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河南省郑州市2020-2021学年高二下学期期末考试理数试卷一、单选题（共12题；共60分）1.若复数，则（ ）A. B. 3 C. D. 52.已知函数的导函数是，且满足，则（ ）A. -2 B. 0 C. 1 D. 23.已知随机变量的分布列如表．则实数的值为（ ）012A. B. C. D. 4.下列四个命题：⑴两个变量相关性越强则相关系数就越接近于1；⑵两个模型中，残差平方和越小的模型拟合的效果越好；⑶在回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率，越接近于1，表示回归效果越好；⑷在独立性检验中，随机变量的观测值越小，判断“与有关系”的把握程度越大．其中正确命题的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 45.校园歌手大赛共有5名同学成功进人决赛，其中2名男同学，3名女同学．现在他们站成一排合影留念，要求2名男同学站在两端，则有（ ）种不同的站法.A. 2 B. 6 C. 12 D. 246.用反证法证明命题：若，则，应提出的假设为（ ）A. ，至少有一个不等于1 B. ，至多有一个不等于1C. ，都不等于1 D. ，只有一个不等于17.“关注夕阳，爱老敬老”，某商会从2016年开始向晚晴山庄养老院捐赠物资和现金．下表记录了第年（2016年为第一年）捐赠现金（万元）的数据情况．由表中数据得到了关于的线性回归方程为，预测2021年该商会捐赠现金（ ）万元．2345
13.5444.5A. 4.25 B. 5.25 C. 5.65 D. 4.758.2021年5月11日和12日进行了郑州市第三次质量检测．对全市的理科数学成绩进行统计分析，发现数学成绩近似地服从正态分布．据此估计：在全市抽取6名高三学生的数学成绩，恰有2名同学的成绩超过96分的概率为（ ）A. B. C. D. 9.九月是某集团校的学习交流活动月，来自兄弟学校的4名同学（甲校2名，乙校、丙校各1名）到总校交流学习．现在学校决定把他们分到1，2，3三个班，每个班至少分配1名同学．为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（ ）A. 12 B. 18 C. 24 D. 3010.如图，第1个图形是由正三边形“扩展”而来，第2个图形是由正四边形“扩展”而来．依次类推，第个图形是由正边形“扩展”而来，其中，那么第8个图形共有______个顶点（ ）A. 72 B. 90 C. 110 D. 31211.若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 12.已知函数（是自然对数）在定义域上有三个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（共4题；共20分）13.平面内一点到直线：的距离为：．由此类比，空间中一点到平面：的距离为________．14.已知是不相等的两个实数，且．在方程所表示的曲线中任取一个，此曲线是焦点在轴上的双曲线的概率为________．15.2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，2021年也是“十四五”开局之年，必将在中国历史上留下浓墨重彩的标注，作为当代中学生，需要发奋图强，争做四有新人，首先需要学好文化课．现将标有数字2，0，2，1，7，1的六张卡片排成一排，组成一个六位数，则共可组成________个不同的六位数．16.已知关于的方程在上有解，则实数的取值范围是________．
2三、解答题（共6题；共70分）17.已知复数．（1）当实数取什么值时，复数是纯虚数；（2）当实数取什么值时，复平面内表示复数的点位于第一、三象限．18.在二项式的展开式中，第三项系数是倒数第三项系数的．（1）求的值；（2）求展开式中所有的有理项．19.已知数列满足：，，．（1）计算，，的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．20.已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）讨论函数的单调性．21.2021年5月14日，郑州国际会展中心举办了关于“服务教育共筑梦想暨中小学书香校园发展论坛”的活动．某中学为进一步推进书香校园系列活动，增加学生对古典文学的学习兴趣，随机抽取160名学生做统计调查．统计显示，被调查的学生中，喜欢阅读古典文学的男生有40人，占男生调查人数的一半，不喜欢阅读古典文学的女生有20人．（1）完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关？喜欢不喜欢总计男生40女生20总计160（2）为鼓励学生阅读古典文学书籍，学校特开展一场古典文学趣味有奖活动，并设置六个奖项（每个人只获一项奖项每项只有一个人获奖，每个人等可能获奖）现从这160名同学中选出4名男生，6名女生参加活动，记为参加活动的同学中获奖的女生人数，求的分布列及数学期望．附：P（K2≥k）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，
