上海市静安区市西中学2020-2021学年高一下学期期中数学Word版含解析

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2020-2021学年上海市静安区市西中学高一下学期期中考试数学试卷一、填空题（共42分，1-6每小题3分，7-12每小题3分）1．已知tanθ＝2，则＝　　．2．△ABC中，A＝60°，a＝1，则＝　　．3．在正三角形ABC中，AB＝3，则＝　　．4．若函数的图象的相邻两条对称轴的距离是π，则ω＝　　．5．已知，用反余弦形式表示x的结果是　　．6．在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则该三角形是　　三角形．7．如图为函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象，则f（x）＝　　．8．在三角形ABC中，已知D是BC的中点，G是三角形ABC的重心．设向量，，则向量＝　　（结果用表示）．9．如图所示，有一电视塔DC，在地面上一点A测得电视塔尖C的仰角是45°，再向塔底方向前进100米到达点B，此时测得电视塔尖C的仰角为60°，则此时电视塔的高度是　　米．（精确到0.1米）10．设ω＞0，若函数f（x）＝2sinωx在[﹣，]上单调递增，则ω的取值范围是　　．-11-

111．定义运算，则函数的值域为　　．12．已知非零向量，且，则△ABC为　　三角形．二、选择题（共16分，每小题4分）13．设φ∈R，则“φ＝0”是“f（x）＝cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的（　　）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件14．如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是（　　）A．B．C．D．15．已知，则tan2α＝（　　）A．B．C．D．16．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2＝2c2，则cosC的最小值为（　　）A．B．C．D．三、解答题（共42分）17．证明：sinα+sinβ＝2sincos．18．已知π＜α＜，π＜β＜，，，求α﹣β的值．19．已知三个互不相同的平面向量||＝||＝||＝1，与夹角为60°，与夹角为60°，（1）求证：（﹣）⊥；（2）|k++|＞，求k的范围．20．在△ABC中，4sinBsin2（+）+cos2B＝1+．（1）求角B的度数；（2）若a＝4，S△＝5，求边b的值．-11-

221．已知函数．（1）当a＝1时，求f（x）的单调递增区间；（2）当x∈[0，π]时，f（x）的值域为[3，4]，求a、b的值．-11-

3参考答案一、填空题（共42分，1-6每小题3分，7-12每小题3分）1．已知tanθ＝2，则＝　　．解：∵tanθ＝2，∴＝＝＝＝．故答案为：．2．△ABC中，A＝60°，a＝1，则＝　　．解：因为A＝60°，a＝1，所以由正弦定理可得＝＝＝．故答案为：．3．在正三角形ABC中，AB＝3，则＝　　．解：在正三角形ABC中，与的夹角为120°，∴＝＝3×＝﹣，故答案为：﹣．4．若函数的图象的相邻两条对称轴的距离是π，则ω＝　1　．解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴的距离是半个周期∴T＝π，则函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的周期T＝2π则ω＝1-11-

4故答案为：15．已知，用反余弦形式表示x的结果是　arccos或2　．解：∵，①当x时，x＝arccos，②当x时，x＝2，综上所述，用反余弦形式表示x的结果是arccos或2，故答案为：arccos或2．6．在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则该三角形是　直角或等腰　三角形．解：∵sin2A＝sin2B∴sin2A﹣sin2B＝cos（A+B）sin（A﹣B）＝0∴cos（A+B）＝0或sin（A﹣B）＝0∴A+B＝或A＝B∴三角形为直角三角形或等腰三角形．故答案为：等腰或直角．7．如图为函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象，则f（x）＝　2sin（2x+）　．解：由题中的图象知，A＝2，＝﹣＝，即T＝π，所以ω＝＝2，根据五点作图法，令2×+φ＝+2kπ，k∈Z，得到φ＝+2kπ，k∈Z，因为|φ|＜，所以φ＝，-11-

5可得解析式为f（x）＝2sin（2x+）．故答案为：2sin（2x+）．8．在三角形ABC中，已知D是BC的中点，G是三角形ABC的重心．设向量，，则向量＝　　（结果用表示）．解：∵D是BC的中点，G是三角形ABC的重心，∴，∴＝＝+＝+＝﹣+＝+＝+，故答案为：+．9．如图所示，有一电视塔DC，在地面上一点A测得电视塔尖C的仰角是45°，再向塔底方向前进100米到达点B，此时测得电视塔尖C的仰角为60°，则此时电视塔的高度是　236.6　米．（精确到0.1米）解：设电视塔的高度为x，则在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，则，解得．同理在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，则＝1，解得AD＝x，由于，整理得，解得x≈236.6．故答案为：236.610．设ω＞0，若函数f（x）＝2sinωx在[﹣，]上单调递增，则ω的取值范围是　（0，]　．解：∵ω＞0，若函数f（x）＝2sinωx在[﹣，]上单调递增，∴f（x）＝2sinωx在[﹣，]上单调递增，∴T＝•≥，∴0＜ω≤．故答案为：（0，]．-11-

