上海市宝山区2020-2021学年下学期高一数学期末考试Word版含解析

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2020-2021学年上海市宝山区高一（下）期末数学试卷一、填空题（共有12题1～6题每个空格填对得4分，7～12题每个空格填对得5分）1．代数式（其中x＞0）可化简为　　．2．已知向量＝（5，3），＝（﹣1，x），且∥，则实数x＝　　．3．如果复数z满足（1﹣2i）•z＝4﹣3i（i为虚数单位），则|z|＝　　．4．已知α为第三象限角，sinα＝﹣，则tan（π﹣α）＝　　．5．已知关于x的一元二次不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集为（1，2），其中a，b∈R，则函数y＝ax+b的图象必定不经过第　　象限．6．已知向量＝（5，3），＝（﹣1，2），则在上的投影向量的坐标为　　．7．在流行病学领域，常用Logisitic模型作为预测预警模型，有学者根据已公布的数据建立了某国新州萨炎在时间段D（单位：天）内的Logistic函数为，其中，f（t）为累积确诊病例数，M为D内最大的每天确诊病例数，当f（t）＝0.9M时，标志着及情己取得初步遏制，则此时t约为　　天（精确到1天）．8．设点P是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置P0（0，1）出发，沿单位圆顺时针方向旋转角后到达点P1，然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角到达点P2，若点P2的纵坐标是，则点P1的坐标是　　．9．已知关于x的实系数一元二次方程x2+（1﹣k）x+k2﹣1＝0有两个虚根x1，x2，且|x1|+|x2|＝2，则满足条件的实数k的值为　　．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝30°，b＝2，且满足条件的△ABC有两解，设边a的所有可能取值构成集合D，则函数的值域为　　．11．写出一个最小正周期是1，值域是[0，1]的函数解析式　　（不用分段函数表示）．12．如图，在直角三角形△ABC中，斜边AB＝4，以斜边AB为一边向外作矩形ABMN，且BM＝2（其中点M，N与C在直线AB两侧），则的取值范围是　　．

1二、选择题13．已知a，b∈R，若α：|a|＜，|b|＜，β：|a+b|＜1，则α是β的（　　）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件14．下列幂函数在区间（0，+∞）上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是（　　）A．B．C．D．15．我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为，长为，长为10π，则扇面ABCD的面积为（　　）A．B．C．D．16．函数与y＝|sin2x|，x∈[﹣4，8]交点的个数是（　　）A．9B．10C．11D．12三、解答题17．已知全集U＝R，，函数g（x）＝x2+x+2a，x∈[0，1]的值域为集合B，集合C＝{x||x﹣a|≤2，x∈R}，a为常数．（1）求集合；（2）若B⊆C，求实数a的取值范围．18．已知a，b∈R，i是虚数单位，z1＝a﹣i，z2＝2+bi在复平面上对应的点分别为A，B．（1）若z12+z22是实数，求||的最小值；（2）设O为坐标原点，记，若，且点C在y轴上，求与的夹角．19．如图所示，平面四边形BCDE为某金鱼池区域，△ABE为观光区域，准备在AB、BE、AE

2三条边上修建观地训路，已知∠BCD＝∠CDE＝∠BAE＝，BC＝CD＝20米，DE＝80米．（1）求四边形BCDE的面积（精确到0.1平方米）；（2）求观光道路长度总和的最大值（精确到0.1米，不考虑道路的宽度）．20．已知函数．（1）求函数f（x）的振幅、频率、初始相位，以及在x∈[0，2π]上的增区间；（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，函数h（x）＝f（x）+g（x），当，且x1≠x2时，有h（x1）＝h（x2），求h（x1+x2）的值．21．已知函数f（x）＝2x+k•g（x），k∈R．（1）若k＝﹣，g（x）＝4x，求函数f（x）的零点；（2）若g（x）＝2﹣x，写出函数y＝f（x）在R上的奇偶性，不必说明理由；（3）若g（x）＝﹣x，判断函数y＝f（x）在R上的单调性，并说明理由．

3参考答案一、填空题1．代数式（其中x＞0）可化简为　x　．解：因为x＞0，所以＝．故答案为：x．2．已知向量＝（5，3），＝（﹣1，x），且∥，则实数x＝　　．解：∵向量＝（5，3），＝（﹣1，x），且∥，∴5x﹣3×（﹣1）＝0，解得x＝﹣．故答案为：﹣．3．如果复数z满足（1﹣2i）•z＝4﹣3i（i为虚数单位），则|z|＝　　．解：因为（1﹣2i）•z＝4﹣3i，所以，则＝．故答案为：．4．已知α为第三象限角，sinα＝﹣，则tan（π﹣α）＝　﹣　．解：因为α为第三象限角，sinα＝﹣，可得cosα＝﹣＝﹣，所以tan（π﹣α）＝﹣tanα＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．5．已知关于x的一元二次不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集为（1，2），其中a，b∈R，则函数y＝ax+b的图象必定不经过第　二　象限．解：关于x的一元二次不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集为（1，2），

