王式安08考研概率讲义

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概率统计主要参考书1、2008年全国硕士研究生入学统一考试，数学考试大纲。2,概率论与数理统计（浙江大学或经济数学编写组）3、2008年考研数学标准全书（理工类）对外经贸大学出版社4、2008年考研数学标准全书（经济类）对外经贸大学出版社5、2008年考研数学理念真题解析（数一，二，三，四）对外经贸大学出版社6、考研数学知识点必备手册对外经贸大学出版社7,2008年硕士研究生入学考试数学（一）/（二）/（三）/（四）8卷模拟试卷对外经贸大学出版社第一讲随机事件和概率考试要求：数学一、三、四要求一致。了解：样本空间的概念理解：随机事件，概率，条件概率，事件独立性，独立重复试验掌握：事件的关系与运算，概率的基本性质，五大公式（加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯），独立性计算，独立重复试验就算会计算：古典概率和几何型概率。§1随机事件与样本空间一、随机试验：E（1）可重复（2）知道所有可能结果（3）无法预知

1二、样本空间试验的每一可能结果——样本点0)所有样本点全体样本空间Q三、随机事件样本空间的子集——随机事件ABC样本点——基本事件，随机事件由基本事件组成。如果一次试验结果，某一基本事件。出现0发生，。出现如果组成事件A的基本事件出现——A发生，A出现Q——必然事件0——不可能事件§2事件间的关系与运算一.事件间关系包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立二.事件间的运算：并，交，差运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律概率定义，集合定义，记号，称法，图三.事件的文字叙述与符号表示例2从一批产品中每次一件抽取三次，用d(i=l,2,3)表示事件：“第i次抽取到的是正品”试用文字叙述下列事件：(I)A4UA2A3UAA3；(2)AA2A3：

2(3)AUA2UA3：(4)aWAu'再用/a?,&表示下列事件：(5)都取到正品：(6)至少有一件次品；(7)只有一件次品；(8)取到次品不多于一件。§3概率、条件概率、事件独立性、五大公式—.公理化定义q,a,p(1)P(A)>0⑵尸(Q)=I(3)AAUAzU-UAU…)=p(A)+p(&)+…+「(4)+•••44=0,iwj二.性质⑴尸(0)=0(2)P(AU&U…UA.U…)=p(A)+p(4)+…+p(a)+…A4=0,ixI/(3)嗝=1-尸(A)(4)A0,尸(用外=乃也,事件4发生条件下事件8发生的条件概率；P(4)(2)P(AB)=P(A)P(B),事件AB独立，4,8独立4否独立司,8独立Z片独立；尸(A)>0时，4,8独立P(B\A)=P(B)；(3)P(4，4,)=P(4)P(4)…P(A“)l

3两两独立。X三.五大公式(1)加法公式：尸(AUB)=P(A)+P(8)-P(AB)P(AU8UC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)P（AUA2U...UAn）=-（2）减法公式：P（A-B）=P（A）-P（AB）(3)乘法公式:P(A)>Q,P(AB)=P(A)P(B\A)p(AA2..At)>o时，p(aa2..a)=p(a)p(4|a)p(a31A4)…p(a”|A4...Ai)(4)全概率公式：4,4…,纥是完全事件组，且尸(8,)>0,i=l,…〃P(A)=£p(8,)P(川瓦):=](5)贝叶斯公式：片,人,…,纥是完全事件组，P(A)>O,P(B,)>0,i=1,-,«p(.)p(a|b,)p(Bj\A)=-'j=l,2,...,nYP(Bi)P(A\Bi)§4古典型概率和伯努利概率一.古典型概率nAA所包含的样本点数p(A)=~=n样本点总数二.几何型概率L(QJQa的几何度量

4L(Q)一。的儿何度量三.独立重复试验独立——各试验间事件独立，重复一一同一事件在各试验中概率不变四.伯努利试验试验只有两个结果A和入一一伯努利试验〃重伯努利试验二项概率公式C：PY1_P)"Tk=0,l,...,nP(A)=p§5典型例题分析例1.设A,B为两事件，且满足条件A8=可万，则P(可初=例2.A,B为任意两事件，则事件(A-8)U(8-C)等于事件(A)A-C(B)AU(B-C)(C)(A-B)-C(D)(AU8)-8C例3.随机事件A,8,满足P(A)=P(8)=L和p(AUB)=l则有(A)AU8=Q(fi)AB=(p(C)P('U与)=1(D)P(A-B)=O例4.设0

5(C)P(AB)=P(A)P(B)(D)尸(A8)WP(A)P(8)例5.(06)设A、8为随机事件，且P(8)>0,P(A|8)=1,则必有(A)尸(AU8)>P(A)(fi)尸(AU8)>尸(8)(C)尸(AU8)=尸(A)(D)尸(AUB)=尸(8)例6.试证对任意两个事件A与8,如果P(A)>0,则有

