2023-2024学年重庆市巴蜀中学高三（上）月考数学试卷（一）Word 解析版.docx

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2023-2024学年重庆市巴蜀中学高三（上）月考（一）数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【答案】C【分析】先求出集合A，B，再由交集的定义求解即可．【解答】解：因为x2﹣2x﹣3≤0，所以（x+1）（x﹣3）≤0，即﹣1≤x≤3，所以A＝{x|﹣1≤x≤3}，且B＝{x|x≥2}，所以A⋂B＝[2，3]．故选：C．2．【答案】A【分析】由对数函数的性质，解不等式，根据充分条件和必要条件的关系，可得答案．【解答】解：由log3（x+1）＜0，得﹣1＜x＜0，因而“x＜0”是“log3（x+1）＜0”的必要而不充分条件．故选：A．3．【答案】D【分析】由函数f（x﹣1）的定义域，求出f（x）的定义域，即可得出答案．【解答】解：由题意可知﹣3≤x≤1，所以﹣4≤x﹣1≤0，所以f（x）的定义域为[﹣4，0]，从而y＝（x﹣1）f（x）的定义域为[﹣4，0]．故选：D．4．【答案】A【分析】对f（x）＝﹣xex求导可得f′（x）＝﹣（x+1）ex，再令f′（x）＝0求极值点，讨论单调性即可求出f（x）的极大值．【解答】解：∵函数为f（x）＝﹣xex，∴f′（x）＝﹣（x+1）ex，令f′（x）＝0可得x＝﹣1，当x＜﹣1时，f′（x）＞0，当x＞﹣1时，f′（x）＜0；所以f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞）上单调递减，所以． 故选：A．5．【答案】B【分析】由抛物线的方程可得焦点F的坐标，根据两点间距离公式求得|BF|，即|AF|的长度，根据抛物线定义可求得A点坐标，进而可求出面积．【解答】解：由题意得，F（1，0），则|AF|＝|BF|＝2，即点A到准线x＝﹣1的距离为2，所以点A的横坐标满足xA+1＝2，可得xA＝1，所以A（1，±2），由各点坐标易知∠AFB＝90°，所以S△ABF＝|BF|•|yA|＝×2×2＝2．故选：B．6．【答案】C【分析】根据双曲线的定义得到|AF1|，|AF2|的长，再在△AF1F2中利用余弦定理求出c2，a2的关系，从而得到的值即可得到结果．【解答】解：由双曲线的定义可得：|AF1|﹣|AF2|＝2|AF2|﹣|AF2|＝|AF2|＝2a，则|AF1|＝2|AF2|＝4a，在△AF1F2中由余弦定理得，即：，即，因为a2+b2＝c2，所以，即E的渐近线方程为．故选：C．7．【答案】B【分析】根据题意，求得在区间[n，n+1）（n∈Z）上，可得，作出函数的图象，结合图象，即可求解． 【解答】解：由函数f（x）满足，且当x∈[0，1）时，f（x）＝1﹣|2x﹣1|，当x∈[1，2）时，可得；当x∈[2，3）时，可得，所以在区间[n，n+1）（n∈Z）上，可得，作函数y＝f（x）的图象，如图所示，所以当时，f（）＝，f（）＝＝，f（x）∈[0，1]，故选：B．8．【答案】D【分析】由题意构造函数g（x）＝lnx⋅f（x），求导后可判断当x＞0时，函数g（x）单调递减，再由g（1）＝0，可得当x＞0时，f（x）＜0，再由f（x）为奇函数，得x＜0时，f（x）＞0，即可得出答案．【解答】解：令g（x）＝lnx⋅f（x）（x＞0），则，∴当x＞0时，函数g（x）单调递减，∵g（1）＝0，∴当0＜x＜1时，g（x）＞0，当x＞1时，g（x）＜0．又当0＜x＜1时，lnx＜0，当x＞1时，lnx＞0，∴当x∈（0，1）⋃（1，+∞）时，f（x）＜0．又f′（1）⋅ln1+f（1）＜0，f（1）＜0，∴当x＞0时，f（x）＜0，又f（x）为奇函数，则当x＜0时，f（x）＞0，不等式（x﹣985）f（x）＞0转化为或，解得0＜x＜985，故不等式的解集为（0，985）．故选：D． 