4所以，解得a＝3，b＝﹣2，所以函数y＝3x﹣2的图象必定不经过第二象限．故答案为：二．6．已知向量＝（5，3），＝（﹣1，2），则在上的投影向量的坐标为　　．解：向量＝（5，3），＝（﹣1，2），∴在上的投影向量的坐标为：＝＝（−1，2）＝．故答案为：（，）．7．在流行病学领域，常用Logisitic模型作为预测预警模型，有学者根据已公布的数据建立了某国新州萨炎在时间段D（单位：天）内的Logistic函数为，其中，f（t）为累积确诊病例数，M为D内最大的每天确诊病例数，当f（t）＝0.9M时，标志着及情己取得初步遏制，则此时t约为　63　天（精确到1天）．解：当f（t）＝0.9M时，即，即，故答案为：63．8．设点P是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置P0（0，1）出发，沿单位圆顺时针方向旋转角后到达点P1，然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角到达点P2，若点P2的纵坐标是，则点P1的坐标是　　．解：初始位置P0（0，1）在的终边上，P1所在射线对应的角为，P2所在射线对应的角为，由题意可知，，又，则，解得，P1所在的射线对应的角为＝，由任意角的三角函数的定义可知，点P1的坐标是，即．

5故答案为：．9．已知关于x的实系数一元二次方程x2+（1﹣k）x+k2﹣1＝0有两个虚根x1，x2，且|x1|+|x2|＝2，则满足条件的实数k的值为　　．解：依题意，设x1＝a+bi（b≠0），x2＝a﹣bi，由根与系数的关系可得，，则，又|x1|+|x2|＝2，∴，即k2﹣1＝1，解得，又△＝（1﹣k）2﹣4（k2﹣1）＜0，解得k＞1或，∴．故答案为：．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝30°，b＝2，且满足条件的△ABC有两解，设边a的所有可能取值构成集合D，则函数的值域为　　．解：在△ABC中，A＝30°，b＝2，所以bsinA＝2×，因为满足条件的△ABC有两解，所以1＜a＜2，即D＝（1，2），因为函数为单调递减函数，则f（2）＜f（x）＜f（1），所以，则f（x）的值域为．故答案为：．11．写出一个最小正周期是1，值域是[0，1]的函数解析式　f（x）＝|sinπx|（答案不唯一）　（不用分段函数表示）．解：最小正周期为1且值域是[0，1]的函数可以考虑y＝|sinπx|，则f（x）＝|sinπx|．故答案为：f（x）＝|sinπx|（答案不唯一）．

612．如图，在直角三角形△ABC中，斜边AB＝4，以斜边AB为一边向外作矩形ABMN，且BM＝2（其中点M，N与C在直线AB两侧），则的取值范围是　　．解：设∠ABC＝θ∈（，），以C为原点直线CB、CA分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：则M（4cosθ+2sinθ，2cosθ），N（2sinθ，4sinθ+2cosθ），C（0，0），∴＝（4cosθ+2sinθ）•2sinθ+2cosθ（4sinθ+2cosθ）＝8sinθcosθ+4sin2θ+8sinθcosθ+4cos2θ＝8sin2θ+4．∵θ∈（，），∴2θ∈（，），∴sin2θ∈[，1]，∴8sin2θ+4∈[4+4，12]．故答案为：[4+4，12]．二、选择题13．已知a，b∈R，若α：|a|＜，|b|＜，β：|a+b|＜1，则α是β的（　　）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件解：①若|a|＜，|b|＜时，∵|a+b|≤|a|+|b|＜+＝1，∴充分性成立，

7②当a＝﹣2，b＝2.5时，满足|a+b|＜1，但|a|＜，|b|＜不成立，∴必要性不成立，∴α是β的充分不必要条件，故选：C．14．下列幂函数在区间（0，+∞）上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是（　　）A．B．C．D．解：A．y＝的定义域[0，+∞），为非奇非偶函数，不符合题意；B．y＝，定义域为R，且为偶函数，不符合题意；C．y＝，定义域为R，且为奇函数，符合题意；D．y＝，在在区间（0，+∞）上是严格减函数，不符合题意．故选：C．15．我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为，长为，长为10π，则扇面ABCD的面积为（　　）A．B．C．D．解：根据题意，得＝•AO，则AO＝20，10＝•OC，可得OC＝15，所以扇面ABCD的面积S＝S扇形OAB﹣S扇形OCD＝××20﹣15×10π＝．故选：A．16．函数与y＝|sin2x|，x∈[﹣4，8]交点的个数是（　　）A．9B．10C．11D．12

