四川省宜宾市叙州区第二中学校2022-2023学年高一下学期期末数学 Word版含解析

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叙州区二中2023年春期高一期末考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数(是虚数单位)，则复数的共轭复数所对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】先利用复数代数形式的乘除运算化简，然后再求出其共轭复数在复平面内对应的点的坐标判断即可.【详解】，，其在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限.故选：C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的几何意义，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.2.某学校采用分层随机抽样方法，抽取一定数量的高中学生参加安全知识竞赛，若得到的样本中高二的学生数量比高一多人、比高三少人，且全校高一、高三学生数之比为，则样本容量为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本题可设样本中高二的学生数量为，然后根据全校高一、高三学生数之比为得出，最后通过计算即可得出结果.【详解】设样本中高二的学生数量为，则样本中高一的学生数量为，样本中高三的学生数量为，因为全校高一、高三学生数之比为，

1所以，解得，则样本容量为，故选：D.3.是空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日日均值(单位：)的统计数据，则下列叙述不正确的是（）A.从这10天的日均监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是B.从5日到9日，日均值逐渐降低C.这10天中日均值的平均数是49.3D.这10天的日均值的中位数是【答案】D【解析】【分析】借助于图表数据，对A、B、C、D一一验证即可.对于A：用古典概型计算公式进行计算；对于B：从折线图直接看出；对于C：直接计算平均值即可；对于D：直接求出中位数；【详解】对于A：从图表可以看出，“空气质量为一级”的有：3日、8日、9日、10日，故概率,故A正确；对于B：从5日到9日，折线图逐日下降，故日均值逐渐降低，故B正确；

2对于C：这10天中日均值的平均数是，故C正确；对于D：这10天的数据从小到大依次为：30、32、33、34、45、49、57、58、73、82，故中位数为，故D错误；故选：D4.给定数据：10，12，17，25，50，75，则其第30百分位数､第50百分位数分别为（）A.11，17B.11，21C.12，17D.12，21【答案】D【解析】【分析】利用百分位数的定义求解【详解】解：因为，所以第30百分位数12､第50百分位数，故选：D5.在中,若，，，则A.1B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】依题意，由正弦定理即可求得得值.【详解】由正弦定理得，.故选B【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解答本题的关键，属于基础题．6.已知中，，，分别是，，的中点，则（）

3A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用平行四边形法则求解即可.【详解】依题意，，故故选A．【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题.7.若角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数定义结合正弦的二倍角公式计算即可【详解】由题意，∴，，．故选：C.【点睛】本题考查三角函数的定义，考查二倍角的正弦公式，掌握三角函数定义是解题关键．8.在中，角所对的边分别为，已知下列条件，只有一个解的是A.，，B.，，C.，，D.，，【答案】D【解析】【分析】首先根据正弦定理得到，比较与的大小关系即可判定A，B错误，再根据大边对大角即可判定C错误，根据勾股定理即可判定D正确.

4【详解】对于A，因为，，所以，有两个解，故A错误.对于B，因为，，所以，无解，故B错误.对于C，因为，所以，即，，所以无解，故C错误.对于D，，为直角三角形，故D正确.故选：D【点睛】本题主要考查三角形个数的判断，利用正弦定理判断为解题的关键，属于简单题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法错误的是（）A.零向量没有方向B.共线向量是同一条直线上的向量C.若向量与向量共线，则有且只有一个实数，使得D.【答案】ABC【解析】【分析】根据零向量和共线向量的定义即可判断A,B，由共线定理可判断C，根据向量数量积的性质即可判断D.【详解】对A,零向量的方向规定为任意方向，故错误，对B,共线向量是能平移到一条直线上的向量，不是一定要在一条直线上的向量，故错误，对C,根据共线定理可知，，才有唯一实数，使得，若，则实数不唯一，故错误，对D，，故正确，故选：ABC10.

5甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（）A.B.事件B与事件相互独立C.事件B与事件相互独立D.，互斥【答案】AD【解析】【分析】先画出树状图，然后求得，，的值，得A正确；利用判断B错误，同理C错误；由，不可能同时发生得D正确.【详解】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数：因此，，，A正确；又，因此，B错误；同理可以求得，C错误；，不可能同时发生，故彼此互斥，故D正确，故选：AD．【点睛】本题主要考查互斥事件、相互独立事件的判断及其概率，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属基础题.11.已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（）A.在区间上单调递增B.是的一个周期C.的值域为D.的图象关于轴对称【答案】CD【解析】【分析】

6代入特殊值检验，可得A错误；求得的表达式，即可判断B的正误；分段讨论，根据x的范围，求得的范围，利用二次函数的性质，即可求得的值域，即可判断C的正误；根据奇偶性的定义，即可判断的奇偶性，即可判断D的正误，即可得答案.【详解】对于A：因为，所以，，所以，所以在区间上不是单调递增函数，故A错误；对于B：，所以不是的一个周期，故B错误；对于C：，所以的周期为，当时，，；当时，，；当时，，；当时，，；当时，，

7；综上：的值域为，故C正确；对于D：，所以为偶函数，即的图象关于轴对称，故D正确，故选：CD【点睛】解题的关键是根据的解析式，结合函数的奇偶性、周期性求解，考查分类讨论，化简计算的能力，综合性较强，属中档题.12.直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（）A.的取值范围是B.点经过的外心C.点所在轨迹的长度为2D.的取值范围是【答案】ABD【解析】【分析】由向量数量积的几何意义有，结合已知即可判断A；若为中点，根据已知有共线，即可判断B、C；利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得，结合基本不等式求范围判断D.【详解】由，又斜边，则，则，A正确；若为中点，则，故，又，所以共线，故在线段上，轨迹长为1，又是的外心，B正确，C错误；

8由上，则，又，则，当且仅当等号成立，所以，D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：若为中点，应用数形结合法，及向量线性运算的几何意义、数量积的几何意义和运算律判断轨迹，求、.第II卷非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设样本数据的平均数为，方差为，若数据的平均数比方差大4，则的最大值是_________．【答案】【解析】【分析】根据平均数和方差的性质，以及二次函数的性质即可解出．【详解】数据的平均数为，方差为，所以，，即，则，因为，所以，故当时，的最大值是．故答案为：．14.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走dm到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，则山高_________m.（结果用d、、、表示）

9【答案】【解析】【分析】用山高表示出，然后在中应用正弦定理可得．【详解】设山高，则，延长交于，如图，则，因此，，，，中由正弦定理得，所以，故答案为：．15.的值__________.【答案】1【解析】【分析】由，结合辅助角公式可知原式为，结合诱导公式以及二倍角公式可求值.【详解】解：

10.故答案为:1.【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了诱导公式.本题的难点是熟练运用公式对所求式子进行变形整理.16.已知点P为的内心，，若，则______．【答案】【解析】【分析】根据余弦定理可求,进而根据切线长定理可求，进而根据数量积的运算以及几何意义即可求解.【详解】在，由余弦定理得,设分别是边上的切点，设，则，所以，由得，，即，①同理由,②联立①②以及即可解得：，故答案为：

11四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在三角形中，，点F为边中点，点E在边上，且，与相交于点P．（1）将向量用向量表示；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据垂直关系，建立平面直角坐标系，根据向量坐标运算以及共线的坐标运算，即可求解，（2）用基地向量表示,根据数量积的运算即可求解.【小问1详解】由，以分别为轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，设，则，设，故，进而,因为,所以得：，解得，故，由,故【小问2详解】

12由（1）知，又,故18.某校从高三年级学生中随机抽取名学生的某次数学考试成绩，将其成绩分成，，，，的组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值；（2）估计这组数据的平均数；（3）若成绩在内的学生中男生占.现从成绩在内的学生中随机抽取人进行分析，求人中恰有名女生的概率.【答案】（1）（2）77（3）【解析】【分析】(1)根据给定条件结合频率分布直方图中各小矩形面积和为1的特点列式计算即得.(2)利用频率分布直方图求平均数的方法直接列式计算即得.(3)求出成绩在内的学生及男女生人数，再用列举法即可求出概率.【小问1详解】由频率分布直方图得，解得，所以图中值是0.020.小问2详解】由频率分布直方图得这组数据的平均数：，

