上海市上海师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学Word版含解析

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2020-2021学年上海师大附中高一（下）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．＝　　．2．若1+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+px+q＝0的根，则pq＝　　．3．＝　　．4．已知等差数列{an}的各项不为零，且a3、a13、a63成等比数列，则公比是　　．5．已知向量，，若向量∥，则实数m＝　　．6．某天，一个班级只有四门学科教师都布置了晚自习作业，晚自习上，在同一时刻3名学生都做作业的可能情形有　　种（用数字作答）．7．（1+++……+）＝　　．8．2010年上海世博会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有　　种．9．在无穷等比数列{an}中，若，则a1的取值范围是　　．10．市内某公共汽车站有10个候车位（成一排），现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式共有　　种．（用数字作答）11．5名奥运火矩手分别到香港、澳门、台湾进行奥运知识宣传，每个地方至少去一名火矩手，则不同的分派方法共有　　种（用数字作答）．12．我们把一系列向量（i＝1，2，…，n）按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足＝（1，1），，设θn表示向量与的夹角，若bn＝对任意正整数n，不等式（1﹣2a）恒成立，则实数a的取值范围是　　．二、选择题（共4小题）.13．在用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•2•3•…•（2n﹣1）（n∈N*）时，从k到k

1+1，左端需要增加的代数式是（　　）A．2k+1B．2（2k+1）C．D．14．从7人中选派5人到10个不同岗位的5个中参加工作，则不同的选派方法有（　　）A．种B．种C．种D．种15．复数z满足|z﹣3i|＝2（i为虚数单位），则复数z﹣4模的取值范围是（　　）A．[3，7]B．[0，5]C．[0，9]D．以上都不对16．设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai+1的矩形的周长（i＝1，2，…），则“数列{An}为等差数列”的充要条件是（　　）A．{an}是等差数列B．a1，a3，…，a2n﹣1，…或a2，a4，…，a2n，…是等差数列C．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…都是等差数列D．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…都是等差数列，且公差相同三、解答题17．已知O为直角坐标系原点，与垂直，与平行．（1）求向量在向量上的投影；（2）求的坐标．18．已知f（z）＝﹣1，且f（z1﹣z2）＝4+4i，若z1＝2﹣2i．（1）求复数z1＝2﹣2i的三角形式，并且复数z1的辐角主值argz1；（2）求|．19．据相关数据统计，2019年底全国已开通5G基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进5G通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个．（1）如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有基站多少万个．（精确到0.1万个）；（2）如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个才能完成计划？（精确到1万个）20．已知数列{an}的首项为x（x∈R），前n顶和为Sn．（1）若Sn＝nan﹣，求数列{an}的通项公式；

2（2）在（1）的条件下，是否存在x（x∈R），使得对任意n∈N，n≥1，恒有＝k（其中k是与正整数n无关的常数），若存在，求出x与k的值，若不存在，说明理由；（3）若{an}是无穷等比数列，且公比q≠﹣1，计算．21．设数列{an}（n∈N*）中前两项a1，a2给定，若对于每个正整数n≥3，均存在正整数k（1≤k≤n﹣1）使得an＝，则称数列{an}为“Ω数列”．（1）若数列{an}（n∈N*）为a1＝1，a2＝﹣的等比数列，当n≥3时，试问：an与是否相等，并说明数列{an}（n∈N*）是否为“Ω数列”；（2）讨论首项为a1、公差为d的等差数列{an}是否为“Ω数列”，并说明理由；（3）已知数列{an}为“Ω数列”，且a1＝0，a2＝1，记S（n，k）＝an﹣1+an﹣2+…+an﹣k，（n≥2，n∈N*），其中正整数k≤n﹣1，对于每个正整数n≥3，当正整数k分别取1、2、…、n﹣1时的最大值记为Mn、最小值记为mn．设bn＝n•（Mn﹣mn），当正整数n满足3≤n≤2020时，比较bn与bn+1的大小，并求出bn的最大值．

