上海市青浦区2020-2021学年高二下学期期末考试数学Word版含解析

《上海市青浦区2020-2021学年高二下学期期末考试数学Word版含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

2020-2021学年上海市青浦区高二（下）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．已知复数z＝，其中i为虚数单位，则|z|＝　　．2．抛物线x2＝﹣y的焦点到准线的距离是　　．3．双曲线﹣＝1的渐近线方程是　　．4．在（2x+）6的二项展开式中，常数项为　　．5．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，且，则该四棱锥P﹣ABCD的体积为　　．6．已知两条直线l1：ax﹣2y﹣3＝0，l2：4x+6y﹣3＝0，若l1的一个法向量恰为l2的一个方向向量，则a＝　　．7．已知抛物线y2＝8x的焦点（a＞0）的右焦点重合，则a＝　　．8．现有《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》各一本，分给甲、乙、丙、丁、戊5名同学，每人一本，若甲乙都没有拿到《诗经》，且乙也没拿到《春秋》，则所有可能的分配方案有　　种．9．甲乙两人分别掷两颗骰子与一颗骰子，设甲的两颗骰子的点数分别为a与b，乙的骰子点数为c．则掷出的点数满足a⋅b＝c的概率为　　.（用最简分数表示）10．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”日“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．”意思是：球的体积V乘以16，除以9，再开立方，即为球的直径d，由此我们可以推测当时圆周率的近似值大小为　　．11．设z1，z2，z3为复数，给出下列四个命题：①若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2；②若z1z3＝z2z3，则z1＝z2；③若，则|z1z3|＝|z2z3|；

1④若，则z1＝z3．其中真命题的序号是　　．12．已知点P（0，2），圆O：x2+y2＝16上两点M（x1，y1），N（x2，y2）满足，则|3x1+4y1+25|+|3x2+4y2+25|的最小值为　　．二、选择题13．若（3+i）（2+xi）＝y，其中x，y∈R，则复数x+yi在复平面内对应的点位于（　　）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（　　）A．B．C．D．15．已知直线l1：xsinα+y＝0与直线l2：3x+y+c＝0，则下列结论中正确的是（　　）A．直线l1与直线l2可能重合B．直线l1与直线l2可能垂直C．直线l1与直线l2可能平行D．存在直线l1上一点P，直线l1绕点P旋转后可与直线l2重合16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱AB、BC的中点，过点D1，E，F的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为V1，V2，记V1＜V2，则V1：V2＝（　　）A．B．C．D．三、解答题17．已知z1，z2是实系数一元二次方程的两个虚数根，且z1，z2满足方程2z1+（1﹣i）z2＝3+5i．（1）求z1和z2；（2）写出一个以z1和z2为根的实系数一元二次方程．18．如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，且AB＝2PO＝2．（1）求异面直线PC与OE所成的角的大小；

2（2）求二面角P﹣AC﹣E的大小．19．如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点A，B，它们距离城市中心O的距离均为，C是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心O的距离为4km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路M﹣N﹣P如图所示，道路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16km，其中道路起点M到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到O的距离都相等，以O为原点、线段AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy．（1）求道路M﹣N﹣P的曲线方程；（2）现要在M﹣N_P上建一站点Q，使得Q到景点C的距离最近，问如何设置站点Q的位置（即确定点Q的坐标）？20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为F．（1）若直线x＝2被抛物线C截得的弦长为4，求抛物线C的方程；（2）设E为点F关于原点O的对称点，P为抛物线上任意一点，求的取值范围：（3）过焦点F作直线交抛物线于A、B两点，满足，过A作抛物线准线的垂线，垂足记为A，准线交x轴于C点，若，求p的值．21．如图，已知椭圆Γ：的长轴长为4，焦距为，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，C、D在椭圆Γ上，点D在第一象限，CB的延长线交椭圆Γ于点E，直线AE与椭圆Γ、y轴分别交于点F、G，直线CG交椭圆于点H，联结FH．（1）求椭圆Γ的方程；

