图象如下所示： 要使有两解，即与有两个交点，∴，即．∴实数的取值范围是．不妨设，则，，两式相加得：，两式相减得：，∴，故，要证，只需证，即证，令，故只需证在恒成立即可．令，则，∴在上单调递增，∴，即在恒成立．∴．