3参考答案一、填空题（共12小题）.1．＝　　．解：＝＝．故答案为：．2．若1+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+px+q＝0的根，则pq＝　﹣4　．解：若1+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+px+q＝0的根，则1﹣i也是该方程的根，所以（1+i）+（1﹣i）＝﹣p，解得p＝﹣2；（1+i）（1﹣i）＝q，解得q＝2；所以pq＝﹣4．故答案为：﹣4．3．＝　3　．解：＝＝＝3．故答案为：3．4．已知等差数列{an}的各项不为零，且a3、a13、a63成等比数列，则公比是　1或5　．解：等差数列{an}的各项不为零，公差设为d，由a3、a13、a63成等比数列，可得a3a63＝a132，即（a1+2d）（a1+62d）＝（a1+12d）2，化为d2＝2a1d，即d＝0或d＝2a1，可得等比数列的公比为1或＝＝＝5，故答案为：1或5．

45．已知向量，，若向量∥，则实数m＝　　．解：向量，，则﹣2＝（1﹣2m，8），又∥，则﹣3（1﹣2m）﹣8m＝0，解得m＝﹣．故答案为：﹣．6．某天，一个班级只有四门学科教师都布置了晚自习作业，晚自习上，在同一时刻3名学生都做作业的可能情形有　64　种（用数字作答）．解：每一名学生做作业的情况有4种，故在同一时刻3名学生都做作业的可能情形43＝64种，故答案为：64．7．（1+++……+）＝　2　．解：＝＝2（），∴（1+++……+）＝2（1﹣+…）＝（2﹣）＝2．故答案为：2．8．2010年上海世博会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有　36　种．解：由题意知本题需要分类，若小张或小赵入选，则有选法C21C21A33＝24；若小张、小赵都入选，则有选法A22A33＝12，根据分类计数原理知共有选法24+12＝36种故答案为：369．在无穷等比数列{an}中，若，则a1的取值范围是　　．

5解：在无穷等比数列{an}中，，可知|q|＜1，﹣1＜q＜0或0＜q＜1则＝，a1＝（1﹣q）∈（0，）∪（，）．故答案为：（0，）∪（，）．10．市内某公共汽车站有10个候车位（成一排），现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式共有　480　种．（用数字作答）解：把四位乘客当作4个元素作全排列有A44种排法，将一个空位和余下的5个空位作为一个元素插空有A52种排法，∴A44•A52＝480；故答案为480．11．5名奥运火矩手分别到香港、澳门、台湾进行奥运知识宣传，每个地方至少去一名火矩手，则不同的分派方法共有　150　种（用数字作答）．解：根据题意，分2步进行分析：①将5人分为3组，若分为3、1、1的三组，有C53＝10种分组方法，若分为2、2、1的三组，有＝15种分组方法，则有10+15＝25种分组方法，②将分好的三组全排列，安排到三个地区，有A33＝6种情况，则有25×6＝150种分派方法，故答案为：150．12．我们把一系列向量（i＝1，2，…，n）按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足＝（1，1），，设θn表示向量与的夹角，若bn＝对任意正整数n，不等式（1﹣2a）恒成立，则实数a的取值范围是　（0，）　．解：由题意，计算cosθn＝，

6把代入，可求得cosθn＝，所以θn＝；所以bn＝θn＝；记cn＝++…+＝++…+；则cn+1＝++…+++；所以cn+1﹣cn＝+﹣＝﹣＞0；所以数列{cn}是单调递增数列，且loga（1﹣2a）＜（cn）min＝c1＝1；由于1﹣2a＞0，解得a＜，所以，解得0＜a＜，所以a的取值范围是（0，）．故答案为：（0，）．二、选择题13．在用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•2•3•…•（2n﹣1）（n∈N*）时，从k到k+1，左端需要增加的代数式是（　　）A．2k+1B．2（2k+1）C．D．解：当n＝k+1时，左端＝（k+1）（k+2）（k+k）（k+k+1）（k+1+k+1），所以左端增加的代数式为（k+k+1）（k+1+k+1）＝2（2k+1），故选：B．14．从7人中选派5人到10个不同岗位的5个中参加工作，则不同的选派方法有（　　）A．种B．种

