（精校版）北京市理数卷文档版（有答案）-2015年普通高等学校招生统一考试.docx

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2015年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数A．B．C．D．2．若，满足则的最大值为A．0B．1C．D．23．执行如图所示的程序框图，输出的结果为A．B．C．D．4．设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 A．B．C．D．56．设是等差数列.下列结论中正确的是A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则7．如图，函数的图像为折线，则不等式的解集是A．B．C．D．8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 第二部分（非选择题　共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在的展开式中，的系数为．（用数字作答）10．已知双曲线的一条渐近线为，则．11．在极坐标系中，点到直线的距离为．12．在中，，，，则．13．在中，点，满足，．若，则；．14．设函数①若，则的最小值为；②若恰有2个零点，则实数的取值范围是．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．（本小题13分）已知函数．(Ⅰ)求的最小正周期；(Ⅱ)求在区间上的最小值．16．（本小题13分），两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：组：10，11，12，13，14，15，16组：12，13，15，16，17，14，假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．(Ⅰ)求甲的康复时间不少于14天的概率；(Ⅱ)如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(Ⅲ)当为何值时，，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17．（本小题14分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点．(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求二面角的余弦值；(Ⅲ)若平面，求的值． 18．（本小题13分）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求证：当时，；（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．19．（本小题14分）已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．20．（本小题13分）已知数列满足：，，且．记集合．（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；（Ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A(2)D（3）B（4）B（5）C（6）C（7）C（8）D二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）40（10）（11）1（12）1（13）（14）1，≤a<1或a≥2三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（I）因为所以的最小正周期为2（Ⅱ）因为，所以当，即时，取得最小值。所以在区间上的最小值为（16）（本小题13分）解：设时间为“甲是A组的第i个人”，时间为“乙是B组的第i个人”，i=1,2，…，7.由题意可知,i=1,2，…，7.（Ⅰ）由题意知，时间“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是（Ⅱ）设时间C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”.由题意知，C=.因此=10=10=（Ⅲ）a=11或a=18 （17）（本小题14分）解：（I）因为△AEF是等边三角形，O为EF的中点，所以AO⊥EF.又因为平面AEF⊥平面EFCB，AO平面AEF，所以AO⊥平面EFCB.所以AO⊥BE.（Ⅱ）取BC中点G，连接OG.由题设知EFCB是等腰梯形，所以OG⊥EF.由（I）知AO⊥平面EFCB又OG平面EFCB，所以OA⊥OG.如图建立空间直角坐标系O-xyz，则E（a,0,0），A（0，0，），B（2，（2-a），0），=（-a，0，），=（a-2，（a-2）,0）.设平面ABE的法向量为n=（x,y,z）则：即令z=1，则x=，y=-1.于是n=（，-1,1）平面AEF是法向量为p=（0,1,0）所以cos（n，p）==.由题知二维角F-AE-B为钝角，所以它的余弦值为（Ⅲ）因为BE⊥平面AOC，所以BE⊥OC，即.因为=（a-2，（a-2），0），=（-2，（2-a），0），所以=-2（a-2）-3.由及00（0=0，x∈（0，1）， 即当x∈（0，1）时，>2(x+).（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当k《2时，>k(x+)对x∈（0，1）恒成立.当k>2时，令=-k(x+)，则=-k（1+）=.所以当时，<0，因此在区间（0，）上单调递减.当时，<=0，即2时，>k(x+)并非对x∈（0，1）恒成立.综上可知，k的最大值为2。（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）由题意得解得=2.故椭圆C的方程为设M（，0）.因为m≠0，所以-11，因为=2或=2-36，所以2是3的倍数，于是是3的倍数，；类似可得，，…，都是3的倍数，从而对任意，是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数.综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则M的所有元素都是3的倍数.（Ⅲ）由，可归纳证明.由于是正整数，所以是2的倍数.从而当时，是4的倍数.如果是3的倍数，由（Ⅱ）知对所有正整数n，是3的倍数.因此当时，.这时M的元素个数不超过5.如果不是3的倍数，由（Ⅱ）知所有正整数n，不是3的倍数.因此当时.这时M的元素个数不超过8.当=1时，有8个元素.综上可知，集合M的元素个数最大值为8.