四川省蓬溪中学校2022-2023学年高一下学期第二次质量检测数学Word版含解析.docx

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蓬溪中学高2022级第二学期第二次质量检测数学试题第Ⅰ卷共60分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.半径为4，圆心角为1弧度的扇形的面积是（）A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】【分析】利用扇形面积公式直接计算.【详解】已知，，则扇形的面积.故选：C2.已知命题：向量，所在的直线平行，命题：向量，平行，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义可解．【详解】因为向量，所在的直线平行时，可得向量，平行，则充分性成立，而向量，平行时，向量，所在的直线平行或重合，则必要性不成立，则命题是的充分不必要条件，故选：A．3.已知，则的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】确定得到，，展开计算得到答案.【详解】，，，故，.故选：A4.函数的大致图像为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求函数的定义域，并判断函数的奇偶性，从函数图像对称性角度排除部分选项，再以特殊值排除部分选项即可解决.【详解】函数定义域为R，由可知，函数为R上奇函数，其图像关于原点中心对称，排除BD；由可得，或,则是函数的一个零点，是函数的第一个正值零点，由，可排除C，选A. 故选：A5.平面向量与的夹角为，若，则（）A.B.2C.2D.4【答案】B【解析】【分析】由已知得出，，再由计算即可.【详解】，则，有，.故选：B6.在平行四边形中，是对角线上靠近点的四等分点，点在上，若，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设，其中，根据平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得的值.【详解】由平面向量加法的平行四边形法则可得，因为是对角线上靠近点的四等分点，则，设，其中，则，所以，，可得，因此，. 故选：D.7.函数（其中，）的图象如图所示，为了得到的图象，则需将的图象（）A.横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位B.横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位C.横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位D.横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位【答案】D【解析】【分析】先根据图象的特点可求出，然后再根据周期变换与相位变换即可得出.【详解】由图象可知：，则，由，解得，则，∵的图象过点，则，可得，解得，又∵，则，故.故将函数图象的横坐标伸长到原来的2倍得到 的图象，然后再向右平移个单位即可得到的图象.故选：D.8.已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的（）A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】D【解析】【分析】化简条件后分析点轨迹【详解】条件可化为，故故，动点P的轨迹一定通过的垂心．故选：D二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.给出下面四个命题，其中是真命题的是（）A.B.零向量与任意向量平行C.是的充分不必要条件D.向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上【答案】AB【解析】【分析】利用相反向量的定义判断选项A；利用规定：零向量和任意向量平判断选项B；利用相等向量的定义判断选项C；利用平行四边形可判断选项D.【详解】对A，，A正确；对B，我们规定：零向量与任意向量平行，B正确；对C，由只能确定长度相等，不等确定方向， 所以推不出，又由可得，所以是的必要不充分条件，C错误；对D，在平行四边形中，向量与向量是共线向量，但点A，B，C，D不在同一条直线上，D错误；故选:AB.10.下列三角式中，值为的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】利用二倍角公式可判断ABD选项；计算出的值，可判断C选项.【详解】对于A选项，，A满足条件；对于B选项，，B满足条件；对于C选项，，C不满足条件；对于D选项，，D满足条件.故选：ABD.11.下列说法中不正确的为（）A.已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是B.向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C.已知向量，的夹角为，，，则在方向上的投影向量的模为 D.非零向量和满足，则与的夹角为【答案】ACD【解析】【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可判断A选项；利用平面向量基底的定义可判断B选项；计算向量的投影可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项．