6P(B)~P(A)例7.有两个盒子，第一盒中装有2个红球，1个白球；第二盒中装一半红球，一半白球,现从两盒中各任取一球放在一起，再从中取一球，问：(1)这个球是红球的概率：(2)若发现这个球是红球，问第一盒中取出的球是红球的概率。例8.假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零(不放回)试求：(1)先取出的零件是一等品的概率p；(2)在先取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的条件概率q.例9.袋中装有a个白球和0个黑球，分有放回和无放回两种情况连续随机每次一个地抽取，求下列事件的概率：(1)从袋中取出的第k个球是白球(lKk《a+夕)(2)从袋中取出a+b个球中，恰含a个白球和b个黑球(aWa,bV/)例10.随机地向半圆［(x,y)00,是常数)内掷一点，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于三的概率为，4

7例11.在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p,求在第〃次成功之前恰失败了5次的概率。例12.四封信等可能投入三个邮筒，在已知前两封信放入不同邮筒的条件下，求恰有三封信放入同一个邮筒的概率为.例13.已知A,8,C三事件中A与5相互独立，P（C）=O,则无瓦3三事件（A）相互独立（5）两两独立，但不一定相互独立（C）不一定两两独立（。）一定不两两独立例14.10台洗衣机中有3台二等品，现已售出1台，在余下的9台中任取2台发现均为一等品，则原先售出1台为二等品的概率为⑷-⑻-（C）-（D）之v'10'"8v'10'"8例15.甲袋中有2个白球3个黑球，乙袋中全是白球，今从甲袋中任取2球，从乙袋中任取1球混合后，从中任取1球为白球的概率⑷I⑻|⑹1⑷?例16.10件产品中含有4件次品，今从中任取两件，已知其中有一件是次品，求另一件也是次品的概率。

8例17.两盒火柴各N根，随机抽用，每次一根，求当一盒用完时，另一盒还有R根的概率。(RWN)例18.(05)从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从1,2X中任取一个数记为丫，则P(Y=2)=。第二讲随机变量及其概率分布考试要求：理解：离散型和连续型随机变量，概率分布，分布函数，概率密度掌握：分布函数性质：0-1分布，二项分布，超几何分布，泊松分布，均匀分布,正态分布，指数分布及它们的应用会计算：与随机变量相联系的事件的概率，用泊松分布近似表示二项分布，随机变量简单函数的概率分布。数学一，了解；数学三、四，掌握：泊松定理结论和应用条件§1随机变量及其分布函数一.随机变量样本空间C上的实值函数X=x(0),oeQ。常用X,y,Z表示二.随机变量的分布函数对于任意实数X,记函数尸(X)=P(XVX),-oo

9(1)limF(x)=O,记为尸(-oo)=0；XT-8lim尸(x)=1,记为F(+oo)=1.x—>+°°(2)/(x)是单调非减，即±<马时，F(jc,)0.,k=\,2,...⑵£Pk=lkXx.x7・・・x,,・・・分布律也可表示为--——=——pPlP1…Pk…三.离散型随机变量分布函数

10P(X=a)=F(a)-F(a-O)F(x)=ZP(X=x*)=Zp*求F(x)四.连续型随机变量及其概率密度设X的分布函数尸(x),如存在非负可积函数/(无)，有F(x)=£/(f)dt,-80；(2)£/W=l；(3)x.<,P(x,0⑻[-fi(x)dx=l,(C)「/；(x)dx=0,/|W>0(。)]工(x)dx=0,f,(x)>-f(x)J8J8§3常用分布一.(0—1)分布0

11二.二项分布P(X=k)=C：p、i,k=O,l,00k\XP(4)例设某段时间内通过路口车流量服从泊松分布，已知该时段内没有车通过的概率为e则这段时间内至少有两辆车通过的概率为。五.均匀分布f[x}=°，2>00x<0X£(2)

12I"-"尸七.正态分布f(x)=-7=—e2b,0XN(O,1)标准正态分布1上1fX--(p^x)--==e2,-00

13/i(y)是其反函数，则y=g(X)的密度为，/、{\h'(y)\fx(h(y))a〈y0例1.设随机变量的分布函数/(x)={(1+x)2Cx<0求a,b,c的值。2k例2.设随机变量X的分布律为P(X=k)=C—；,试确定常数C的值。例3.汽车沿街行驶需要过三个信号灯路口，各信号灯相互独立，且红绿显示时间相等,以X表示汽车所遇红灯个数，求X的分布及分布函数。

14例4.(04)设随机变量X服从正态分布N(0,l),对给定的a(0ua)=a,若P(|x|4(C)从<以2(0)>以2例8.X的密度(_8<%<+8),试求常数A。