二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每个给出的四个选项中，有多项是满足要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．【答案】BC【分析】观察事件A，B是否可以同时发生，可判定A选项；计算P（A），P（B）看P（AB），P（A）⋅P（B）是否相等，即可判定B选项；用对立事件可算出事件C的概率，即可判定C选项；用条件概率的公式可计算其概率，则D选项可判定．【解答】解：A，B可以同时发生，A选项错误；，，从而A，B互为独立事件，B正确；，C正确；，D选项错误．故选：BC．10．【答案】AC【分析】由函数的对称中心和对称轴确定函数的奇偶性与周期为4，代入特殊值求得f（1），f（2），f（3），f（4）即可求解．【解答】解：对于A，由f（x+1）＝f（1﹣x），得f（x）＝f（2﹣x），由f（x）+f（4﹣x）＝0，得f（x+2）＝﹣f（2﹣x），又f（x+2）＝f（﹣x），所以f（x）＝﹣f（﹣x），所以f（0）＝0，因此A选项正确；对于B，因为f（x）＝﹣f（﹣x），所以函数f（x）为奇函数，因此B选项错误；对于C，因为f（x+2）＝f（﹣x），所以f（x+2）＝﹣f（x+4），即f（x）＝﹣f（x+2），所以f（x）＝f（x+4），所以函数f（x）的周期T＝4，因此C选项正确；对于D，将x＝2代入f（x）+f（4﹣x）＝0，得f（2）＝0，f（4）＝f（0）＝0，而f（2023）＝f（506×4﹣1）＝f（﹣1）＝﹣2023，将x＝2代入f（x+1）＝f（1﹣x），得f（3）＝f（﹣1）＝﹣2023，将x＝3代入f（x）+f（4﹣x）＝0，得f（1）＝﹣f（3）＝2023，所以，因此D选项错误．故选：AC．11．【答案】ACD 【分析】对于A，由递推式直接求解a3，对于B，对递推式变形进行判断，对于C，由等差数列的通项公式求解，对于D，利用裂项相消法求解．【解答】解：对于A，因为a1＝2，，所以，，所以A正确；对于B，因为，所以，即，所以为等差数列且非常数列，所以B不正确；对于C，由选项B可知，所以，所以，所以C正确；对于D，，所以＝ln（n+1），所以D正确，故选：ACD．12．【答案】ABC【分析】令t＝f（x），求出方程t2﹣2at+a2﹣1＝0的两根，数形结合可判断A选项；根据零点个数得出关于a的不等式组，求出a的范围，可判断BD选项；利用二次函数的对称性与对数运算可判断C选项．【解答】解：令t＝f（x），则t2﹣2at+a2﹣1＝0⇒t1＝a﹣1，t2＝a+1，A．当a＝0时，t1＝﹣1，t2＝1，由f（x）＝﹣1有1解，f（x）＝1有4解，故k＝5，A对；B．当k＝2时，则方程f（x）＝a﹣1、f（x）＝a+1各有一解，当x≤0时，f（x）＝﹣x2﹣4x+1＝﹣（x+2）2+5≤5，当且仅当x＝﹣2时，等号成立，由图可得，解得a＜﹣1，B对；C．当k＝8时，如下图所示：由图象可知，点（x1，a﹣1）、（x4，a﹣1）关于直线x＝﹣2对称，则x1+x4＝﹣4，由图可知，0＜x6＜1，x7＞1，由|lnx6|＝|lnx7|可得lnx7＝﹣lnx6，所以，，则x6x7＝1，因此，x1+x4+x6x7＝﹣4+1＝﹣3，C对； D．当k＝7时，有两种情况：或，从而可得a的范围为（1，2）⋃{4}，D错．故选：ABC．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．【答案】12．【分析】求得二项展开式的通项，结合﹣3+3r＝3，求得r的值，代入即可求解．【解答】解：二项式的展开式的通项为，令﹣3+3r＝3，解得r＝2，所以展开式中x3项的系数为．故答案为：12．14．【答案】8．【分析】由2m⋅4n＝2可得m+2n＝1，m，n∈R*，再与相乘构建积定式，继而可用基本不等式求最小值．【解答】解：∵2m⋅4n＝2，∴2m+2n＝2可得m+2n＝1，m，n∈R*，∴，当且仅当时取等号．故答案为：8．15．