8解：作出函数与y＝|sin2x|的图象如下图所示，由图象可知，在[﹣4，8]上共有10个交点，故选：B．三、解答题17．已知全集U＝R，，函数g（x）＝x2+x+2a，x∈[0，1]的值域为集合B，集合C＝{x||x﹣a|≤2，x∈R}，a为常数．（1）求集合；（2）若B⊆C，求实数a的取值范围．解：（1）∵全集U＝R，＝{x|＞0}＝{x|＞0}＝{x|x＜﹣2或x＞1}，∴（2）∵函数g（x）＝x2+x+2a，x∈[0，1]的值域为集合B，∴集合B＝[2a，2a+2]，∵集合C＝{x||x﹣a|≤2，x∈R}＝[a﹣2，a+2]，a为常数，B⊆C，∴，解得﹣2≤a≤0，∴实数a的取值范围是[﹣2，0]．18．已知a，b∈R，i是虚数单位，z1＝a﹣i，z2＝2+bi在复平面上对应的点分别为A，B．（1）若z12+z22是实数，求||的最小值；（2）设O为坐标原点，记，若，且点C在y轴上，求与的夹角．解：（1）因为z1＝a﹣i，z2＝2+bi在复平面上对应的点分别为A，B，所以A（a，﹣1），B（2，b），因为z12+z22＝a2﹣b2+3+（4b﹣2a）i是实数，

9则a＝2b，所以＝，故||的最小值为；（2）设C（0，y），因为，则（0，y）＝（a，﹣1）+（2，b）＝（a+2，b﹣1），所以a+2＝0，y＝b﹣1，则a＝﹣2，又，所以，可得b＝2a＝﹣4，则y＝﹣5，所以，，故＝，所以与的夹角为arccos．19．如图所示，平面四边形BCDE为某金鱼池区域，△ABE为观光区域，准备在AB、BE、AE三条边上修建观地训路，已知∠BCD＝∠CDE＝∠BAE＝，BC＝CD＝20米，DE＝80米．（1）求四边形BCDE的面积（精确到0.1平方米）；（2）求观光道路长度总和的最大值（精确到0.1米，不考虑道路的宽度）．解：（1）如图，连接BD，∠BCD＝，BC＝CD＝20米，故三角形BCD为等腰三角形，且∠CBD＝∠CDB＝，由∠CDE＝，故，所以BD⊥DE，易知BD＝2CD×cos∠CDB＝×＝60，所以S四边形BCDE＝S△BCD+S△BDE＝＝≈2919.69（平方米）．

10（2）由（1）可知＝，在△ABE中，由余弦定理得BE2＝AB2+AE2﹣2AB•AE•cos∠BAE，即10000＝AB2+AE2﹣2AE•AB＝AB2+AE2+AB•AE＝（AB+AE）2﹣AB•AE……①因为，（当且仅当AB＝AE时，取等号），故①式可化为：，即，故观光道路长度总和的最大值约为BE+115.5＝215.5米．20．已知函数．（1）求函数f（x）的振幅、频率、初始相位，以及在x∈[0，2π]上的增区间；（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，函数h（x）＝f（x）+g（x），当，且x1≠x2时，有h（x1）＝h（x2），求h（x1+x2）的值．解：（1）对于函数，它的振幅为A＝1，频率，初始相位，在x∈[0，2π]上，它的增区间为和．（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）＝sin（x+）＝cosx的图象，函数h（x）＝f（x）+g（x）＝sin（x+）+cosx＝sinx+cosx＝sin（x+），当，且x1≠x2时，有h（x1）＝h（x2），即sin（x1+）＝sin（x2+），sin（x1+）＝sin（x2+）．再根据h（x）＝sin（x+）的图象的对称性，x1++x2+＝2×，∴x1+x2＝，故h（x1+x2）＝sin（x1+x2+）＝sin＝sin＝．21．已知函数f（x）＝2x+k•g（x），k∈R．

11（1）若k＝﹣，g（x）＝4x，求函数f（x）的零点；（2）若g（x）＝2﹣x，写出函数y＝f（x）在R上的奇偶性，不必说明理由；（3）若g（x）＝﹣x，判断函数y＝f（x）在R上的单调性，并说明理由．解：（1）k＝﹣，g（x）＝4x，∴2x﹣•4x＝0，∴2x＝，解得x＝．（2）若g（x）＝2﹣x，则f（x）＝2x+k•2﹣x，f（﹣x）＝k•2x+2﹣x，①若f（﹣x）＝k•2x+2﹣x＝﹣f（x）＝﹣（2x+k•2﹣x），化为：（2x+2﹣x）（k+1）＝0，∴k＝﹣1，当k＝﹣1时，f（x）在R上为奇函数；②若f（﹣x）＝k•2x+2﹣x＝f（x）＝（2x+k•2﹣x），化为：（2x﹣2﹣x）（k﹣1）＝0，∴k＝1，当k＝1时，f（x）在R上为偶函数；③当k≠±1时，f（x）在R上既不是奇函数又不是偶函数（3）g（x）＝﹣x，则函数f（x）＝2x﹣kx，当k≤0时，∵y＝2x在R上单调递增，k＜0时，函数y＝﹣kx在R上单调递增，k＝0时，y＝0为常数函数，∴f（x）在R上是严格增函数；当k＞0时，f（x）在R上既不是增函数也不是减函数．