王式安考研概率讲义

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概率统计第一讲随机事件和概率考试要求：数学一、三、四要求一致。了解：样本空间的概念理解：随机事件，概率，条件概率，事件独立性，独立重复试验掌握：事件的关系与运算，概率的基本性质，五大公式（加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯）,独立性计算，独立重复试验就算会计算：古典概率和几何型概率。§1随机事件与样本空间一、随机试验：E（1）可重复（2）知道所有可能结果（3）无法预知二、样本空间试验的每一可能结果样本点（0所有样本点全体——样本空间Q三、随机事件样本空间的子集一一随机事件ABC样本点一一基本事件，随机事件由基本事件组成。如果一次试验结果，某一基本事件。出现0发生，69出现如果组成事件A的基本事件出现一一A发生，A出现Q一一必然事件①一一不可能事件

1§2事件间的关系与运算事件间关系包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立二.事件间的运算：并，交，差运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律概率定义，集合定义，记号，称法，图三.事件的文字叙述与符号表示例2从一批产品中每次一件抽取三次，用4(i=l,2,3)表示事件:“第i次抽取到的是正品”试用文字叙述下列事件:(1)A&A,A,AA；(3)a4A；⑷“aA&Aa&a；再用a，&,A表示下列事件:(5)都取到正品；(7)只有一件次品：(6)至少有一件次品；(8)取到次品不多于一件。§3概率、条件概率、事件独立性、五大公式一.公理化定义。,4,产(1)P(A)>0⑵P(Q)=1⑶尸(A&a.)=P(A)+P(4)++P(A)+AA=0u*J二.性质(1)P(0)=O(2)P(A4A,)=P(A)+P(&)++P(A.)+44=0,W(3)P(A)=l-P(A)(4)Au艮尸(A)4尸⑻(5)O

2三.条件概率与事件独立性(DP(A)>0,P(B|A)=4翳,事件A发生条件下事件8发生的条件概率：(2)P(AB)=P(A)P(B),事件A,B独立，4,8独立14,与独立入8独立入方独立；P(A)>0时，A,B独立P(B|A)=P(B)；(3)尸(A，A，，A,)=P(4)尸(4)P(AJ1411Vi2V0,P(AB)=P(A)P(叫A)%A4..4t)>o时，p(A4..a)=p(A)p(4|A)p(A|A4)-4|A4“At)(4)全概率公式：用，&...,纥是完全事件组，且P(g)>0,z=l,nP(A)=fp(B,)P(A|B,)1=1(5)贝叶斯公式：4,纥是完全事件组，P(A)>0,P(Bi)>0,i=\,,n做|A)=粤……〃

3§4古典型概率和伯努利概率古典型概率/>")=%=A所包含的样本点数()=一样本点总数二.几何型概率=的几何度量-L(Q)―Q的几何度量三.独立重复试验独立一一各试验间事件独立，重复一一同一事件在各试验中概率不变四.伯努利试验试验只有两个结果A和1——伯努利试验“重伯努利试验二项概率公式C：产(1-P)"*k=O,\,.nP(A)=p§5典型例题分析例1.设A,8为两事件，且满足条件AB^AB,则P(AB)=例2.AB为任意两事件，则事件(A—8)(3-C)等于事件(A)A-C(B)A(B-C)(C)(A-B)-C(D)(AB)-BC例3.随机事件A,8,满足P(A)=P(8)=g和P(AB)=l则有(A)AB=Q(8)AB=@(C)P(AB)=\(D)P(A-B)=O例4.设0<；2<1且P(8|A)+P(可不=1则必有

4(A)P(A\B)=P(A\B)(B)P(A忸)¥尸(司6)(C)P(AB)=P(A)P(B)(£))P(AB)/P(A)P(8)例5.(06)设A、8为随机事件，且P(8)>0,P(A|B)=1,则必有(A)P(AB)>P(A)(B)P(AB)>P(B)(D)P(AB)=P(A)(D)P(A5)=P(B)例6.试证对任意两个事件A与B,如果P(A)>0,则有例7.有两个盒子，第一盒中装有2个红球，1个白球；第二盒中装一半红球，一半白球，现从两盒中各任取一球放在一起，再从中取一球，问：(1)这个球是红球的概率；(2)若发现这个球是红球，问第一盒中取出的球是红球的概率。例8.假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品：第二箱内装30件，其中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零(不放回)试求:(1)先取出的零件是一等品的概率p；(2)在先取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的条件概率q.