611．定义运算，则函数的值域为　[﹣，]　．解：显然y＝sinx与y＝cosx周期相同，且具有相同的周期区间．故f（x）的周期为2π，取原点右侧第一个完整周期的区间[0，2π]，令sinx＝，得，或．故f（x）＝，易知时，sinx，时，，故函数f（x）的值域为．故答案为：[﹣，]．12．已知非零向量，且，则△ABC为　等边　三角形．解：∵表示AB边的单位向量，表示AC边的单位向量，∴表示的向量在∠BAC的角平分线上，∵，∴∠BAC的角平分线垂直于边BC，所以△ABC是以角A为顶角的等腰三角形，•＝1×1×cosA＝cosA＝，∴A＝60°，等腰△ABC中一角为60°，所以△ABC为等边三角形故答案为：等边二、选择题（共16分，每小题4分）13．设φ∈R，则“φ＝0”是“f（x）＝cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的（　　）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件-11-

7解：因为φ＝0时，f（x）＝cos（x+φ）＝cosx是偶函数，成立；但f（x）＝cos（x+φ）（x∈R）为偶函数时，φ＝kπ，k∈Z，推不出φ＝0．故“φ＝0”是“f（x）＝cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的充分而不必要条件．故选：A．14．如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是（　　）A．B．C．D．解：如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，设边长|P1P2|＝a，则∠P2P1P3＝．，＝，∠P2P1P4＝，|P1P4|＝2a，＝，＝0，＜0，∴数量积中最大的是，故选：A．15．已知，则tan2α＝（　　）A．B．C．D．解：由sinα+2cosα＝，则（sinα+2cosα）2＝，即sin2α+4sinαcosα+4cos2α＝，可得，解得tanα＝3或﹣．那么tan2α＝＝．故选：C．16．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2＝2c2，则cosC的最小值为（　　）-11-

8A．B．C．D．解：因为a2+b2＝2c2，所以由余弦定理可知，c2＝2abcosC，cosC＝＝．故选：C．三、解答题（共42分）17．证明：sinα+sinβ＝2sincos．【解答】证明：令a＝，b＝，则α＝a+b，β＝a﹣bsin（a+b）＝sinacosb+cosasinbsin（a﹣b）＝sinacosb﹣cosasinb两式相加得：sin（a+b）+sin（a﹣b）＝2sinacosb∴sinα+sinβ＝2sincos．18．已知π＜α＜，π＜β＜，，，求α﹣β的值．解：∵π＜α＜，π＜β＜，sinα＝﹣，cosβ＝﹣，∴cosα＝﹣＝﹣，sinβ＝﹣＝﹣，∴sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ＝﹣×（﹣）﹣（﹣）×（）＝﹣，∵﹣＜α﹣β＜0，∴α﹣β＝﹣．19．已知三个互不相同的平面向量||＝||＝||＝1，与夹角为60°，与夹角为60°，（1）求证：（﹣）⊥；（2）|k++|＞，求k的范围．【解答】（1）证明：因为（﹣）•＝•﹣•＝1×1×cos60°﹣1×1×cos60°＝0，所以（﹣）⊥；（2）解：因为与夹角为60°+60°＝1200，且|k++|＞，所以＞6，-11-

9即k2+++2k•+2k•+2•＞6，所以k2+1+1+2k×1×1×cos120°+2k×1×1×cos60°+2×1×1×cos60°＞6，化简得k2＞3，解得k＜﹣或k＞，所以k的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．20．在△ABC中，4sinBsin2（+）+cos2B＝1+．（1）求角B的度数；（2）若a＝4，S△＝5，求边b的值．解：（1）由4sinB•sin2（+）+cos2B＝1+，得：2sinB•[1﹣cos（+B）]+1﹣2sin2B＝1+，可得sinB＝，又∵B是△ABC的内角，∴B＝，或B＝；（2）∵a＝4，S＝5，∴acsinB＝×4×c×＝5，解之得c＝5，∵由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2accosB，∴当B＝时，b＝＝；当B＝时，b＝＝．即边b的值等于或．21．已知函数．（1）当a＝1时，求f（x）的单调递增区间；（2）当x∈[0，π]时，f（x）的值域为[3，4]，求a、b的值．解：（1）a＝1时，f（x）＝（2cos2+sinx）+b＝cosx+1+sinx+b＝sin（x+）+1+b，2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z；（2）f（x）＝a（2cos2+sinx）+b＝a（cosx+1+sinx）+b＝asin（x+）+a+b，当x∈[0，π]时，sin（x+）∈[﹣，1]；-11-

10当a＞0时，由，解得；当a＜0时，由，解得；综上知，a＝﹣1，b＝3；或a＝1﹣，b＝4．-11-