13所以这组数据的平均数为77.【小问3详解】数学成绩在内的人数为(人)，其中男生人数为(人)，则女生人数为人，记名男生分别为，，名女生分别为，，，从数学成绩在内的人中随机抽取人进行分析的基本事件为：，共个不同结果，它们等可能，其中人中恰有名女生的基本事件为，共种结果，所以人中恰有名女生的概率为为.19.在中，设角，，的对边分别为，，．已知向量，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示即可解出；（2）由正弦定理先求出的关系，再由余弦定理即可解出，最后根据三角形的面积公式即可解出【小问1详解】由可得，，所以，而，所以．【小问2详解】由得，而，即，解得，所以，故的面积为．20.如图，四棱锥中，底面，底面为菱形，点F为侧棱上一点．

14（1）若，求证：平面；（2）若，求证：平面平面．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1），的交点为O，连接，由菱形及中位线性质有，再由线面平行的判定可证结论；（2）由题意及线面垂直的性质有、，再由线面垂直的判定和性质得，最后根据线面垂直、面面垂直的判定证结论.【小问1详解】设，的交点为O，连接，因为底面为菱形，且O为中点，，所以，又平面，平面，故平面．【小问2详解】因为底面为菱形，所以，因为平面，平面，所以，又，、平面，所以平面，又平面，

15所以，又，，，平面，所以平面，又平面，故平面平面.21.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求B；（2）已知，D为边上的一点，若，，求的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式、同角间的三角函数关系变形求解；（2）由余弦定理求得，再用正弦定理计算．【小问1详解】∵，∴，即，所以，因为，所以，所以，因为，所以．【小问2详解】因为，，，根据余弦定理得，∴．∵，∴．

16在中，由正弦定理知，，∴，∴，∴，∴．22.在四棱锥中，平面⊥平面，底面为梯形，，，且，，．（1）求证：；（2）求二面角______的余弦值；从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．（3）若是棱的中点，求证：对于棱上任意一点，与都不平行．【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可证线线垂直.（2）根据二面角的几何求法，先利用面面垂直，得线面垂直，进而可找到二面角的平面角，然后借助三角的边角关系即可求解.（3）根据空间中过一点只能作出一条直线与已知直线平行，即可求解.【小问1详解】证明：∵平面⊥平面平面平面，平面，,∴平面，又平面，∴．【小问2详解】若选①，过点作交的延长线于点．∵平面⊥平面，平面平面，平面，∴⊥平面，

17过作交的延长线于点，∵，，∴，连接，∵平面，平面，∴，∵，平面，平面，∴AB⊥平面POE，又平面POE，∴，∴就是二面角的平面角．由题意得，，，∴，∴，即二面角的余弦值为．若选②，过点P作PO⊥CD交CD的延长线于点O，连接BD．∵平面PCD⊥平面ABCD，平面平面，平面PCD，∴PO⊥平面ABCD，过点O作OM⊥BD交BD的延长线于点M，连接PM，∵PO⊥平面ABCD，平面ABCD，∴PO⊥BD，∵，平面POM，平面POM，∴BD⊥平面POM，又平面POM，∴BD⊥PM，∴∠PMO为二面角的平面角的补角，易算得，，∴，∴二面角的余弦值为．若选③，过点P作PO⊥CD交CD的延长线于点O．

18∵平面PCD⊥平面ABCD，平面平面，平面PCD，∴PO⊥平面ABCD，过点O作OH⊥BC交BC于点H，连接PH，∵PO⊥平面ABCD，平面ABCD，∴，又，平面POH，平面POH，∴BC⊥平面POH，又平面POH，∴BC⊥PH，∴∠PHO为二面角的平面角，易算得，，∴，∴二面角的余弦值为．【小问3详解】证明：连接AC，取AC的中点K，连接MK，则．若棱BC上存在点F，使，则由基本事实4可得，显然矛盾，故对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行．