5例9.袋中装有a个白球和夕个黑球，分有放回和无放回两种情况连续随机每次一个地抽取，求下列事件的概率：(1)从袋中取出的第k个球是白球(lWZWa+/)(2)从袋中取出a+b个球中，恰含0个白球和b个黑球(aW/7)例10.随机地向半圆［(X,y)00,是常数)内掷一点，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于生的概率为«一……一…例12.四封信等可能投入三个邮筒，在已知前两封信放入不同邮筒的条件下，求恰有三封信放入同一个邮筒的概率为。例13.已知A,8,C三事件中A与5相互独立，P(C)=0,则4及仁三事件(A)相互独立(8)两两独立，但不一定相互独立(C)不一定两两独立一定不两两独立例14.10台洗衣机中有3台二等品，现已售出1台，在余下的9台中任取2台发现均为一等品，则原先售出1台为二等品的概率为

63223(A)-(8)-(C)—(D)-V'10''8V'10V'8例15.甲袋中有2个白球3个黑球，乙袋中全是白球，今从甲袋中任取2球，从乙袋中任取1球混合后，从中任取1球为白球的概率⑷|⑻|（。）|（。）|例16.10件产品中含有4件次品，今从中任取两件，已知其中有一件是次品，求另一件也是次品的概率。例17.两盒火柴各N根,随机抽用，每次一根，求当一盒用完时，另一盒还有R根的概率。（/?

7会计算：与随机变量相联系的事件的概率，用泊松分布近似表示二项分布，随机变量简单函数的概率分布。数学一，了解；数学三、四，掌握：泊松定理结论和应用条件§1随机变量及其分布函数一.随机变量样本空间。上的实值函数X=X(o),-XlimF(x)=l,记为尸(+oo)=1«(2)/(x)是单调非减，即巧<々时，F(x,)

8§2离散型随机变量和连续型随机变量离散型随机变量随机变量和可能取值是有限多个或可数无穷多个。离散型随机变量的概率分布设离散型随机变量X的可能取值是称P(X=xJ=Pk，2=1,2,…为X的概率分布或分布律分布律性质：(1)pk>0.,%=1,2,...(1)EPk=1kXx,x,x,分布律也可表示为-—-!——PP\PzPk三.离散型随机变量分布函数E(x)=ZP(X=xj=ZPcP(X=。)=F(a)-F(a-0)四.连续型随机变量及其概率密度设X的分布函数尸(x),如存在非负可积函数/(无)，有F(x)=f,—oo0；(2)「W=l；

9(1)x10(8)匚工。)心=1,f,(x)>-f(x)(。)匚/*)公=0,/j(x)>-/U)P(X=Q=C：p”尸,k=0,00k\XP(2)例设某段时间内通过路口车流量服从泊松分布，已知该时段内没有车通过的概率为1,则这段时间内至少有两辆车通过的概率为五.均匀分布/(x)=sb-a|o其他XU[a,b]例设随机变量J在(1,6)上服从均匀分布，则方程幺+。方+1=0有实根的概率是。

10五.指数分布=&X>°，A>0lOx<0XE(2)ia-1七.正态分布f(x)=—j=^e步，-oo0XN(O,1)标准正态分布(p(x)=—^=e2，-oo

110其他其中(a,/3)是函数g(x)在X可能取值的区间上值域。1.定义法：先求Fy(y)=P(y")=P(g(X)Wy)=(fx{x}dx然后/y(y)=4'(y)。§5典型例题分析baH7x>0例1.设随机变量的分布函数尸(x)=1(1+x)2Cx<0求a,Ac的值。例2.设随机变量X的分布律为P(X=&)=c},&=1,2,...,2>0试确定常数C的值。例3.汽车沿街行驶需要过三个信号灯路口，各信号灯相互独立，且红绿显示时间相等，以X表示汽车所遇红灯个数，求X的分布及分布函数。例4.(04)设随机变量X服从正态分布N(0,l),对给定的a(0ua)=a,若P(凶

12………一小区间长度成正比，求X的概率密度。例6.XU[2,5],对X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。

13例7.(06)设随机变量X服从正态分布N(4,CT12),y服从正态分布"(外,巴2)且P{|X-闺<1}>尸{»-闯<1},则必有(A)巧<%(8)cr,>〃2例8.X的密度/(x)=Ae*+*(yo