3（2）设直线AB、CG的斜率分别为k1，k2，求证：为定值；（3）求直线FH的斜率k的最小值．

4参考答案一、填空题1．已知复数z＝，其中i为虚数单位，则|z|＝　　．解：∵z＝＝，∴|z|＝．故答案为：．2．抛物线x2＝﹣y的焦点到准线的距离是　　．解：抛物线的焦点为（0，﹣），准线方程为y＝，所以抛物线x2＝﹣y的焦点到准线的距离﹣（﹣）＝，故答案为：．3．双曲线﹣＝1的渐近线方程是　y＝±x　．解：∵双曲线方程为﹣＝1的，则渐近线方程为线﹣＝0，即y＝±，故答案为y＝±．4．在（2x+）6的二项展开式中，常数项为　60　．解：∵（2x+）6的二项展开式的通项公式为Tr+1＝•26﹣r•，令6﹣＝0，求得r＝4，可得展开式的常数项为•22＝60，故答案为：60．5．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，且，则该四棱锥P﹣ABCD的体积为　　．

5解：因为PA⊥底面ABCD，且，所以四棱锥P﹣ABCD的体积为：V四棱锥P﹣ABCD＝•S正方形ABCD•PA＝×22×2＝．故答案为：．6．已知两条直线l1：ax﹣2y﹣3＝0，l2：4x+6y﹣3＝0，若l1的一个法向量恰为l2的一个方向向量，则a＝　3　．解：两条直线l1：ax﹣2y﹣3＝0，l2：4x+6y﹣3＝0，∵l1的一个法向量恰为l2的一个方向向量，∴l1⊥l2，∴a×4﹣2×6＝0，解得a＝3．故答案为：3．7．已知抛物线y2＝8x的焦点（a＞0）的右焦点重合，则a＝　　．解：抛物线的焦点坐标为（2，0），因为抛物线y2＝8x的焦点（a＞0）的右焦点重合，所以c＝2，所以a2＝b2+c2＝1+4＝5，所以a＝，故答案为：．8．现有《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》各一本，分给甲、乙、丙、丁、戊5名同学，每人一本，若甲乙都没有拿到《诗经》，且乙也没拿到《春秋》，则所有可能的分配方案有　54　种．解：根据题意，分2种情况讨论：①，甲选择了《春秋》，乙有3种选法，将剩下的三本书全排列，对应丙、丁、戊3人，有A33＝6种情况，则此时有3×6＝18种分法；②，甲没有选择《春秋》，则甲的选法有3种，乙的选法有2种，将剩下的三本书全排列，对应丙、丁、戊3人，有A33＝6种情况，

6则此时有3×2×6＝36种分法；则一共有18+36＝54种选法；故答案为：54．9．甲乙两人分别掷两颗骰子与一颗骰子，设甲的两颗骰子的点数分别为a与b，乙的骰子点数为c．则掷出的点数满足a⋅b＝c的概率为　　.（用最简分数表示）解：甲乙两人分别掷两颗骰子与一颗骰子，基本事件的个数为6×6×6＝216，满足a⋅b＝c的基本事件有：1×1＝1，1×2＝2，1×3＝3，1×4＝4，1×5＝5，1×6＝6，2×1＝2，3×1＝3，4×1＝4，5×1＝5，6×1＝6，2×2＝4，2×3＝6，3×2＝6，共有14个，所以掷出的点数满足a⋅b＝c的概率为．故答案为：．10．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”日“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．”意思是：球的体积V乘以16，除以9，再开立方，即为球的直径d，由此我们可以推测当时圆周率的近似值大小为　　．解：根据题意：d＝，⇒V＝，由于球的体积公式V＝＝＝，∴，∴．故答案为：．11．设z1，z2，z3为复数，给出下列四个命题：①若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2；②若z1z3＝z2z3，则z1＝z2；③若，则|z1z3|＝|z2z3|；④若，则z1＝z3．其中真命题的序号是　③　．解：当z1＝1，z2＝i时，|z1|＝|z2|＝1，但z1≠±z2，故①错误，当z3＝0时，z1z3＝z2z3，但z1并不一定等于z2，故②错误，设z1＝a+bi，∵，∴z2＝a﹣bi，∴，

7∴|z1||z3|＝|z2||z3|，即|z1z3|＝|z2z3|，故③正确，当z1＝i，z3＝﹣i时，＝1，但z1≠z3，故④错误．故答案为：③．12．已知点P（0，2），圆O：x2+y2＝16上两点M（x1，y1），N（x2，y2）满足，则|3x1+4y1+25|+|3x2+4y2+25|的最小值为　48　．解：∵，∴P，M，N共线，又∵圆O：x2+y2＝16过两点M（x1，y1），N（x2，y2），∴M，N是过点P（0，2）的直线与圆x2+y2＝16的两交点，设M，N的中点为（x0，y0），2x0＝x1+x2，2y0＝y1+y2，则的几何含义为M，N两点到直线3x+4y+25＝0的距离和，则＝，又∵M，N是过点P（0，2）的直线与圆x2+y2＝16的两交点，∴，两式作差可得，，又由两点之间的斜率公式可得，，∴，化简可得，则MN的中点轨迹为以（0，1）为圆心，以1为半径的圆，则（x0，y0）到直线3x+4y+25＝0的距离的最小值为，∴|3x1+4y1+25|+|3x2+4y2+25|＝＝5×＝48．故答案为：48．二、选择题13．若（3+i）（2+xi）＝y，其中x，y∈R，则复数x+yi在复平面内对应的点位于（　　）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