15例9.设X服从参数为2的指数分布，证明：随机变量y=l—e-x服从U(O,1)。例10.已知X的密度为/(x)=虫,(-8<%<+oo),求y=x2的概率密度。例11.设随机变量X的密度仪外满足e(—x)=e(x),尸(x)是X的分布函数，则对任意实数。有(A)F(—a)=1-

16例13.设XNQ,/)且p(20)且P(O4)=L42求：(1)X的概率密度；(2)P(1

17则称向量(x,y)为二维随机变量或随机向量。二.二维随机变量的联合分布函数定义：F(x,y)-P(X)=1；(3)尸(x,y)关于x和关于y单调不减:(4)尸(x,y)关于x和关于y右连续。例1.设二维随机变量(X,Y)的分布函数为歹(x,y),则随机变量(y,x)的分布函数月(x,y)=.三.二维随机变量的边缘分布函数Fx(x)=P(X,y)例2.设二维随机变量(x,y)的分布函数为「(尤,y)=(\-e-2x)(\-e-y)x>0,y>00其他试求Fx(x)，4(y)§2二维离散型随机变量一.联合概率分布

18P(X=力)=%i,j=l,2,…x\v%y2…%…x]PllP\2…PmX2PmP12P2JP“Pi2"•P.j性质：（1）p.>0（2）XPij=1例设随机变量X在1,2,3三个数字中等可能取值，随机变量丫在1X中等可能的取一整数值，求（x,y）的概率分布。二.边缘概率分布Pi=P(X=xj=£P(X=Xj,Y=y)=Zpu,J=1,2,...jip,=p(Y=yj)=^P(X=x「Y=y)=ZPij,j=1,2,...三.条件概率分布IP(X=x,7=y.)p产(丫=力)>0,P(X=xiY=yj)=———i=l,2,…1P(y=yj)pjp(X=xy=y)pP(X=x,.)>0,p(y=yjx=x,)=—p(x=c=放'j=l，2,…x\y|oi例设分布律为-6一Va―r,已知产(y=i|x=o)=，，p(x=i|r=o)=-,1c0.523

19§3二维连续型随机变量一.概率密度F(x,y)=rff(u,v)dudv■l-oo性质:(1)f(x,y)>0<2)£f(x,y)dxdy=\ke-(2x+y),x>0,y>00其他则无=二.边缘密度fx(x)=力，fY(y)=[^f(x,y)dx三.条件概率密度1.条件分布f^|X(y|x)=limP(Y0fx(x)>0§4随机变量的独立性定义：对任意x,yP(X

20F(x,y)=Fx(Jc)Fr(y)离散型Pa=PiPj

21连续型f(x,y)=fx(x)fY(y)例i.设随机变量x和丫相互独立，下表列出了二维随机变量（x,y）的联合概率分布及关于x和y的边缘概率分布的部分数值，将剩余数值填入表中空白处例2.判断x与y是否独立X\YI(1)2o(2)尸(x,y)=0,y>0其他1-91-91-93§5二维均匀分布和二维正态分布二维均匀分布/（x,y）=I（x，>）eG,A是G的面积[o其他例设二维随机变量（X,Y）在xOy平面上由曲线y=x和y=/所围成的区域上服从均匀分布，则概率p（o

22二.二维正态分布，N(/Z|,〃2，b；Q；;p)>0,|p|

23fz(z)=^fx(x)fY(z-x)dxfz(z)=「/x(z-y)4(y)dy三.简单函数通常包括线形函数，初等函数，最大值，最小值，绝对值等。例设x,y相互独立，分布函数为耳原）,、“），试求（1）M=max（X,y）的分布函数与（Z）；（2）N=min（X,y）得分布函数几（Z）。§7典型例题分析例1.从1,2,3三个数字中一次任取两数，第一个数为X,第二个数为丫，记J=max（X,Y）,试求（X,丫）和（X，）的分布律及其边缘分布。xj-101例2.设随机变量X,ILL,i=L2,且P（X|X2=0）=l,/?424则P（X1=X2）=.例3.设某班车起点站上车人数X服从参数4（4>0）的泊松分布，每位乘客在中途下车

24的概率为p（o

25例4.设随机变量(XJ)的密度为/(x,y)=Axy2-,0

26例7.设（x,y）可（〃,〃,。2,4；0）,则p（xx>0其他试求（1）/x（x）和x,y是否独立;（2）力,（尤卜）和%x（vk）。例ii.x,y相互独立，服从参数为4的泊松分布，证明z=x+y服从参数为24的泊松分布。例12.（04）设随机变量X在区间（0,1）上服从均匀分布，在X=x（0

27条件下，随机变量y在区间（o,x）上服从均匀分布，求:（I）随机变量x和y的联合概率密度；（id丫的概率密度；cm）概率p（x+y>i）。，上，一一—一一fl,0

