（精校版）湖北省理数卷文档版（有答案）-2015年普通高等学校招生统一考试.doc

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绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。全卷满分150分。考试用时120分钟。★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．为虚数单位，的共轭复数为A．B．C．1D．2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为A．134石B．169石C．338石D．1365石3．已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为A．B．C．D． 4．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是A．B．C．对任意正数，第4题图D．对任意正数，5．设，.若p：成等比数列；q：，则A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6．已知符号函数是上的增函数，，则A．　B．C．D．7．在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则A．B．C．D．8．将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则A．对任意的，B．当时，；当时，C．对任意的，D．当时，；当时，9．已知集合，，定义集合，则中元素的个数为A．77B．49C．45D．3010．设，表示不超过的最大整数.若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是A．3B．4C．5D．6 二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11—14题）11．已知向量，，则．12．函数的零点个数为．第13题图第14题图xOyTCNAMB13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度m.14．如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（B在A的上方），且．（Ⅰ）圆的标准方程为；（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：①；②；③．其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）第15题图15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且，则.16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 的极坐标方程为，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于AB两点，则.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分11分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0050（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象.若图象的一个对称中心为，求的最小值. 18．（本小题满分12分）设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）当时，记，求数列的前n项和．19．（本小题满分12分）第19题图《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接（Ⅰ）证明：．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）若面与面所成二面角的大小为，求的值．20．（本小题满分12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品．生产1吨产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天产品的产量不超过产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利（单位：元）是一个随机变量．（Ⅰ）求的分布列和均值；（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．21．（本小题满分14分）一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．xDOMNy第21题图2第21题图122．（本小题满分14分）已知数列的各项均为正数，，e为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与e的大小；（Ⅱ）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为,,证明：.绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（理工类）试题参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．A2．B3．D4．C5．A6．B7．B8．D9．C10．B二、填空题（本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分）11．912．213．14．（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③15．16．三、解答题（本大题共6小题，共75分）17．（11分）（Ⅰ）根据表中已知数据，解得.数据补全如下表：00500且函数表达式为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得.因为的对称中心为，.令，解得，.由于函数的图象关于点成中心对称，令，解得，.由可知，当时，取得最小值.18．（12分）（Ⅰ）由题意有，即解得或故或（Ⅱ）由，知，，故，于是 ，①.②①-②可得，故.19．（12分）（解法1）（Ⅰ）因为底面，所以，由底面为长方形，有，而，所以.而，所以.又因为，点是的中点，所以.而，所以平面.而，所以.又，，所以平面.由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为.（Ⅱ）如图1，在面内，延长与交于点，则是平面与平面的交线.由（Ⅰ）知，，所以.又因为底面，所以.而，所以.故是面与面所成二面角的平面角，设，，有，在Rt△PDB中,由,得,则,解得.所以故当面与面所成二面角的大小为时，.（解法2） （Ⅰ）如图2，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设，，则，，点是的中点，所以，，于是，即.又已知，而，所以.因,,则,所以.由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，第19题解答图2第19题解答图1即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为.（Ⅱ）由，所以是平面的一个法向量；由（Ⅰ）知，，所以是平面的一个法向量.若面与面所成二面角的大小为，则，解得.所以故当面与面所成二面角的大小为时，.20．（12分）（Ⅰ）设每天两种产品的生产数量分别为，相应的获利为，则有（1） 第20题解答图1第20题解答图2第20题解答图3目标函数为．当时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为．将变形为，当时，直线：在轴上的截距最大，最大获利．当时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为．将变形为，当时，直线：在轴上的截距最大，最大获利．当时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为.将变形为，当时，直线：在轴上的截距最大，最大获利．故最大获利的分布列为816010200108000.30.50.2因此，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为21．（14分）（Ⅰ）设点，，依题意，第21题解答图，且， 所以，且即且由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得，即所求的曲线的方程为（Ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有.（2）当直线的斜率存在时，设直线，由消去，可得.因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，所以，即.①又由可得；同理可得.由原点到直线的距离为和，可得.②将①代入②得，.当时，；当时，.因，则，，所以，当且仅当时取等号.所以当时，的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8. 22．（14分）（Ⅰ）的定义域为，.当，即时，单调递增；当，即时，单调递减.故的单调递增区间为，单调递减区间为.当时，，即.令，得，即.①（Ⅱ）；；.由此推测：②下面用数学归纳法证明②.（1）当时，左边右边，②成立.（2）假设当时，②成立，即.当时，，由归纳假设可得.所以当时，②也成立.根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立.（Ⅲ）由的定义，②，算术-几何平均不等式，的定义及①得.即.