7C．种D．种解：第一步，选出5人，共有c75种不同选法，第二步，选出5个岗位，共有c105种不同选法，第三步，将5人分配到5个岗位，共有A55种不同选法，依分步计数原理，知不同的选派方法有C75C105A55＝C75A105种．故选：D．15．复数z满足|z﹣3i|＝2（i为虚数单位），则复数z﹣4模的取值范围是（　　）A．[3，7]B．[0，5]C．[0，9]D．以上都不对解：由|z﹣3i|＝2，可知复数z对应点的轨迹为以B（0，3）为圆心，以2为半径的圆上，如图：则复数z﹣4模的最小值为|AB|﹣2＝5﹣2＝3，最大值为|AB|+2＝5+2＝7．∴复数z﹣4模的取值范围是[3，7]．故选：A．16．设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai+1的矩形的周长（i＝1，2，…），则“数列{An}为等差数列”的充要条件是（　　）A．{an}是等差数列B．a1，a3，…，a2n﹣1，…或a2，a4，…，a2n，…是等差数列C．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…都是等差数列D．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…都是等差数列，且公差相同解：Ai＝2（ai+ai+1），Ai+1﹣Ai＝2（ai+2+ai+1）﹣2（ai+ai+1）＝2（ai+2﹣ai），若数列{An}为等差数列，则ai+2﹣ai为常数，可得：a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…都是等差数列，且公差相同．反之也成立．∴“数列{An}为等差数列”的充要条件是：a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…

8都是等差数列，且公差相同．故选：D．三、解答题17．已知O为直角坐标系原点，与垂直，与平行．（1）求向量在向量上的投影；（2）求的坐标．解：（1）因为＝（3，1），＝（﹣1，2），所以＝﹣＝（﹣4，1），计算•＝﹣12+1＝﹣11，||＝＝，所以向量在向量上的投影为：||cosθ＝＝＝﹣；（2）设＝（x，y），因为与垂直，所以•＝﹣x+2y＝0，又＝﹣＝（x+1，y﹣2），且与平行，所以3（y﹣2）﹣（x+1）＝0，即x﹣3y+7＝0，由，解得，所以＝（14，7）；所以的坐标为（14，7）．18．已知f（z）＝﹣1，且f（z1﹣z2）＝4+4i，若z1＝2﹣2i．（1）求复数z1＝2﹣2i的三角形式，并且复数z1的辐角主值argz1；（2）求|．解：（1）z1＝2﹣2i＝＝，则argz1＝；（2）设z2＝x+yi（x，y∈R），∵z1＝2﹣2i，∴z1﹣z2＝（2﹣x）﹣（y+2）i，∵f（z）＝﹣1，∴f（z1﹣z2）＝（1﹣x）+（y+2）i＝4+4i，∴，则x＝﹣3，y＝2，

9∴z2＝﹣3+2i，则＝，则|＝|﹣5+4i|＝．19．据相关数据统计，2019年底全国已开通5G基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进5G通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个．（1）如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有基站多少万个．（精确到0.1万个）；（2）如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个才能完成计划？（精确到1万个）解：（1）每月建设基站的数量构成一个等差数列，公差为0.2万，首项为3万个．则计划2020年新建基站数为．故2020年全国共有基站13+49.2＝62.2万个；（2）由题意，每年新建的数量构成等比数列，设公比为q（q＞0）．由60+60q+60q2＝800﹣13，得．解得：q≈3（q＞0）．∴2021年至少建60×3＝180万个，2022年至少建60×9＝540万个才能完成计划．20．已知数列{an}的首项为x（x∈R），前n顶和为Sn．（1）若Sn＝nan﹣，求数列{an}的通项公式；（2）在（1）的条件下，是否存在x（x∈R），使得对任意n∈N，n≥1，恒有＝k（其中k是与正整数n无关的常数），若存在，求出x与k的值，若不存在，说明理由；（3）若{an}是无穷等比数列，且公比q≠﹣1，计算．解：（1）由，得，两式作差可得an+1＝nan+1+an+1﹣nan﹣n，即an+1﹣an＝1，∴数列{an}是首项为x，公差为1的等差数列，