28考试要求：数学一，数学三，数学四，要求一致

29理解：随机变量数字特征：数学期望，方差，标准差，矩，协方差，相关系数。掌握：常用分布的数字特征会计算：用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征，根据一维和二维随机变量的概率分布求其函数的数学期望。§1随机变量的数学期望定义1.离散型：P(X=xQ=Pkk=l,2,…oooo当绝对收敛E(X)=£xkPkk=\A=12.连续型：/(x)当绝对收敛E(X)=「xf(x)dx二.性质(1)E(C)=C(2)E(CX)=CE(X)(3)E(X±y)=E(X)±E(Y)(4)x和y相互独立,则E(xy)=E(x)E(y)例将一均匀骰子独立抛掷三次，求掷得三数之和X的数学期望。三.随机变量x的函数y=g(x)的数学期望(1)离散型P(X=xk)=pk,k=1,2,...

30当£g(xjp”绝对收敛，E(y)=E(g(X))=Zg(x*)P*k=\A=1(2)连续型/(无)，当匚g(x)/(x0x绝对收敛E(y)=E(g(X))=匚g(x)/(x)t/x四.随机变量(x,y)的函数z=g(x,y)的数学期望(1)离散型P(X=xi,Y=yj)=pij,i,j=l,2,...当££g(X,，力)p“绝对收敛/=1>1E(z)=E[g(x,y)]=££g(x，Li=1j—\(2)连续型f(x,y),当「「g(x,y)/(x,y)dxdy绝对收敛J-OOtf—ooE(Z)=E[g(X,Y)]=「°「g(x,y)f(x,y)dxdy■l-ooco例i.商店经销某种商品，每周进货的数量x与顾客对该种商店的需求量y是相互独立的随机变量，且都在区间[10,20]上服从均匀分布。商店每售出一单位商品可得利润1000元，若需求量超过了进货量，商店可以从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。§2随机变量的方差定义：O(X)=E[(X-EX)2]方差

31b(X)=，D(X)标准差，均方差二.计算方差的公式：O(X)=E(X2)_(EX)2,E(X2)>(EX)2三.性质：(1)£>(C)=0,反之O(X)=0不能得出X为常数；(2)D(aX+b)=a2D(X)i(3)X,Y相互独立D(X±Y)=DX+DYof4x0-2*r>o例随机变量X的概率密度为/(幻=j0'x<0则DQX-1)=o§3常用随机变量的数学期望和方差一1.(0—1)分布EX=p,DX=pq二.二项分布EX=np,DX=npq三.泊松分布EX=4,DX四.均匀分布EX=,DX22

32五.指数分布EX=；,DX=*六.正态分布XNRd)，EX=〃，DX=CT(X,Y)N(〃|,〃2，b|2,/2;p)EX=m，EY=〃2，DX=G-,DY=(r22例已知随机变量X8(〃,p),试证。(X)=〃P4例设随机变量X尸(幻，试证E(X)=/l§4矩原点矩E(X),E(X2)中心矩E[(X-EX)2]混合矩E(XY)混合中心矩E[(X-EX)(Y-EY)]§5协方差和相关系数一.协方差

33定义：cov(x,y)=E[x-£：(x)][r-E(r)]=e(xy)-e(x)e(y)公式:D(X+Y)=D(X)+D(K)±2cov(X,r)性质：(1)cov(x,y)=cov(y,x)；(2)cov(aX,hY)=abcov(X,Y)；(3)cov(xl+x2,r)=cov(X],y)+cov(x2,r)二.相关系数

34生、、,八cov（x,y）定义：pXY=■--j—不相关：pXY=ox,y相互独立干±x,y不相关性质：（i）\pXY\

35例3.(04)设随机变量X服从参数为4的指数分布，则P{X>J57}=例4.设随机变量X的概率密度函数为——87I(C)O(X1+Y)=a2(D)D(X,-r)=——a1

36例6.在伯努利试验中，已知尸(A)=p,现独立，重复地进行试验直到出现A为止，令X表示所需进行的试验次数，试求E(X)和O(X)。例7.设随机变量X和丫的联合分布在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量u=x+y的方差。例8.设随机变量X的概率分布密度为=-oo

37例9.已知随机变量(X,Y)服从N(l,0,9,16;—；),设Z=X+g(1)求Z的E(Z)和。(Z)(2)求Pxz(3)问Z,X是否相互独立？为什么？例10.设随机变量(X,Y)在。：/+/内服从均匀分布，则X和丫的相关系数PxY=°例11.随机变量x和丫均服从正态分布，则(A)x+y一定服从正态分布⑻x和y不相关与独立等价(C)(x,y)一定服从正态分布(。)(x,—y)未必服从正态分布

