《数列在日常经济生活中的应用(1)》示范公开课教案【高中数学北师大】

《《数列在日常经济生活中的应用(1)》示范公开课教案【高中数学北师大】》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

第一章数列1.4.1数列在日常经济生活中的应用◆教学目标1.了解数列在“零存整取”“定期自动转存”“分期付款”等经济活动中的应用；能在具体的问题情境中，发现并建立等差数列或等比数列这两种数学模型，解决一些实际问题．2.在分析和解决具体问题的过程中，感受等差数列和等比数列这两个数学模型的重要性，提升用数学解决实际问题的能力．◆教学重难点◆　重点：厘清三种经济活动中的数学内涵．难点：建立分期付款的数学模型．◆教学过程一、新课导入情境：随着经济的发展，人们的消费观念正在发生变化，花明天的钱，圆今天的梦，贷款购物，分期付款对我们来说已经不再陌生，面对商家和银行提供的各种分期付款服务，你知道选择怎样的方式更好吗？二、新知探究问题1：银行存款计算利率的方式分为单利和复利，你了解这两种计算利率的方式吗？　答案：单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为利息=本金×利率×存期．以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和（以下简称本利和），则有S＝P1+nr．复利：复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法，复利的计算公式是S＝P1+rn．单利和复利分别以等差数列和等比数列为数学模型．我们今天要学习的零存整取、活期储蓄、定期储蓄（即整存整取）等都是计单利的储蓄模型．而定期自动转存是计复利的储蓄类型．复利计算是把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一

1期本金的数额是不同的．三、应用举例例1零存整取模型银行有一种叫作零存整取的储蓄业务，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取（现在有一年、三年、五年3种，年利率分别为1.35%，1.55%，1.55%），规定每次存入的钱不计复利．（1）若每月存入金额为x元，月利率r保持不变，存期为n个月，试推导出到期整取时本利和的公式；（2）若每月初存入500元，到第3年整取时的本利和是多少？（精确到0.01元）（3）若每月初存入一定金额，希望到1年后整取时取得本利和2000元，则每月初应存入的金额是多少？（精确到0.01元）解：(1)根据题意，第1个月存入的金额为x元，到期利息为xrn元；第2个月存人的额为x元，到期利息为xr(n-1)元……第n个月存入的金额为x元，到期利息为xr元．不难看出，这是一个等差数列求和的问题．各月利息之和为xr1+2+⋯+n=n1+nr2x，而本金为nx元，这样就得到本利和公式y=nx+nn+1r2x，即y=xn+nn+1r2，n=12，36，60．①（2）根据题意知，x=500，r=1.55%12，n=36，代入①式，本利和为y=500×36+36×372×1.55%12≈18430.13（元）（3）根据题意知，y=2000，r=1.55%12，n=12，代入①式，得x=yn+nn+12r=200012+6×13×1.35%12≈165.46（元）所以每月初应存入165.46元．例2　定期自动转存模型　银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存，例如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行按存款到期时的1年期定期存款利率自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和，按照定期存款自动转存的储蓄业务，假定无利率变化调整因素，我们来讨论以下问题：

2（1）如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，再取出本利和，试求出储户n年后所得本利和的公式；（2）如果存入1万元定期存款，存期1年，年利率为1.75%，那么5年后共得本利和多少元？（精确到0.01元）解（1）记n年后得到的本利和为a．根据题意知：第1年存入的本金P元，1年后到期利息为Pr元，1年后本利和为a1=P+Pr=P1+r(元)；2年后到期利息为P1+rr元，2年后本利和为a2=P1+r+P1+rr=P1+r2(元)；不难看出，各年的本利和是一个首项a1=P1+r、公比q=1+r的等比数列an，故n年后到期的本利和为an=a1qn-1=P1+r1+rn-1=p1+rn(元)．（2）由（1）可知，５年后本利和为：a5=10000×1+0.01755≈10906.17(元)因此，5年后得本利和约为10906.17元．总结：“零存整取模型”，存期n，每一次存款到期后的利息构成等差数列，到期后每一次存款的本利和也构成等差数列．“定期自动转存模型”，到期后每一次存款的本利和构成等比数列．四、课堂练习1．复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法，单利是指一笔资金只有本金计取利息，而以前各计息周期内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法.小闯同学一月初在某网贷平台贷款10000元，约定月利率为1.5%，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还款12次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为x元.如果前十一个月因故不还贷款，到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的1.525%，并且按照单利计算利息，这样的还款总额记为y元.则y-x的值为()(参考数据：1.01512≈1.2)A．0B．1200C．1030D．900　　2．某家庭打算10年以后新买一套住房，决定以一年定期的方式存款，计划从2014年起每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2022年初将所有存款和利息全部取出，则这个家庭共取回多少元？

3参考答案：1．解析：设小闯同学每个月还款元，则可依次求每次还款元后，还欠本金及利息，由题意可得，求出，从而可求出的值，再利用单利求出，进而可求出的值【详解】解：由题意知，按复利计算，设小闯同学每个月还a元，则小闯同学第一次还款a元后，还欠本金及利息为10000(1+1.5%)-a元，第二次还款a元后，还欠本金及利息为10000(1+1.5%)2-a1+1.5%-a，第三次还款a元后，还欠本金及利息为：10000(1+1.5%)3-a(1+1.5%)2-a1+1.5%-a，依次类推，直到第十二次还款后，全部还清，即10000(1+1.5%)12-a(1+1.5%)11-a1+1.5%10-⋯-a1+1.5%-a=0，即10000(1+1.5%)12=a∙1-1.015121-1.015，解得a≈900，故x=12×900=10800元，按照单利算利息，12月后，所结利息共10000×0.01525×12=1830元，故y=10000+1830=11830元，所以y-x=11830-10800=1030，故选：C2.解析：设从2014年年初到2022年年初的本利和组成数列an，到2022年为止，把2014年末存款的本利和看作a1，则2021年末存款的本利和为an，则a1=a1+p，a2=a1+p2+a1+p，⋯，

4an=a1+pn+a1+pn-1+⋯+a1+p=1pa1+pn+1-1pa1+p1≤n≤8，所以这个家庭应取出的钱数为S8=a1+p+a1+p2+a1+p+⋯+a1+p8+a1+p7+⋯+a1+p=1pa1+p2-1pa1+p+1pa1+p3-1pa1+p+⋯+1pa1+p9-1pa1+p=1pa1+p21-1+p81-1+p-8pa1+p=1p2a1+p10-1p2a1+p2-8p2a1+p．五、课堂小结单利：单利的计算是仅在原有木金上计算利息，对木金所产生的利息不再计算利息，其公式为利息=本金×利率×存期．以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和（以下简称本利和），则有S＝P1+nr．复利：复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法，复利的计算公式是S＝P1+rn．六、布置作业教材第34页练习第1，2题．