322.已知函数，，其中．（1）若曲线在处的切线斜率为，求的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
4答案解析部分一、单选题（共12题；共60分）1.若复数，则（ ）A. B. 3 C. D. 5【答案】C【考点】复数代数形式的混合运算，复数求模【解析】【解答】.故答案为：C【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数模的概念即可得出答案。2.已知函数的导函数是，且满足，则（ ）A. -2 B. 0 C. 1 D. 2【答案】A【考点】导数的运算【解析】【解答】，则，所以，，解得.故答案为：A.【分析】根据题意对函数求导，再把数值代入到导函数的解析式计算出结果即可。3.已知随机变量的分布列如表．则实数的值为（ ）012A. B. C. D. 【答案】B【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】【解答】依题意.故答案为：B【分析】由题意结合分布列的性质计算出结果即可。
54.下列四个命题：⑴两个变量相关性越强则相关系数就越接近于1；⑵两个模型中，残差平方和越小的模型拟合的效果越好；⑶在回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率，越接近于1，表示回归效果越好；⑷在独立性检验中，随机变量的观测值越小，判断“与有关系”的把握程度越大．其中正确命题的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【考点】两个变量的线性相关，线性回归方程，独立性检验的应用，可线性化的回归分析【解析】【解答】（1），两个变量相关性越强则相关系数的绝对值就越接近于1，所以（1）错误.（2），两个模型中，残差平方和越小的模型拟合的效果越好，正确.（3），在回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率，越接近于1，表示回归效果越好，正确.（4），在独立性检验中，随机变量的观测值越大，判断“与有关系”的把握程度越大，所以（4）错误.故答案为：B【分析】由已知条件即可分析：①根据相关指数R2的性质进行判断、②根据相关关系数的性质进行判断③根据残差的性质进行判断④根据随机变量K2的观测值k的关系进行判断。 5.校园歌手大赛共有5名同学成功进人决赛，其中2名男同学，3名女同学．现在他们站成一排合影留念，要求2名男同学站在两端，则有（ ）种不同的站法.A. 2 B. 6 C. 12 D. 24【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】先安排男生,方法有，再安排女生,方法有，所以不同的方法数有.故答案为：C【分析】根据题意由排列组合以及计数原理代入数值计算出结果即可。6.用反证法证明命题：若，则，应提出的假设为（ ）
6A. ，至少有一个不等于1 B. ，至多有一个不等于1C. ，都不等于1 D. ，只有一个不等于1【答案】A【考点】反证法【解析】【解答】用反证法证明命题：若，则，应提出的假设为“，至少有一个不等于1”.故答案为：A【分析】根据题意由命题的定义即可得出，再由反证法假设为“，至少有一个不等于1”，结合题意即可得出答案。7.“关注夕阳，爱老敬老”，某商会从2016年开始向晚晴山庄养老院捐赠物资和现金．下表记录了第年（2016年为第一年）捐赠现金（万元）的数据情况．由表中数据得到了关于的线性回归方程为，预测2021年该商会捐赠现金（ ）万元．23453.5444.5A. 4.25 B. 5.25 C. 5.65 D. 4.75【答案】D【考点】线性回归方程【解析】【解答】，所以，所以，当时，（万元）.故答案为：D【分析】由已知条件代入公式计算出样本中心点的坐标，再把数值代入到线性回归方程计算出答案即可。8.2021年5月11日和12日进行了郑州市第三次质量检测．对全市的理科数学成绩进行统计分析，发现数学成绩近似地服从正态分布．据此估计：在全市抽取6名高三学生的数学成绩，恰有2名同学的成绩超过96分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【解答】∵数学成绩近似地服从正态分布，∴抽取1名高三学生，数学成绩超过96分的概率为
7，∴所求概率.故答案为：D.【分析】由正态分布的性质结合题意即可求出成绩超过96分的概率，再把数据代入n次独立重复试验概率公式计算出结果即可。9.九月是某集团校的学习交流活动月，来自兄弟学校的4名同学（甲校2名，乙校、丙校各1名）到总校交流学习．现在学校决定把他们分到1，2，3三个班，每个班至少分配1名同学．为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（ ）A. 12 B. 18 C. 24 D. 30【答案】D【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】依题意不同的分配方案种数为.故答案为：D【分析】由排列组合以及计数原理计算出结果即可。10.如图，第1个图形是由正三边形“扩展”而来，第2个图形是由正四边形“扩展”而来．依次类推，第个图形是由正边形“扩展”而来，其中，那么第8个图形共有______个顶点（ ）A. 72 B. 90 C. 110 D. 312【答案】C【考点】归纳推理【解析】【解答】第个顶点12345