38例12.在〃次独立重复试验中，x和丫分别表示成功和失败的次数，则x和y的相关系数等于(A)-1(B)0(C)；(D)18出现否出现例13.设A和8是两个随机事件，定义两个随机变量如卜:A出现_和岫现证明：X与丫不相关的充分必要条件是A与8相互独立。例14.已知随机变量X的分布P(X=&)=1—k=0,1,2,...Tk\其中c为常数，则随机变量y=2X-3的£>(r)=例15.(04)设A,8为两个随机事件，且P(4)=；,P(B|A)=1,P(A|B)=1,令X=PA发生yJ15发生，[0A不发生[08不发生求(I)二维随机变量(x,y)的概率分布;(II)X与丫的相关系数Pxy；(in)z=x?+y2的概率分布。

39例16.(06)设二维随机变量(X,y)的概率分布为X\Y-101-1a00.200.1b0.2100.1c其中a,b,c为常数，且X的数字期望E(x)=0.2,p(y<0lx<0)=0.5,记2=乂+丫求(I)a,b,c的值；(IDZ的概率分布；(III)P(X=Z)。一,-lvx<02例17.(06)设随机变量X的概率密度为<(x)=«—,0

40(I)y的概率度人(y)；(II)cov(X,y)；(III)F(-p4).第五讲大数定律和中心极限定理考试要求：数学一：了解：切比雪夫不等式，切比雪夫大数定律，伯努利和辛钦大数定律，棣莫弗一拉普拉斯定理，列维一林德伯格定理数学三、四：了解：切比雪夫大数定律，伯努利和辛钦大数定律，棣莫弗-拉普拉斯定理，列维一林德伯格定理数学三：掌握：切比雪夫不等式数学三、四：会用：相关的定理近似计算有关事件的概率。数学四：了解：切比雪夫不等式§1切比雪夫不等式和依概率收敛一.切比雪夫不等式p{|x-e(x)|>£}<^^£>oE~二.依概率收敛limP(|X“-A|<£)=1£>0记作X“一例设随机变量X的方差为2,则根据切比雪夫不等式有估计P(|X-£(X)|>2)<。§2大数定律一.切比雪夫大数定律

41设X「X2，...,X“，…两两不相关，E(XJ和O(XJ存在且存在常数。，使O(X,)WC0=1,2,...)则对任意£>01«1nlim「(一》,--乎风)<£)=1+8fl>7“1=1"1=1二.伯努利大数定律XnB(〃,p),则对任意£>0limP(8_p<£)=1H—>+®o"三.辛钦大数定律设*1,*2，...,乂“,...独立同分布，£(%,)=//,则对任意£>0,1nlimP(-£Xj-〃<£)=1“1=1§3中心极限定理一.棣莫弗一拉普拉斯定理设X“B(n,p),则对任意无limP(,11n^=

42§4典型例题分析例1.设随机变量X和y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5,则根据切比雪夫不等式p(|x-r|>6)

43理解：标准正态，彳2分布，，分布，产分布的分位数并会查表计算，经验分布掌握：正态分布的常用抽样分布§1总体和样本一.总体：所研究对象的某项数量指标X全体。二.样本，如果X1,X2，...,X“相互独立且都与总体X同分布，则称*1,*2，..”乂“为来自总体的简单随机样本，简称样本。样本容量，样本值，观测值XF(x),则X1,X2，...,X“的联合分布n尸(办,工2,…,％)=n/(七)i=]X/(x),则X”X2，…，X,,的联合密度y(xl,x2,...,xn)=f}/(x(.)1=1例设总体Xe(4),则来自总体X的样本X1,X2，...,X”的联合概率密度/(xpx2,...,xn)=§2统计量和样本数字特征—.统计量样本(X”X2，...,X“)的不含未知参数的函数T=T(X],X2，...,X.)。如果x,,x2,...,x„是样本X1,X2，...,X”的样本值，则数值T(4％2,…,x“)为统计量T(X|,X2，...,X“)的观测值。

44二.样本数字特征1.样本均值〃,=12.样本方差s2=—!-j-J(x,.-x)2,样本标准差S=g(Xj-9)2：3.样本火阶原点矩4k=l,2；n,=i4.样本二阶中心矩5,=-Y(X.-X)2'n,=|E(X)=E(X)=p,D(X)=-^^=—,£(S2)=£>(%)=CT2nni”如果E(X")=〃*,An=-Y•ni=i例设总体X的概率密度为/(x)=<2x,0,0

451.典型模式：乂］,*2，♦.乂〃相互独立且均服从"（0』），则称/2=Xi2+X22+...+X/i2服从自由度为〃的分布，记Z2（n）1J上x2e2,x>0/（x）=h^rAo,x/（〃））=a的点方（〃）为/2（〃）分布的上a分位点。例已知Z“〃），则E（%2）=.二.，分布1.典型模式：X,y独立，XN（0,l）,Y彳2（〃），则1（^-）X2--/（X）=（Id）2,—oo