【详解】对于A，，，且与的夹角为锐角，则，，且与不共线，即，即，所以且，故A错误；对于B，向量，，故，即、共线，故、不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；对于选项C，向量，的夹角为，，，则在方向上的投影向量的模为，故C错误；对于D，非零向量和满足，两边平方得，则，，故，而，故，所以，与的夹角为，故D项错误．故选：ACD．12.将函数的图象向左平移个单位长度，得函数的图象，若在区间内恰有两个最值点（即最大值点和最小值点），则可能的取值为（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用三角函数图象变换可得出函数 的解析式，由可求得，根据已知条件可得出关于的不等式，解出的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】因为，将函数的图象向左平移个单位长度，得函数的图象，则，当时，，因为在区间内恰有两个最值点（即最大值点和最小值点），所以，解得，故选：CD.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.______.【答案】##【解析】【分析】利用诱导公式结合两角和的余弦公式化简可得所求代数式的值.【详解】.故答案为：.14.等边三角形的边长为1，，，，那么等于______.【答案】【解析】分析】根据向量的数量积运算，求得所求表达式的值. 【详解】∵等边三角形的边长为1，∴，，，∴.故答案为：.点睛】本小题主要考查向量数量积运算，属于基础题.15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】先利用余弦定理求角A，再利用正弦定理，转化，再由三角恒等变换化简得，结合角的范围求其取值范围即可.【详解】由余弦定理得，又，所以，所以，．由正弦定理可知，（R为外接圆的半径），所以． 又，所以，由所以．故答案为：．16.如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形的斜边，直角边、，点在以为直径的半圆上.已知以直角边、为直径的两个半圆的面积之比为，，则______.【答案】【解析】【分析】求出的大小，利用同角三角函数的基本关系求出，再利用两角差的余弦公式可求得的值.【详解】因为以直角边、为直径的两个半圆的面积之比为，即，可得，因为点是以为直径半圆上异于点、的一点，则，所以，，又因为为锐角，则，所以，，因为，则为锐角， 且，因此，.故答案为：.四、解答题（本题共6小题，17题10分，其余题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且.（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义可得，进而可求正切，（2）由诱导公式化简，代入即可求解.【小问1详解】由三角函数定义得，两边平方解得，又，故，∴．即．【小问2详解】， 由（1）得．原式18.已知向量（1）当，且时，求（2）当，，求向量与的夹角α的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量的坐标运算法则先求出和的坐标，再由条件可得，求出x的值，再求的坐标，得出其模长.（2）由向量的坐标运算法则先求出的坐标，由，求出x的值，然后由向量的夹角公式可得答案.【小问1详解】向量则，，由，可得，即，解得或，又，所以，则，，所以.【小问2详解】由，则，由，可得，解得，所以，，，. 19.已知，且，若函数在区间[a，2a]上最大值与最小值之差为1.（1）求a的值；（2）解不等式；（3）求函数的单调区间.【答案】（1）（2）（3）增区间为），减区间为【解析】【分析】（1）由可知，知函数在区间[a，2a]上单调递增，据题意列方程即可求得参数a的值；（2）由在R上单调递减，可以把所求指数不等式转化成整式不等式，解之即可；（3）由“同增异减”的复合函数单调性判断规则解之即可.【小问1详解】，∴，∴∴在[a，2a]上为增函数，函数在区间[a，2a]上的最大值为，最小值为则【小问2详解】由（1）可知，不等式即∵在R上单调递减，∴，解之可得∴所求不等式的解集为【小问3详解】 由（1）知函数即要使函数有意义，有，即，令在单调递减，在单调递增；因为函数在单调递增，.由复合函数的单调性可知：的增区间为），减区间为20.如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满足．（1）求的取值范围；（2）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）由题意得，结合即可得解；（2）由，求解即可.【小问1详解】在直角三角形中，．∴，，，∵，∴． 【小问2详解】令，得或（舍）.∴存在实数，使得．21.在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理，将角化边，再根据余弦定理，求解即可；（2）由（1）可知，得，，根据正弦型三角函数的图像和性质，求解即可．【小问1详解】，由正弦定理可得，即，由余弦定理的变形得，又，所以.【小问2详解】由，，得， 锐角中，有，解得，所以，所以，因为，从而，所以，从而故的取值范围为.22.如图，的内角、、的对边分别为、、，且.（1）求角B的大小；（2）若，.（i）求的值；（ii）求的角平分线的长.【答案】（1）（2）（i）；（ii）.【解析】【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）（i）利用三角形的面积公式求出的值，利用余弦定理求出的值，然后利用正弦定理可求得的值；（ii）由结合三角形的面积公式可求得的长. 【小问1详解】解：，所以，，可得，又因为，故.【小问2详解】解：（i）因为，解得，由余弦定理可得，则，由正弦定理可得，所以，；（ii）因为，即，