8678故答案为：C【分析】根据题意由已知图形，可以列出顶点个数与多边形边数n，然后分析其中的变化规律，然后用归纳推理推断出规律，代入数据计算出结果即可。 11.若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性，不等式的综合【解析】【解答】因为函数，所以，当或时，，当时，，所以当时，取得最大值，又，且在区间上有最大值，所以，解得，所以实数的取值范围是故答案为：D【分析】首先对函数求导结合x的取值范围，即可得出导函数的正负由此得出函数的单调性，由函数的单调性就求出函数的最值，结合题意即可得出在区间上有最大值，从而得到关于a的不等式，求解出a的取值范围即可。12.已知函数（是自然对数）在定义域上有三个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性，函数的零点【解析】【解答】当时，由，当时，由，令，，
9当时，递减，当时，递增，，所以当时，在区间上有两个零点，由于在上有三个零点，所以.综上所述，的取值范围是.故答案为：C【分析】由已知条件即可得出，令对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性以及零点的定义即可得出关于m的不等式，求解出m的取值范围即可。二、填空题（共4题；共20分）13.平面内一点到直线：的距离为：．由此类比，空间中一点到平面：的距离为________．【答案】【考点】点到直线的距离公式，点、线、面间的距离计算【解析】【解答】平面内一点到直线：的距离为：．由此类比，空间中一点到平面的距离为：.所以空间中一点到平面：的距离为.故答案为：【分析】根据题意由点到直线的距离公式结合题意，再由点到平面的结论公式计算出结果即可。14.已知是不相等的两个实数，且．在方程所表示的曲线中任取一个，此曲线是焦点在轴上的双曲线的概率为________．【答案】【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】【解答】方程表示的所有曲线共有：种；若表示焦点在轴上的双曲线，则，，共有：种；∴所求概率.故答案为：.【分析】首先由题意求出曲线的种数，再由双曲线的性质求出焦点在轴上的双曲线的种数，然后由概率公式代入数值计算出结果即可。
1015.2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，2021年也是“十四五”开局之年，必将在中国历史上留下浓墨重彩的标注，作为当代中学生，需要发奋图强，争做四有新人，首先需要学好文化课．现将标有数字2，0，2，1，7，1的六张卡片排成一排，组成一个六位数，则共可组成________个不同的六位数．【答案】150【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】依题意可组成不同的六位数有.故答案为：150【分析】根据题意由排列组合以及计数原理计算出结果即可。16.已知关于的方程在上有解，则实数的取值范围是________．【答案】【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性，不等式的综合【解析】【解答】由得，所以，令，则，又在内单调递增，设为根，即满足，则，两边取对数，得，因为，所以当时，；当时，，所以在内单调递减，在内单调递增，且时，，又，所以当时，有解，即关于的方程在上有解.故答案为：.【分析】根据题意对其求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，由函数的单调性结合a的取值范围由分离参数的方法即可得出的方程在上有解，由此得出a的取值范围。三、解答题（共6题；共70分）17.已知复数．（1）当实数取什么值时，复数是纯虚数；（2）当实数取什么值时，复平面内表示复数的点位于第一、三象限．【答案】（1）当复数是纯虚数时，有，解得．所以当实数时，复数是纯虚数．（2）当表示复数的点位于第一、三象限时，有，解得或，
11所以当实数时，表示复数的点位于第一、三象限．【考点】复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算【解析】【分析】(1)根据题意由复数的概念即可计算出m的值。(2)由复数代数形式的几何意义整理即可得到关于m的不等式，求解出m的取值范围即可。18.在二项式的展开式中，第三项系数是倒数第三项系数的．（1）求的值；（2）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）展开式的通项为：，依题可得：，解得．（2）由（1）知，展开式中的第1，3，5，7项为有理项，且，，，【考点】组合及组合数公式，二项式定理【解析】【分析】(1)根据题意由二项式的通项公式，整理即可得出，由组合数的计算公式计算出结果即可。(2)由(1)的结论代入数值计算出结果即可。19.已知数列满足：，，．（1）计算，，的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．【答案】（1）依题意，，，，，.（2）由（1）猜想：．证明：①当时，，猜想成立；②假设当时猜想成立，即．，那么，依题可得．