461.上a分位点f°(〃)T~t(n),0j(〃))=a,乙_式〃)=-7(〃)，P(7|>『%(〃))=a三.尸分布1.典型模式：X,y独立，X/2(n,),r~/(n2),则17X/〃lCV\F=^TL/(〃”〃2)「(殳士生)-2下2,X>0/(外=,丁仁)「《)(〃/+引空0,x<0如果F则LF(〃2，〃i)F2.上a分位点6r(〃],%)F/(〃],%),0Fa(n],n2))=a「，、1^-a(«P«2)=-；Q〃2，〃l)§4正态总体的抽样分布一.一个正态总体设XN(〃,/),X「X2，..X“来自总体X的样本样本均值又，样本方差52,则(1)XU=与夕N(0,l)najyjn(2)无与§2相互独立，且X2=(*?./(n-l)

47(3)T=~~P/(n-1)S/yjni«⑷％2=fX(X,「〃)2/(〃)b篙二.两个正态总体设XN(M，CT|2),yN(42，%2)，X1,X2，..X“，和匕",..4,分别来自X和y的样本，相互独立，X,Y,S^,Sl，22(1)X-yN(4一4，,色-+色-)-〃1n2u=(XN(O,1)、可Vn

482(2)如果OF：=q2,则T(X-丫)一(〃|一色)“,>T=,—t(n,+n7-2)S户

49

502其中S2=(〃]T)S；+(〃2T)S；3_n}+n2-2q27—2(3)F=■\1,F(n,-\,n-,-1)$2/%§5典型例题分析例L设总体X服从参数为p的。一1分布，则来自总体X的简单随机样本X”X2，..X“

51的概率分布为o例2.设总体XP(A),则来自总体X的样本X「X2，..X“的样本均值X的分布律为例3.(98)设X「X2，X3，X4是来自正态总体Ng：?)的样本，已知%2=a(X1-2X2>+b(3X3—4XJ2服从％2(〃)分布，其中。力为常数，则n=o例4.设随机变量T/(«),则〃服从的分布及参数为。例5.(05)设X”X2，..X“(〃22)为来自总体N(O,1)的简单随机样本，灭为样本均值,S?为样本方差，则(A)nXN(0,l)(5)nS2/(〃)(n-l)X,..(n-l)X,2八(C)---t(n-i)(。)-LF(l,/?-l)s£x：i=2例6.设XN(0,a2),从总体X中抽样取样本X”X2，...,X9,试确定cr的值，使得—_19

52P(1

53证明————--产服从«1)分布。3必2-X3I例8.设总体X服从正态N(〃q2),(。>0)从该总体中抽取简单随机样本Xx,X2,...,X2n(n>2),其样本均值为5,求统计量2〃,=iY=f(X,+X3-2五了的数学期望E(K)。1=1例9.(04)设总体X服从正态分布，总体服从正态分布N("2，〃)，乂1,*2，...,*“和几元,...,工分别是来自总体x和y的简单随机样本，则IG"[I/"2n-y£(x,.-x)2+£(r7.-F)2F上归-〃1+〃2-2例10.(06)设总体X的概率密度为/(x)=ge-N(-oo

54考试要求：理解：参数的点估计，估计量和估计值了解：估计量的无偏性，有效性，一致性，区间估计掌握：矩估计法和最大似然估计法会：验证估计量的无偏性单个正态总体的均值和方差的置信区间两个正态总体的均值差比的置信区间数学三还要求：掌握：建立未知参数的置信区间的一般方法单个正态总体的标准差，矩以及与其相联系的数字特征，置信区间的求法两个正态总体相关数字特征的置信区间的求法会：用大数定律证明估计量相合性。§1点估计—.点估计的概念用样本X,,X2,...,X“构造的统计量认X\,X2,...,X“）来估计未知参数0,统计量@（X1,X2，...,X"）称为估计量，它所取得的观测值灰芭,当,…,％）称为估计值，估计量和估计值统称6的估计。二.估计量的选择标准1.无偏性：=02.有效性：如果自和包都是e的无偏估计量，且。（a）4o（a）,则称耳比a更有效3.一致性（相合性）：4—^6,称，为。的一致估计量例设总体X的数学期望存在，E（X）=〃，从来自总体X的样本X'X?，…,X”的样本均值歹Xj,试证X是〃的无偏估计量。〃/=|

55例设总体的数学期望和方差分别为//和/，X「X2是来自总体X的样本，记X=（l-a）X,+aX2（1）试证：欠是〃的无偏估计；（2）确定。使。（火）最小。§2估计量的求法矩估计法用样本估计相应的总体矩，用样本矩的函数估计总体矩相应函数1.矩估计不必知道分布形式，只要矩存在2.可用中心矩，也可用原点矩3.上个参数要求列出一阶至上阶矩方程考试大纲只要一阶矩和二阶矩4.为一阶、二阶原点矩，«和a为一阶、二阶样本原点矩，g（«，a）就是g（a],a?）的矩估计量。二.最大似然估计法1.似然函数离散型P(X=q)=p(q;6)z=l,2,...,L（e）=l（x„x2,...,X“；6）=flp（x「e）1=1连续型/（x；e）L(e)=L(xl,x2,...,xn-,e)=Y[f(xi-,e)f=l2.最大似然估计

