（精校版）陕西省理数卷文档版（有答案）-2015年普通高等学校招生统一考试.doc

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2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理一、选择题1.设集合，，则A．B．C．D．2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为A．167B．137C．123D．933.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为A．5B．6C．8D．104.二项式的展开式中的系数为15，则A．4B．5C．6D．75.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．B．C．D．6.“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要7.对任意向量，下列关系式中u恒成立的是A．B．C．D．8.根据右边框图，当输入x为2005时，输出的 A28B10C4D29.设，若，，，则下列关系式中正确的是A．B．C．D．10.某企业生产甲乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元11.设复数，若，则的概率A．B．C．D．12.对二次函数（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是A．-1是的零点B．1是的极值点C．3是的极值D.点在曲线上二、填空（本大题共4小题，每小题5分）13.中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为14.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则p=15.设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点p处的切线垂直，则P的坐标为16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17、（本小题满分12分）的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．求；若，求的面积．18、（本小题满分12分）如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．证明：平面；若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．19、（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为，只与道路畅通状况有关，对其容量为的样本进行统计，结果如下：（分钟）25303540频数（次）20304010求的分布列与数学期望；刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．20、（本小题满分12分）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为． 求椭圆的离心率；如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．21、（本小题满分12分）设是等比数列，，，，的各项和，其中，，．证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且；设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较与的大小，并加以证明．请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，切于点，直线AO交于，两点，，垂足为．证明：；若，，求的直径．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为． 写出的直角坐标方程；为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于的不等式的解集为．求实数，的值；求的最大值． 参考答案：一、选择题1.A2.C3.C4.B5.D6.A7.B8.C9.B10.D11.D12.A二、填空题13.514.15.（1,1）16.1.2三．解答题17.（满分12分）（I）因为，所以，由正弦定理，得又，从而，由于，所以(II)解法一：由余弦定理，得而得，即因为，所以.故ABC的面积为.解法二：又正弦定理，得，从而，又由，知，所以.故所以ABC的面积为.18.（本小题满分12分）（I）在图1中，因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点，BAD=，所以BEAC即在图2中，BE，BEOC从而BE平面又CDBE，所以CD平面. (II)由已知，平面平面BCDE，又由（1）知，BE，BEOC所以为二面角的平面角，所以.如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为,所以得，.设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为，则，得，取，，得，取，从而，即平面与平面夹角的余弦值为.19.（本小题满分12分）解：（I）由统计结果可得T的频率分步为（分钟）25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T的分布列为253035400.20.30.40.1从而（分钟）(II)设分别表示往、返所需时间，的取值相互独立，且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一： .解法二：故.20.（本小题满分12分）解：（I）过点(c,0),(0,b)的直线方程为，则原点O到直线的距离，由，得，解得离心率.(II)解法一：由（I）知，椭圆E的方程为.(1)依题意，圆心M(-2,1)是线段AB的中点，且.易知，AB不与x轴垂直，设其直线方程为，代入(1)得设则由，得解得.从而.于是.由，得，解得.故椭圆E的方程为.解法二：由（I）知，椭圆E的方程为.(2)依题意，点A，B关于圆心M(-2,1)对称，且.设则，，两式相减并结合得.易知，AB不与x轴垂直，则，所以AB的斜率因此AB直线方程为，代入(2)得所以，.于是.由，得，解得.故椭圆E的方程为.21.（本小题满分12分） 解：（I）则所以在内至少存在一个零点.又，故在内单调递增，所以在内有且仅有一个零点.因为是的零点，所以，即，故.(II)解法一：由题设，设当时,当时,若,若,所以在上递增，在上递减，所以，即.综上所述，当时,；当时解法二由题设，当时,当时,用数学归纳法可以证明.当时,所以成立.假设时，不等式成立，即.那么，当时，.又令，则 所以当,,在上递减；当,,在上递增.所以，从而故.即，不等式也成立.所以，对于一切的整数，都有.解法三:由已知，记等差数列为,等比数列为,则，，所以,令当时,,所以.当时,而，所以，.若,,,当,,,从而在上递减,在上递增.所以，所以当又,，故综上所述，当时,；当时请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．22.（本小题满分10分）解：（I）因为DE为圆O的直径，则，又BCDE，所以CBD+EDB=90°，从而CBD=BED.又AB切圆O于点B，得DAB=BED，所以CBD=DBA.（II）由（I）知BD平分CBA，则,又，从而，所以，所以.由切割线定理得，即=6，故DE=AE-AD=3，即圆O的直径为3.23.（本小题满分10分）解：（I）由，从而有.(II)设,则， 故当t=0时，|PC|取最小值，此时P点的直角坐标为（3，0）.24.（本小题满分10分）解：（I）由，得则解得,（II）当且仅当，即时等号成立，故.