8解：因为（3+i）（2+xi）＝y，所以6﹣x+（3x+2）i＝y，故，解得，所以复数x+yi在复平面内对应的点为，位于第二象限．故选：B．14．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（　　）A．B．C．D．解：4个1和2个0随机排成一行，共有种，2个0不相邻，先将4个1全排列，再用插空法将2个0放入共有种，故2个0不相邻的概率为．故选：C．15．已知直线l1：xsinα+y＝0与直线l2：3x+y+c＝0，则下列结论中正确的是（　　）A．直线l1与直线l2可能重合B．直线l1与直线l2可能垂直C．直线l1与直线l2可能平行D．存在直线l1上一点P，直线l1绕点P旋转后可与直线l2重合解：∵直线l1：xsinα+y＝0的斜率为k1＝﹣sinα，直线l2：3x+y+c＝0的斜率k2＝﹣3，∵﹣1≤sinα≤1，∴k1，k2不可能相等，∴直线l1与直线l2不可能重合，也不可能平行，故A，C，D均错误；当sinα＝﹣时，k1k2＝﹣1，l1⊥l2，∴直线l1与直线l2可能垂直，故B正确．故选：B．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱AB、BC的中点，过点D1，E，F的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为V1，V2，记V1＜V2，则V1：V2＝（　　）

9A．B．C．D．解：延长EF，交DC的延长线与点P，连接D1P，交CC1于点G，连接FG；延长FE，交DA的延长线与点O，连接D1O，交AA1于点H，连接HE；所以过点D，E，F的截面为D1HEFG，如图所示：设正方体的棱长为2a，则过点D1、E、F的截面下方几何体的体积为：V1＝•OD﹣2•S△AEH•OA＝••3a•2a•3a﹣2•••a••a＝a3，所以另一部分几何体的体积为V2＝8a3﹣a3＝a3，所以V1：V2＝，故选：C．三、解答题17．已知z1，z2是实系数一元二次方程的两个虚数根，且z1，z2满足方程2z1+（1﹣i）z2＝3+5i．（1）求z1和z2；（2）写出一个以z1和z2为根的实系数一元二次方程．解：（1）根据题意，设z1＝a+bi，z2＝a﹣bi，代入2z1+（1﹣i）z2＝3+5i中，得2a+2bi+（1﹣i）（a﹣bi）＝3+5i，整理得3a﹣b+（b﹣a）i＝3+5i，∴，解得，∴z1＝4+9i，z2＝4﹣9i；

10（2）∵z1+z2＝4+9i+4﹣9i＝8；z1•z2＝（4+9i）（4﹣9i）＝97，∴以z1和z2为根的实系数一元二次方程为x2﹣8x+97＝0．18．如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，且AB＝2PO＝2．（1）求异面直线PC与OE所成的角的大小；（2）求二面角P﹣AC﹣E的大小．解：（1）证明：方法（1）∵PO是圆锥的高，∴PO⊥底面圆O，根据中点条件可以证明OE∥AC，得∠PCA或其补角是异面直线PC与OE所成的角；所以（1分）异面直线PC与OE所成的角是（1分）（1）方法（2）如图，建立空间直角坐标系，，E（1，1，0）∴，，，设与夹角θ，异面直线PC与OE所成的角．（2）、方法（1）、设平面APC的法向量，∴，平面ACE的法向量，（1分）

11设两平面的夹角α，则，所以二面角P﹣AC﹣E的大小是arccos．方法（2）、取AC中点为D，连接PD，OD，又圆锥母线PA＝AC，∴PD⊥AC，∵底面圆O上OA＝OC∴OD⊥AC，又E为劣弧CB的中点，即有E∈底面圆O，∴二面角P﹣AC﹣E的平面角即为∠PDO，∵C为半圆弧AB的中点，∴∠AOC＝90°又直径，∴，∵PO⊥底面圆O且OD⊂底面圆O，∴PO⊥OD，又∴△Rt△PDO中，，∴所以二面角P﹣AC﹣E的大小是arccos．19．如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点A，B，它们距离城市中心O的距离均为，C是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心O的距离为4km