14(A)F(-a)=1~£)鸟(现居(x)例13.设X'(2,0'2)且/>(2<%<4)=0.3,则P(X<0)=例14.设X'(〃，4)，则随o■的增大，概率列X—44)=-,42求：(1)X的概率密度；(2)P(l

15第三讲多维随机变量及其概率分布考试要求理解：随机变量及其联合分布，离散型联合概率分布，边缘分布和条件分布，连续型联合概率密度。边缘密度和条件密度，随机变量独立性和相关性。掌握：随机变量的联合分布的性质，离散型和连续型随机变量§1二维随机变量及其联合分布函数一.二维随机变量设X=X(。),Y=y(o)是定义在样本空间Q上的两个随机变量，则称向量(x,y)为二维随机变量或随机向量。二.二维随机变量的联合分布函数定义：F(x,y)=P(X

164（y）=P（ywy）=P（X<+ao,y0（2）例设随机变量X在1.2,3三个整数值，求（x,y）的概率分布。PnP12PijPz\P22P2jPi\Pi2Pij斗=1数字中等可能取值，随机变量丫在1X中等可能的取一二.边缘概率分布Pi=P(X=x.)=^P(X=xi,Y=yj)=^pjj,z=l,2,jjpj=尸(y=%)=Z「(x==%)=，j=i，2.三.条件概率分布

17IP(X=xj,Y=y)/?,.p(y=%)>o,p(x=x,y=x)=——一,=5,,•=i,2,...1P(Y=yj)pj.P(X=x,,Y=y,)Pi，P(X=xj>0，P(y=yX=x,.)=——一/=&j=l,2,...P(X=xjPix\y|oi例设分布律为0a—r,已知?(y=l|X=O)=L,P(X=l|y=O)=-,求a,b,c1c0.523§3二维连续型随机变量一.概率密度尸(x,y)=「「f(u,vydudvf{x,y)概率密度J—OO00性质：(1)f(x,y)>0r+cor+oo22)f[f{x,y)dxdy=1J—<30J—<30例小叫o其**则人——。二.边缘密度P+O0,8fx(x)=JZf(x,y)dy,fY(y)=Jf(x,y)dx三.条件概率密度1.条件分布4俨3%)=岬p"«yk-£

18&丫（巾）=f(x,y)人（y）

19fy(y)>0fx(x)>0§4随机变量的独立性定义：对任意x,yP(X

20§5二维均匀分布和二维正态分布二维均匀分布f(x,y)=JA(X))G,a是g的面积[o其他例设二维随机变量(X,Y)在平面上由曲线y=x和y=V所围成的区域上服从均匀分布，则概率P(O0,|p|<1/(x,y)=—Jexp1■■以空/j)(y»)+止阕>2gl/小1-炉2(1-夕)[b；ct,(t2a2J]性质：(1)XN(从,W)，丫N(4，b；)(2)X与丫相互独立的充分必要条件是夕=0(3)aX+bYN(a^+bju2,a2o[+b2a1+2aba1

21或弓(z)=，内/(x,z-x)drp+oo=f(z-y,y)dyJ-ao特别，当x,y相互独立时，fz(Z)=J：fx(x)fy(z-x)dxfz⑵=J2fx(z-y)加y)力三.简单函数通常包括线形函数，初等函数，最大值，最小值，绝对值等。例设x,y相互独立，分布函数为&(x)，K(y)，试求(1)M=max(X,y)的分布函数即(z)；(2)N=min(X,y)得分布函数/(z)。§7典型例题分析例1.从1,2,3三个数字中一次任取两数，第一个数为X,第二个数为丫,记J=max(X,y),试求(X,y)和(X,J)的分布律及其边缘分布。X.-101例2.设随机变量Xj1―1―\,1=1,2,且尸(XX,=0)=1,P———424则P(X1=X2)=o

22例3.设某班车起点站上车人数X服从参数4（4〉0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为且他们在中途下车与否是相互独立的，用丫表示在中途下车的人数，求:（1）在发车时有〃个乘客的条件下，中途有机人下车的概率;（2）二维随机向量（x,y）的概率分布。例4.设随机变量（X,Y）的密度为/（x,y）=Ary2;0

23(A)P(X+F<0)=1(B)P(X+rx>0例设/(x,y)=(>［0其他试求(1)/x(x)和L(y),X,Y是否独立；⑵及人乂四和工^⑶,)。,o-2；o),则p(x

24例ii.x,y相互独立，服从参数为4的泊松分布，证明z=x+y服从参数为2/1的泊松分布例12.(04)设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布，在X=x(0i)。1,0

