上海市延安中学2020-2021学年高一下学期期末考数学Word版含解析

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2020-2021学年上海市长宁区延安中学高一下期末考数学试卷一、填空题（每小题3分，共39分）1．复数z＝2+i的虚部为　　．2．计算：＝　　．3．函数，的值域为　　．4．方程的解集为　　．5．已知M（3，﹣2），N（0，4），若，则点P的坐标为　　．6．已知复数z满足＝，则|z+i|＝　　．7．已知复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，，则|z1﹣z2|＝　　．8．已知向量，，若平面上任意向量都可以唯一地表示为与的线性组合，则实数m的取值范围是　　．9．已知虚数z是1的一个四次方根，复数μ＝zn+（）n，n∈N，用列举法表示满足条件的μ组成的集合为　　．10．已知向量，，则在方向上的投影的坐标为　　．11．已知复数﹣3+3i在复平面上所对应的向量是，将绕原点O顺时针旋转120°得到向量，则向量所对应的复数为　　（结果用复数的代数形式表示）．12．已知函数y＝tanωx在区间上是严格减函数，则实数ω的取值范围是　　．13．如图是某自行车的平面结构示意图，已知圆A（前轮）、圆D（后轮）的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形；设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为　　．学科网（北京）股份有限公司

1二、选择题（每小题3分，共15分)14．设z1、z2∈C，则“z12+z22＝0”是“z1＝z2＝0”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．的三角形式是（　　）A．B．C．D．16．在下列各式中，正确的是（　　）A．B．C．若，则D．若，且，则17．已知平面向量，，满足，且，，则下列选项正确的是（　　）A．若，则x＞0，y＞0B．若，则x＜0，y＜0C．若，则x＞0，y＞0D．若，则x＜0，y＜018．甲、乙两个同学对问题“已知m＞0，n＞0，若关于x的实系数一元二次方程x2﹣px+m＝0的两个根x1，x2，满足|x1﹣x2|＝n，求实数p的值”，各自提出一个猜测：甲说：“对于任意一组m，n的值，p的不同值最多有4个；”乙说：“存在一组m，n的值，使得p的不同值恰有3个．”则下列选项正确的是（　　）A．甲的猜测正确，乙的猜测错误B．甲的猜测错误，乙的猜测正确学科网（北京）股份有限公司

2C．甲、乙的猜测都正确D．甲、乙的猜测都错误三、解答题（共46分)19．已知复数z满足z+4为纯虚数，且为实数；若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．20．已知向量，．（1）求，的夹角；（2）若，求实数k的值．21．若在复数范围内，关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣a＝0至少有一个模为2的根，求实数a的值．22．如图，平行四边形ABCD中，．（1）若，E为AM中点，求证：点D，E，N共线；（2）若∠DAB＝60°，，求的最小值，及此时的值．23．已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为y＝asinx+bcosx（x∈R），向量称为函数y＝asinx+bcosx的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．（1）已知α∈R，h（x）＝cos（x+α）+2cosx，若函数y＝h（x）为集合S中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范围；（2）已知点M（a，b）满足条件：a＝3，；若向量的“相伴函数”y＝f（x）在x＝x0处取得最大值，当b在区间变化时，求tan2x0的取值范围．学科网（北京）股份有限公司

3参考答案一、填空题（每小题3分，共39分）1．解：由复数的基本概念知：复数z＝2+i的虚部为1．故答案为：1．2．解：∵＝＝＝＝2+i，∴＝|2+i|＝＝．故答案为：．3．解：当x∈（，），x﹣∈（，），∴函数＞1，故函数y的值域为（1，+∞），故答案为：（1，+∞）．4．解：方程sinx＝，在（0，2π）的解为x＝或x＝，根据终边相同的角三角函数值相等，可得方程sinx＝的解集为：{x|x＝2kπ+，或x＝2kπ+，k∈Z}＝{x|x＝kπ+（﹣1）k，k∈Z}．故答案为：{x|x＝kπ+（﹣1）k，k∈Z}．5．解：设点P（x，y），由M（3，﹣2），N（0，4），所以＝（x﹣3，y+2），＝（﹣x，4﹣y），由，得，解得，所以点P的坐标为（1，2）．故答案为：（1，2）．6．解：设z＝a+bi，则＝a﹣bi，∵＝，学科网（北京）股份有限公司

4∴（）（z+i）＝9，即，∴a2+b2﹣a﹣bi+ai+b﹣i＝9∴（a2+b2﹣a+b）+（a﹣b﹣1）i＝9，则，解得或．当时，|z+i|＝|（）+（）i|＝＝；当时，|z+i|＝|（）+（）i|＝＝．故答案为：（）或（）．7．解：∵复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，∴令z1＝cosA+isinA，z2＝cosB+isinB∵|z1+z2|＝，∴（cosA+cosB）2+（sinA+sinB）2＝2，整理得2cosAcosB+2sinAsinB＝0，又|z1﹣z2|2＝（cosA﹣cosB）2+（sinA﹣sinB）2＝2﹣2cosAcosB﹣2sinAsinB＝2，∴|z1﹣z2|＝．故答案为：．8．解：因为平面上任意向量都可以唯一地表示为与的线性组合，则与为平面向量的一组基底，故与为不共线的非零向量，所以4（1﹣m）≠﹣3（m+2），所以m≠10，故实数m的取值范围是（﹣∞，10）∪（10，+∞）．故答案为：（﹣∞，10）∪（10，+∞）．9．解：∵虚数z是1的一个四次方根，∴z＝i或z＝﹣i，故μ＝zn+（）n＝in+（﹣i）n，当n＝1时，μ＝0，学科网（北京）股份有限公司