12所以，当时猜想成立．根据①和②，可知猜想对任何都成立．【考点】数列递推式，数学归纳法【解析】【分析】(1)由数列的递推公式整理即可得出答案。(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，再由归纳假设法猜想即可得出答案。 20.已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）讨论函数的单调性．【答案】（1）当时，，定义域为，．令，解得，或．当变化时，，的变化情况如下表：2＋0－0＋单调递增单调递减单调递增当时，有极大值，且极大值为；当时，有极小值，且极小值为．（2）函数定义域为，．令得或．①若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增．②若，即，则当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.③若，即，则当时，，单调递增，④若，即，则当时，，单调递增；当时，，单调递减；
13当时，，单调递增．综上所述，当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是，，递减区间是；当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；当时，的单调递增区间是，，单调递减区间是．【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【分析】(1)首先由a的值得到函数的解析式，再对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，结合函数的单调性以及极值的定义即可得出答案。(2)根据题意首先求出函数的定义域，再对其求导结合a的取值范围即可得出导函数的正负，由此即可得出函数的单调性以及单调区间。 21.2021年5月14日，郑州国际会展中心举办了关于“服务教育共筑梦想暨中小学书香校园发展论坛”的活动．某中学为进一步推进书香校园系列活动，增加学生对古典文学的学习兴趣，随机抽取160名学生做统计调查．统计显示，被调查的学生中，喜欢阅读古典文学的男生有40人，占男生调查人数的一半，不喜欢阅读古典文学的女生有20人．（1）完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关？喜欢不喜欢总计男生40女生20总计160（2）为鼓励学生阅读古典文学书籍，学校特开展一场古典文学趣味有奖活动，并设置六个奖项（每个人只获一项奖项每项只有一个人获奖，每个人等可能获奖）现从这160名同学中选出4名男生，6名女生参加活动，记为参加活动的同学中获奖的女生人数，求的分布列及数学期望．附：P（K2≥k）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，【答案】（1）由已知可得调查中男生共有80人，女生有80人，其中喜欢阅读古典文学的女生有60人
14故列联表为：喜欢不喜欢总计男生404080女生602080总计10060160∴．故能在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关．（2），，，，．的分布列为23456．【考点】独立性检验的应用，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】(1)由已知条件的图表中的数据结合观测值的公式计算出结果，再与标准值进行比较即可得出结果。(2)根据题意即可得出的取值，再由概率的公式求出对应的的概率由此得到的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。22.已知函数，，其中．（1）若曲线在处的切线斜率为，求的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）依题可得，且，．．（2）由题设知，即，整理得，设，则上式即为．
15，令得．当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．又当时，，只需，即，设，则．令得．当时，，单调递增；当时，，单调递减．．．【考点】函数单调性的性质，导数的运算，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导，再把数值代入导函数的解析式得到，由此计算出a的值。(2)由已知条件即可得出，整理得到，设即对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，进而得到即，构造函数对其求导结合导函数的性质得出函数的单调性，由函数的单调性整理即可得到，从而得到a的取值范围。