56使似然函数L（X”乂2，.“,X“;6）达到最大值的参数值。（X1,X?,…,X“）1.似然方程，为一维时,些叽0或胆*，为二维时,dd①(4©)一、I—uaa‘"(4©)=0(16ainL(ae)「0aqainl同仇)=o.幽§3区间估计一.置信区间对于给定的a（0＜a＜1）,如果两个统计量a，%满足P（4＜，＜82）=l-a，则称随机区间（4,名）为参数。的置信水平（或置信度）为1-a的置信区间（或区间估计），简称为。的1-a的置信区间，q和e2分别称为置信下限和置信上限。未知参数二.一个正态总体参数的区间估计1-a置信区间a-已知(*一〃&/2?，X+Ua/2ylna2未知—s—(X—(n-l)-y=,X+ta/2(n-l)yJn(n-l)S2(n-l)S2//2(〃-1)(〃-D三.两个正态总体参数的区间估计

57_[9例设来自正态总体N(〃,0.92)的样本值x=±Zx=5,则未知参数〃的置信水平为9|=|0.95的置信区间是。例(05)设一批零件的长度服从正态分布N(〃,O"2),其中〃,均未知，现从中随机抽取16个零件，测得样本均值嚏=20(cm),样本标准差s=l(cvn),则//的置信度为0.90的置信区间是(A)(20--Z005(16),20+—/005(16))(B)(20--/01(16),20+—/01(16))

58(C)(20-i/005(15),20+iz005(15))(D)(20-；除(15),20+；扪(15))

59§4典型例题分析例1.设X1,X2,…,X”为总体N(〃,")的一个样本，已知32=。*。川-*,)2为。21=1(C)12(〃一1)的无偏估计，则常数。等于(A)工(B)-〃一1n例2.(05)设X「X2,…,X〃(〃>2)为来自总体N(0,4)的简单随机样本，X为样本均值，Yj=Xj-又。1=1,2，…,n求：(I)匕的方差。匕，1=1,2n；(II)匕与工的协方差cov(X，%)；(III)若C(X+%)2是/的无偏估计量，求常数C；(IV)2化+匕训。例3.从总体X中分别抽取容量为〃1和内的两个独立样本，样本均值分别为用'和元,且E(X)=〃和O(X)=(j2,已知T=aX|+bX2为〃的无偏估计量，试求:(1)常数。和。应满足的条件；(2)使£>(T)达到最小值的a和6。

60例4.设X1,Xz，…,X”是来自总体X的样本，已知XP(2),证明T=(l-i)nY是P(X=0)的无偏估计量。n|]_(当/x>a例5.(04)设随机变量X的分布函数为尸(x;a,0=j,其中参数[0,x0,〃>0,设X「X2，...,X“为来自总体X的简单随机样本，(I)当。=1时，求未知参数/?的矩估计量；(II)当a=l时，求未知参数夕的最大似然估计量：(Ill)当夕=2时，求未知参数a的最大似然估计量。例6.设某种元件的使用寿命X的概率密度为/U；6>)=2e-)0,x>0x

61估计值。

62例7.设总体xu(o,e),xvx2，…,x”是来自总体x的样本，试求：参数e的最大似然估计。0123例8.设总体X的概率分布为于标研加1.rUZ.U\\—U)(71—Zcz其中e(o

63第三章假设检验考试要求：理解：显著性检验的基本思想。掌握：假设检验的基本步骤，单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。数一了解：假设检验可能产生的两类错误。数三理解：假设检验可能产生的两类错误。数三会：构造简单假设的显著性检验，较简单情形两类错误概率的计算。§1基本概念一.实际推断原理：小概率事件在一次试验中实际上是不会发生的。二.假设检验假设：基本假设(原假设，零假设)和备选假设(备择假设，对立假设)，参数假设和非参数假设，简单假设和复合假设假设检验：根据样本，按照一定规则判断所做假设”。的真伪，并作出接受还是拒绝接受”0的决定。三.两类错误拒绝实际真的假设”0(弃真)称为第一类错误；接受实际不真的假设“0(纳伪)称为第二类错误。四.显著性检验1.显著性水平：在假设检验中允许犯第一类错误的概率，记为a(0