12，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路M﹣N﹣P如图所示，道路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16km，其中道路起点M到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到O的距离都相等，以O为原点、线段AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy．（1）求道路M﹣N﹣P的曲线方程；（2）现要在M﹣N_P上建一站点Q，使得Q到景点C的距离最近，问如何设置站点Q的位置（即确定点Q的坐标）？【解答】（1）根据题意，线路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16km，则线路MN所在的曲线是以定点A，B为左右焦点的双曲线的右上支上，其方程为x2﹣y2＝64（8⩽x⩽10，0⩽y⩽6），又由线路NP段上的任意一点到O的距离都相等，则线路NP所在的曲线为以O为圆心，ON为半径的圆，其方程为x2+y2＝64，（8⩽x⩽10），故道路M﹣N﹣P的曲线方程为MN段：x2﹣y2＝64，（8⩽x⩽10，0⩽y⩽6）；NP段，x2+y2＝64，（8⩽x⩽10）．（2）当Q在线路MN上，设Q（x0，y0），又由C（0，4），则，由（1）可得：x2﹣y2＝64，则，分析可得，当y0＝2时，|CQ|有最小值，且，当Q在线路NP上时，设Q（x0，y0），又由C（0，4），则，又由（1）：x2+y2＝64，（8⩽x⩽10），此时，当y0＝0时，|CQ|有最小值，且，

13又由，即|CQ|的最小值为，此时y0＝2，则；则Q的坐标为，此时Q到C的距离最小．20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为F．（1）若直线x＝2被抛物线C截得的弦长为4，求抛物线C的方程；（2）设E为点F关于原点O的对称点，P为抛物线上任意一点，求的取值范围：（3）过焦点F作直线交抛物线于A、B两点，满足，过A作抛物线准线的垂线，垂足记为A，准线交x轴于C点，若，求p的值．解：（1）联立x＝2与y2＝2px，解得y＝±2，所以弦长为2﹣（﹣2）＝4＝4，解得p＝1，所以抛物线的方程为y2＝2x．（2）由于点E是点F（，0）关于原点O的对称点，则点E（﹣，0），设点P（x0，y0），则y02＝2px0，所以＝＝＝＝≥1，当x0＝0时，＝1，当x0＞0时，＝≤＝，当且仅当x0＝p时等号成立，所以∈[1，]．（3）过点A作抛物线准线的垂线，垂足为A′，过点B作抛物线准线的垂线，垂足为B′，过B作AA′的垂线，垂足记为M，设|BF|＝m，|AF|＝3m，|AM|＝2m，

14所以cos∠A′AF＝＝，所以∠A′AF＝60°，A（+，），由点A在抛物线y2＝2px上，所以m2＝2p（+），解得2p＝3m或2p＝﹣9m（舍去），所以|AF|＝|AA′|＝3m＝2p，所以SCFAA′＝12，所以＝12，所以p＝2．21．如图，已知椭圆Γ：的长轴长为4，焦距为，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，C、D在椭圆Γ上，点D在第一象限，CB的延长线交椭圆Γ于点E，直线AE与椭圆Γ、y轴分别交于点F、G，直线CG交椭圆于点H，联结FH．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设直线AB、CG的斜率分别为k1，k2，求证：为定值；（3）求直线FH的斜率k的最小值．解：（1）因为椭圆的长轴长为4，焦距为，所以2a＝4，2c＝2，解得a＝2，c＝，所以b2＝a2﹣c2＝2，所以椭圆的方程为+＝1．

15（2）证明：设A（x0，0），B（﹣x0，0），C（﹣x0，y0），D（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），所以k1＝kAE＝＝，直线AE的方程为y＝x﹣，令x＝0，得yG＝﹣，k2＝kCG＝＝，所以＝＝﹣，故为定值﹣．（3）由（2）知直线CG的方程为y＝﹣x﹣，将直线CG与椭圆联立，得（1+）x2+x+y02﹣4＝0，所以xH+（﹣x0）＝﹣，得xH＝，所以H（，﹣），同理，将直线AE的方程与椭圆的方程联立，可得（1+）x2﹣x+y02﹣4＝0，

16所以﹣x0+xF＝，解得xF＝，所F（，），所以k＝＝＝•≥•＝，当且仅当2x02＝3y02时，取等号，所以kmin＝．