【答案】30【分析】根据题意，求得b＝11，得到，结合二次函数的性质，即可求解．【解答】解：由数列{an}中，因为a2＝8，且，可得a2＝S2﹣S1＝b﹣3＝8，解得b＝11，所以，则Sn为n的二次函数，对称轴为，故当n＝5或6时取得最大值，又由，所以Sn的最大值为30． 故答案为：30．16．【答案】．【分析】根据函数为奇函数且为增函数得f（2x﹣4x）＜﹣f（m⋅2x﹣3）＝f（3﹣m⋅2x），则有，求出右边最小值即可．【解答】解：因为的定义域为R，且f（﹣x）+f（x）＝0，所以函数f（x）是奇函数，由，所以函数f（x）为R上单调递增的奇函数，所以不等式f（2x﹣4x）+f（m⋅2x﹣3）＜0对任意x∈R均成立等价于f（2x﹣4x）＜﹣f（m⋅2x﹣3）＝f（3﹣m⋅2x），即2x﹣4x＜3﹣m⋅2x，即对任意x∈R均成立，又，当且仅当时取等号，所以m的取值范围为．故答案为：．四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【答案】（1）证明见解析；（2）2n+3﹣3n﹣8．【分析】（1）由可知a2n+2+1＝（a2n+1+1）+1＝a2n+1+2＝2a2n+2结合bn＝a2n+1可得bn+1＝2bn进而可证{bn}为等比数列；（2）由（1）结论可先求出{bn}的通项公式，进而求出{a2n}的通项公式，再根据求出{a2n﹣1}的通项公式，则S2n可求．【解答】解：（1）证明：∵且bn＝a2n+1，∴bn+1＝a2n+2+1＝（a2n+1+1）+1＝a2n+1+2＝2a2n+2＝2（a2n+1）＝2bn，又b1＝a2+1＝（a1+1）+1＝4≠0，∴，∴{bn}为以4为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）知：，∴，又，∴，所以S2n＝（a1+a3+a5+⋯+a2n﹣1）+（a2+a4+a6+⋯+a2n）＝．18．【答案】（1）24；256；（2）Y的概率分布为：Y﹣40﹣2002040P【分析】（1）设甲答对题目的数目为ξ，则ξ～B（4，0.8），所以X＝20ξ﹣40，根据二项分布的期望、方差公式及期望、方差的性质计算可得；（2）设乙答对题目的数目为η，则η服从超几何分布，且Y＝20η﹣40，根据超几何分布的概率公式求出分布列．【解答】解：（1）设甲答对题目的数目为ξ，则ξ～B（4，0.8），所以X＝10ξ﹣10（4﹣ξ）＝20ξ﹣40，所以E（X）＝20E（ξ）﹣40＝20×4×0.8﹣40＝24；D（X）＝400D（ξ）＝400×4×0.8×0.2＝256．（2）设乙答对题目的数目为η，则η服从参数为N＝10，M＝6，n＝4的超几何分布，且Y＝10η﹣10（4﹣η）＝20η﹣40，所以，，，，，所以Y的概率分布为：Y﹣40﹣2002040 P19．【答案】（1）证明过程见解答；（2）．【分析】（1）由勾股定理可得AC⊥A1C，根据面面垂直的性质可知BC⊥平面ACC1A1，可得BC⊥A1C，进而可知A1C⊥平面ABC，再由线面垂直的性质得证；（2）建立空间直角坐标系，求得平面A1BC和平面A1BB1的法向量，再由向量的夹角公式得解．【解答】解：（1）证明：因为AA1＝2，AC＝A1C＝，所以，即AC⊥A1C，又平面ACC1A1⊥平面ABC，∠ACB＝90°，平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，则BC⊥平面ACC1A1，又A1C⊂平面ACC1A1，所以BC⊥A1C，又AC∩BC＝C，AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，所以A1C⊥AB；（2）因为四棱锥B﹣ACC1A1的体积为，所以，解得，以点C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，， 设平面A1BC的法向量为，则，则可取，设平面A1BB1的法向量为，则，则可取，则，所以二面角C﹣A1B﹣B1的正弦值为．