《数列的函数特性》示范公开课教学课件【高中数学北师大】

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第一章　数列数列的函数特性

1掌握判断数列增减性的方法．利用数列的增减性求最大值、最小值．1.了解递增数列、递减数列、常数列的概念．2.会作数列的函数图像．3.根据通项公式,会判断数列的增减性．4.通过数列的函数性质的学习培养数学抽象的核心素养．

2很相似？大家看到这几个问题.我国2008—2020年间部分年份国内生产总值（万亿元）数据排成一列数：101.36,98.65,91.93,83.20,74.64,68.88,64.36,59.30,53.86,48.79,41.21,34.85,31.92此数列也可用图直观表示:

3定义概念可以把一个数列视作是定义在正整数集（或其子集）上的一类特殊的函数，即,由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有列表法、图像法和解析法．

4（1）3,4,5,6,7,8,9（2）(3)2022,2022,2022,…,2022观察下列数列的图像，他们各有什么特点？数列（1）的函数图像上升数列（2）的函数图像下降数列（3）的函数图像值不变化答：1234567890x123456789y12340x12y1234567890x2022y

5定义概念递增数列：如果一个数列从第2项起，每一项都大于它的前一项，那么这个数列就叫做递增数列.递减数列：如果一个数列从第2项起，每一项都小于它的前一项，那么这个数列就叫做递减数列.常数列：如果一个数列各项相等，那么这个数列就叫做常数列.

6若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，那么数列an＝f(n)也单调递增吗？反之成立吗？答：若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数an＝f(n)也单调递增，但反之不成立，例如，数列an＝f(n)单调递增，但在[1，＋∞)上不是单调递增．

7答：比较数列中相邻的两项an与an＋1的大小来确定其单调性．如何判断数列的单调性？若：an＋1＞an，则数列为递增数列若：an＋1＝an，则数列为常数列若：an＋1＜an，则数列为递减数列

8判断下列无穷数列的增减性.(1)2,1,0,-1,…,3-n,…解:(1)设,那么,,所以,,因此，数列为递减数列

9解:(2)设,那么,,所以,,因此，数列为递增数列判断下列无穷数列的增减性.(1)2,1,0,-1,…,3-n,…

10判断数列增减性的方法作差比较法：①若恒成立，则数列是递增数列；②若恒成立，则数列是递减数列；③若恒成立，则数列是常数列．也可以用作商比较法．凝炼总结：通过以上练习，你能总结出怎样的结论？

11已知数列{an}的通项公式为，画出它的图像，并判断其增、减性．解：图像如图所示，该数列在{1,2,3,4}上是递减的，在{5,6，…}上也是递减的．

12画数列的图像的方法数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图像．因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})，所以其图像是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的．凝炼总结：通过以上练习，你能总结出怎样的结论？

13已知数列{an}的通项，求数列{an}的最大值.解:∵,∴当时,，数列单调递增,当时,，数列单调递减,而,即是数列的最大项，

14数列中最大项与最小项的两种求法:(1)若求最大项an，则an应满足,若求最小项an，则an应满足,(2)将数列看作一个特殊的函数，通过函数的最值来解决数列的最值问题，但此时应注意n∈N＋这一条件．凝炼总结：若求最大项an，则an应满足,通过以上练习，你能总结出怎样的结论？

15下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()A．1，，，…B．－1,2，－3,4，…C．，，，，…D．1，，，…，解：由递增数列的知识，可知属于递增数列的是选项C、D；由无穷数列的知识，可知属于无穷数列的是选项A，B，C(用省略号)．故既是无穷数列又是递增数列的是选项C.C

16已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N＋)且{an}递增，求实数k的取值范围．解:因为an＋1＝(n＋1)2－k(n＋1)，an＝n2－kn，所以an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k.由于数列{an}递增，故应有an＋1－an>0，即2n＋1－k>0，n∈N＋恒成立，分离变量得k<2n＋1，故需k<3即可，所以k的取值范围为(－∞，3)．

171.递增数列、递减数列、常数列的定义2.判断数列的增减性的方法，①利用数列图像变化趋势进行判断，②利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行判断，即通过判断一个数列{an}的任意相邻两项之间的大小关系来确定数列的增减性．3.数列的最大、最小项问题可借助数列的增减性来解决，也常转化为函数的最值问题．

18教材第7页练习5、6.

19谢谢大家！敬请各位老师提出宝贵意见！

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