5当n＝2时，μ＝﹣2，当n＝3时，μ＝0，当n＝4时，μ＝2，故满足条件的μ组成的集合为{0，﹣2，2}，故答案为：{0，﹣2，2}．10．解：向量，，所以•＝9﹣24＝﹣15，则在方向上的投影的坐标为||cosθ•＝•＝×（3，﹣4）＝（﹣，）．故答案为：（﹣，）．11．解：向量与复数﹣3+3对应，把绕原点O按顺时针方向旋转120°得到，可得与对应的复数为（﹣3+3i）•[cos（﹣120°）+isin（﹣120°）]＝（﹣3+3i）（﹣）＝，故答案为：．12．解：∵函数y＝tanωx在区间上是严格减函数，∴ω＜0，且﹣≤•ω，﹣•ω≤，求得﹣1≤ω＜0，故实数ω的取值范围为[﹣1，0），故答案为：[﹣1，0）．13．解：据题意：圆D（后轮）的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．点P为后轮上的一点，如图建立平面直角坐标系：则A（﹣8，0），B（﹣6，2），C（﹣2，2）．圆D的方程为x2+y2＝3，可设P（cosα，sinα），0≤α＜2π，所以＝（6，），＝（cosα+6，sinα﹣2）．学科网（北京）股份有限公司

6故＝6sinα+6cosα+24＝12（sinα+cosα）+24＝12sin（α+）+24≤12+24＝36，当且仅当α＝时，取得最大值36．故答案为：36．二、选择题（每小题3分，共15分)14．解：若z1＝i，z2＝1，满足设“z12+z22＝0”，但“z1＝z2＝0”不成立，若z1＝z2＝0，则z12+z22＝0成立，故“z12+z22＝0”是“z1＝z2＝0”的必要不充分条件，故选：B．15．解：＝．故选：B．16．解：||＝|||||cos＜，＞|不一定等于|||，∴A错；（）2＝（||||cos＜，＞）2＝•cos2＜，＞不一定等于•，∴B错；由两边平方，得+2•+＝﹣2•+，∴•＝0，∴C对；由，得•﹣•＝0，∴•（﹣）＝0，又∵≠，∴﹣＝，∴＝，∴D错．故选：C．17．解：由于，且，若，取，则学科网（北京）股份有限公司

7由于，即有0＝x﹣2y，1＝x+y，解得，则可排除B，取，则由于，即有1＝x+2y，1＝y，解得x＝﹣1，y＝1，则可排除C，D，故选：A．18．解：实系数一元二次方程x2﹣px+m＝0，则Δ＝p2﹣4m，当Δ＝0时，x1＝x2，则|x1﹣x2|＝n＝0与条件n＞0矛盾，当Δ＞0时，，，可得有两个值，当Δ＜0时，，，可得有一个或两个值．综上可知，当4m＝n2时，p的值有3个，当4m＞n2时，p的值有4个，所以甲、乙二人的猜测都正确．故选：C．三、解答题（共46分)19．解：设z＝x+yi（x，y∈R），则z+4＝（x+4）+yi，∵z+4为纯虚数，∴x+4＝0且y≠0，即x＝﹣4，y≠0．又＝＝∈R，∴2y﹣4＝0，即y＝2．∴z＝﹣4+2i，∵m为实数，且（z+mi）2＝[﹣4+（m+2）i]2＝（12﹣4m﹣m2）﹣8（m+2）i，学科网（北京）股份有限公司

8由题意，，解得﹣2＜m＜2．∴实数m的取值范围为（﹣2，2）．20．解：（1）根据题意，向量，．则||＝，||＝1，•＝﹣1，则cos＝＝＝﹣，又由0≤≤π，则＝π﹣arccos；（2）根据题意，3﹣2＝（5，6），k+＝（k﹣1，2k），若，则有（3﹣2）•（k+）＝5（k﹣1）+12k＝0，解可得：k＝．21．解：①若两根为实根时，不妨设|x1|＝2，则x1＝±2，当x1＝2时，则a2﹣5a+4＝0，解得a＝1或a＝4；当x1＝﹣2时，则a2+3a+4＝0，由于Δ＝9﹣16＝﹣7＜0，可得a无解．②若两根为虚根时，则x1＝，x1•x2＝＝4，即a2﹣a＝4，求得a＝．再根据此时Δ＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣a）＝4a＜0，得a＜0，所以a＝．综上可得，a＝，或a＝4，或a＝1．22．解：（1）∵平行四边形ABCD中，，，E为AM中点，∴＝＝（+）＝（+）＝+，∵+＝1，∴D，E，N共线；（2）设||＝||＝x＞0，||＝||＝y＞0，根据∠DAB＝60°，，可得xy＝1，2＝（+）2＝（+）2＝x2+xy×+y2＝x2+y2+≥xy+＝2，∴学科网（北京）股份有限公司

9||≥，当且仅当x＝y且xy＝1，即x＝，y＝时，||取得最大值，此时的值．23．解：（1）证明：h（x）＝cos（x+α）+2cosx＝﹣sinα⋅sinx+（2+cosα）cosx，∴函数h（x）的相伴向量，∴h（x）∈S．，∴cosα＝1时，；cosα＝﹣1时，．∴的取值范围为[1，3]．（2）的相伴函数f，其中．当，即时，f（x）取得最大值，∴，∴，为直线OM的斜率，由几何意义知，令，则，当m时，，∴．学科网（北京）股份有限公司

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