20．【答案】（1）0.5%；（2），c＝105．【分析】（1）根据题意c≤97.5矩形面积即可解出；（2）根据题意确定分段点100，即可得出f（c）的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出．【解答】解：（1）患病者被误诊即被判定为阴性的概率为：；（2）当c∈[95，100）时，，当c∈[100，105]时，×0.002×（105﹣100）＝（﹣13c+1400）×10﹣4，∴，∵f（c）在c∈[95，105]单调递减，所以c＝105时，f（c）最小．21．【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】（1）由椭圆几何性质和点在曲线上可解；（2）联立方程组，再由点到直线的距离公式可证．【解答】解：（1）根据题意，，解得a2＝2，b2＝1，故椭圆C的方程为．（2）证明：A（0，1），F（1，0），设点B（x1，y1），D（x2，y2），直线AB，AD的斜率分别为k1，k2，则，∴，解得k＜﹣2，或k＞2，∴＝，直线AB，AD的方程分别为y＝k1x+1，y＝k2x+1，所以，即d1＝d2． 22．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）对函数求导后，再构造函数，求导后h′（x）在x∈（0，+∞）上为增函数，再由h′（x）＞h′（0）＝0，得h（x）在x∈（0，+∞）上为增函数，从而可证得结论；（2）先证得x＞sinx，则令g（x）＝ex﹣axsinx﹣x﹣1，原问题等价于g（x）在（0，π）内有零点，由（1）可知当时，函数没有零点，当时，连续两次求导结合零点存在性定理求出g（x）的单调区间，再判断函数的零点，从而可求得结果．【解答】解：（1）证明：令，则h′（x）＝ex﹣x﹣1，令φ（x）＝h′（x）＝ex﹣x﹣1，则φ′（x）＝ex﹣1，因为x∈（0，+∞），所以φ′（x）＞0，即h′（x）＝ex﹣x﹣1在x∈（0，+∞）上为增函数，所以h′（x）＞h′（0）＝0，故在x∈（0，+∞）上为增函数，所以h（x）＞h（0）＝0，即成立．（2）设y＝x﹣sinx，由于x∈（0，π），则y′＝1﹣cosx＞0，所以y＝x﹣sinx在（0，π）上为增函数，所以y＞0，即x＞sinx．方程等价于ex﹣axsinx﹣x﹣1＝0（x∈（0，π））．令g（x）＝ex﹣axsinx﹣x﹣1，原问题等价于g（x）在（0，π）内有零点，由x∈（0，π），得xsinx＜x2．由（1）知当时，，此时，当x∈（0，π）时，函数y＝g（x）没有零点，不合题意，故舍去．当时，因为g（x）＝ex﹣axsinx﹣x﹣1，所以g′（x）＝ex﹣a（xcosx+sinx）﹣1，令t（x）＝g′（x）＝ex﹣a（xcosx+sinx）﹣1，则t′（x）＝ex+a（xsinx﹣2cosx）．当时，t′（x）＞0恒成立，所以g′（x）单调递增． 当时，令s（x）＝t′（x）＝ex+a（xsinx﹣2cosx），则s′（x）＝ex+a（3sinx+xcosx）．因为ex＞0，a（3sinx+xcosx）≥0，所以s′（x）＞0，所以t′（x）单调递增．又t′（0）＝1﹣2a＜0，，因此t′（x）在上存在唯一的零点x0，且．当x∈（0，x0）时，t′（x）＜0，所以g′（x）单调递减；当x∈（x0，π）时，t′（x）＞0，所以g′（x）单调递增．又g′（0）＝0，g′（x0）＜g′（0）＝0，g′（π）＝eπ+aπ﹣1＞0，因此g′（x）在（0，π）上存在唯一的零点x1，且x1∈（x0，π）．当x∈（0，x1）时，g′（x）＜0，所以g（x）单调递减；当x∈（x1，π）时，g′（x）＞0，所以g（x）单调递增．又g（0）＝0，g（x1）＜g（0）＝0，由（1）知，所以g（π）＝eπ﹣π﹣1＞0，所以g（x）在（0，x1）上没有零点，在（x1，π）上存在唯一零点，因此g（x）在（0，π）上有唯一零点．综上，a的取值范围是．