10则an＝x+（n﹣1）×1＝n+x﹣1；（2）由＝k，得Sn＝kS2n，即nx+＝k[2nx+n（2n﹣1）]，整理得：（1﹣4k）n﹣（2k﹣1）（2x﹣1）＝0，当x＝，k＝时，该等式恒成立，即当x＝时，＝；（3）若{an}是无穷等比数列，且公比q≠﹣1，当q＝1时，Sn＝nx，S2n＝2nx，，则＝；当q≠1时，，，，＝＝．∴＝．21．设数列{an}（n∈N*）中前两项a1，a2给定，若对于每个正整数n≥3，均存在正整数k（1≤k≤n﹣1）使得an＝，则称数列{an}为“Ω数列”．（1）若数列{an}（n∈N*）为a1＝1，a2＝﹣的等比数列，当n≥3时，试问：an与是否相等，并说明数列{an}（n∈N*）是否为“Ω数列”；（2）讨论首项为a1、公差为d的等差数列{an}是否为“Ω数列”，并说明理由；（3）已知数列{an}为“Ω数列”，且a1＝0，a2＝1，记S（n，k）＝an﹣1+an﹣2+…+an﹣k，（n≥2，n∈N*），其中正整数k≤n﹣1，对于每个正整数n≥3，当正整数k分别取1、2、…、n﹣1时的最大值记为Mn、最小值记为mn．设bn＝n•（Mn﹣mn），当正整数n满足3≤n≤2020时，比较bn与bn+1的大小，并求出bn的最大值．解：（1）∵数列{an}（n∈N*）为a1＝1，a2＝﹣的等比数列，∴an＝（﹣）n﹣1．

11由于当n≥3时，均有＝＝•（﹣）n﹣3＝（﹣）n﹣1＝an，∴an与相等．∵对每个正整数n≥3，均存在正整数k＝2且1≤2≤n﹣1，使得an＝，∴数列{an}为“Ω数列“．（2）d＝0时，对于每个正整数n≥3，均存在正整数k＝1，∵1≤1≤n﹣1，使，∴d＝0时，数列{an}为Ω数列，d＞0时，，且，d＜0时，．∴d≠0时，对n＝3，当正整数k在1≤k≤3﹣1时，总有，∴d≠0时，数列{an}不是Ω数列．（3）由题设知对于每个正整数n≥3，均有an∈[mn，Mn]，∈[mn，Mn]，且对于所有正整数k≤n﹣1，均有mn≤，即kMn≤S（n，k）≤kMn，记S（n，0）＝0，对于每个正整数n≥4，选取适当的正整数l，l≤n﹣1，使得Mn＝，由S（n，l）＝an﹣1+S（n﹣1，l﹣1）≤an﹣1+（l﹣1）Mn﹣1，则l（Mn﹣an﹣1）＝lMn﹣lan﹣1＝S（n，l）﹣lan﹣1≤an﹣1+（l﹣1）Mn﹣1﹣lan﹣1＝（l﹣1）Mn﹣1﹣an﹣1，即Mn﹣an﹣1≤，类似的，l（an﹣1﹣mn）＝lan﹣1﹣lmn＝lan﹣1﹣S（n，l）＝lan﹣1﹣an﹣1﹣S（n﹣1，l﹣1）≤（l﹣1）an﹣1﹣（l﹣1）mn﹣1＝（l﹣1）（an﹣1﹣mn﹣1），∵mn﹣1≤an﹣1≤Mn﹣1•t≤n﹣1，l≤n﹣1，∴Mn﹣mn，∴Mn﹣mn＝（Mn﹣an﹣1）+（an﹣1﹣mn）≤+＝＝，

12∴Mn﹣mn≤，∵a1＝0，a2＝1，∴mn﹣1≠Mn﹣1，∴n（Mn﹣mn）＜（n﹣1）（Mn﹣1﹣mn﹣1），∴正整数n≥4时，bn＜bn﹣1成立，即正整数n＞3时，bn+1＜bn成立，∴在正整数n满足3≤n≤2020时，当n＝3时，bn取最大值为b3＝3（1﹣）＝．