64(5)根据样本值计算检验统计量T的观测值f,当tew时，拒绝原假设“0，否则接受原假设“0。§2正态总体参数的假设检验设显著性水平为a,单个正态总体为的参数的假设检验以及两个正态总体Na，。1)与'(%，％))的M-4和=可的假设检验，列表如下:检验参数情形假设检验统计量%为真时检验统计量的分布拒绝域U.又一仆1味物Acr2已知〃＞为〃＜〃0*N(0,l)UN%uT_X—4o/日％(〃-1)未知4＞4工M〃t)』(〃-1)T(工(〃-1)2b〃已知病=%242；-.2,_2。*4/＞若标＜a：//》X，-")’/(〃)/*旌％(〃)或/2/»/(〃)力飞片a(〃)

654未知〃=5：a-<生2(72>一2一—2o一2、一2（7＞。（）22a＜仇q("-X加/(I)/4%1%(〃-1)或/\&(〃T)X22/(〃-1)/W片.(〃-1)〃]—u2-2-2已知从一"2二〃0从一压之风M一〃”为M-〃2>〃。M一%<4。l，_x-y-%N(0,l)M"%u2»„UWTJ220-,6未知但5-。2从一〃2=%M一外工〃0M一〃22A-A2*4。M-外>A.Ai-A：t.X-Y-4dl+±%/(—2)订*%(勺+々-2)TN「(-2)7«Ta(4+q-2)25=0〃1，〃2已知[2=4靖2’(T)2H(T220：>ct2222a~<4一F—E日化-〃2『JT厂(4,"2)bKG_%(〃|，/2)或F>/^(n,,n2)F>Fa(ni,n2)尸$耳-式为，〃2)2一20=4225wa2尸4%(qT%T)或〃|，〃2未知(7；CT22225>a2225

66§3典型例题分析例1.已知总体X的概率密度只有两种可能，设0

67例4.从两个厂生产的产品中各抽取十次，分析其有效成分质量百分数(％),结果如下：A：79.181.077.379.180.079.179.177.380.282.1B：78.172.476.274.377.478.476.075.576.777.3设这两个样本相互独立，且都来自正态总体，问A厂生产产品的有效成分是否高于8厂？取a=0.005例5.已知XYN(〃2，。；)为检验总体X的均值大于丫的均值，则应作检验的假设为"0：从《出Hi:M>出2007年(9).(数一、三、四)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0

68(9).(数一、三、四)设随机变量(x,y)服从二维正态分布，且x与y不相关,力(力，4(〉)分别表示*，丫的概率密度，则在y=y的条件下，x的条件概率密度2(小I)为⑷/x(x)⑻fy(y)C)fx(x)4(y)(。)fy(y)(16).(数一、三、四)在区间(0,1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于;的概为.X|12(24).(数四)设随机变量X与y独立同分布，且X的概率分布为一21P|33记V=max{X,r},v=min{X,r}(I)求(匕v)的概率分布；(II)求丫与v的协方差cov(V,v)。

692008年(7).(数一、三、四)设随机变量x,y独立同分布，且x的分布函数为尸(x),则Z=max{X,Y}的分布函数为：(A)严(x)(8)F(x)F(y)(C)1-[1-F(x)]2(D)[1-Fa)][l-F(y)](8).(数一、三、四)设随机变量XN(0,l),YN(l,4),且相关系数Pxy=l，则(A)P{Y=-2X-\}=\⑻P{Y=2X-\]=\(C)P{Y=-2X+1]=l(D)P{Y=2X+1}=\(14).(数一、三、四)设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P{X=EX2}=(22).(数一、三、四)设随机变量X与y相互独立，X的概率分布为1[1,0

70（23）.（数一、三）设X「X2,…,X“是总体N（","）的简单随机样本，记》〃/=1s2=—S-Y（x（.-x）2,t=x2--s2〃一1普n（I）证明T是的无偏估计量；（II）当〃=O,b=l时，求。T。（23）.（数四）设某企业生产线上产品的合格率为0.96,不合格产品中只有之的产品可4进行再加工，且再加工的合格率为0.8,其余均为废品，已知每件合格产品可获利80元，每件废品亏损20元，为保证该企业每天的平均利润不低于2万元，问该企业每天至少应生产多少件产品？（7）.（农）设4,&为3个随机事件，下列结论中正确的是:（A）若A，4,&相互独立，则A1,4,%两两独立。（8）若%,4,&两两独立，则4,4相互独立。（C）若p（a44）=p（A）P（4）p（%）则A&%相互独立。

71（D）若4与4独立，与A?独立，则4与A3独立。(8).(农)设随机变量X服从参数为〃,p的二项分布，则(A)E(2X-l)=2np(B)E(2X+D=4〃p(C)O(2X-l)=2〃p(l-P)(O)ZX2X+D=4〃p(l-P)（14）.（农）设X1,X?,X3，X4为来自正态总体N（2,4）的简单随机样本，X为其样本均值，则E（亍>=»0

72(II)求P{X+YW2}；(III)求P{Y=OIX=O}。