25(in)x<^)o

26第四讲随机变量的数字特征考试要求：数学一，数学三，数学四，要求一致理解：随机变量数字特征：数学期望，方差，标准差，矩，协方差，相关系数。掌握：常用分布的数字特征会计算：用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征，根据一维和二维随机变量的概率分布求其函数的数学期望。§1随机变量的数学期望定义1.离散型：P(X=Xk)=Pkk=l,2,...008当Z玉0绝对收敛E(X)=£xkPkA=1A=12.连续型：/(x)当「9(%)公绝对收敛J-O0E(X)=\"rjrf(x)dxJ—O0二.性质(1)E(C)=C(2)E(CX)=CE(X)(3)E(X+Y)=E(X)±E(Y)(4)x和y相互独立，则E(xr)=E(x)E(y)例将一均匀骰子独立抛掷三次，求掷得三数之和X的数学期望。

27三.随机变量x的函数y=g(x)的数学期望(1)离散型P(X=Xk)=Pk，k=12…当£g(x*)P*绝对收敛，E(y)=E(g(X))=支g(x*)p*hl&=1(2)连续型/(x),当「g(x))(x心绝对收敛J-00E(y)=E(g(X))=「'g(x)/(x)d!xJ-OD四.随机变量(x,y)的函数z=g(x,y)的数学期望(1)离散型P(X=xi,Y=yJ)=pij,i,j=\,2,...0000当ZZg(x,，y^Pn绝对收敛i=]j=\E(z)=E[g(x,y)]=ZZg®，y)Piji=\j=\(2)连续型f(x,y),当「fg(x,y)/(x,y)&Uv绝对收敛J-coJ-coE(Z)=E[g(X,Y)]=「g(x,y)/(x,y)dxdyJ-O0J—00例i.商店经销某种商品，每周进货的数量x与顾客对该种商店的需求量y是相互独立的随机变量，且都在区间[10,20]上服从均匀分布。商店每售出一单位商品可得利润1000元，若需求量超过了进货量，商店可以从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。

28§2随机变量的方差定义：D(X)=E[(X-EX)2]方差b(X)=，)(X)标准差，均方差计算方差的公式：D(X)=E(X2)-(EX)2,E(X2)>(EX)2三.性质：(1)。(。=0,反之。(X)=0不能得出X为常数：(2)D(oX+b)=a2D(X)；(3)X,丫相互独立D(X±Y)=DX+DY.例随机变量X的概率密度为/(x)=；则DQX-1)=。§3常用随机变量的数学期望和方差一.(0—1)分布EX=p,DX=pq二.二项分布EX=np,DX=npq三.泊松分布EX=A,DX=A四.均匀分布EX=^,DX=d)122

29四.指数分布EX=g,DX=，五.正态分布XN（〃q2）,EX=从,DX=cr2（XI）N（ZA，也吗2,/2卬）£X=〃I，EY=p2,DX=b；,"=/2例已知随机变量XB（n,p）,试证。（X）=〃/可例设随机变量XP（2）,试证E（X）=/l§4矩原点矩E（X）,E（X2）中心矩E［（X-EX）2］混合矩E（xv）混合中心矩E［（x-Ex）（y-Ey）］§5协方差和相关系数一.协方差定义：cov（x,y）=E［x-E（x）］［y-E（y）］=e（xy）-e（x）e（y）公式：o（x±y）=o（x）+n（y）±2cov（x,y）性质：（i）cov（x,y）=cov（y,x）；

30（2）cov（aX,bY）=abcov（X,Y）；

31（2）cov(X,+X2,Y)=cov(X,,y)+cov(X2,Y)相关系数定义：pyy=cov(Xg2_不相关：pXY=0*,丫相互独立不0乂,丫不相关X性质：(1)lpxrl

32例2.已知N件产品中含有Af件次品，从中任意取出〃件(〃WN),设这〃件产品中的次品件数为X,试求E(X)。例3.(04)设随机变量X服从参数为％的指数分布，则P{X>5/而［}=例4.设随机变量X的概率密度函数为--f(x)=Ae2-oovxv+oo其中AB为常数，已知E(X)=O(X),试求AB和E(X)。例5.(04)设随机变量X1,X2，...,X“(〃21)独立同分布，且其方差为"〉0例6.在伯努利试验中，已知P(A)=〃，现独立，重复地进行试验直到出现A为止，令X表示(A)cov(X”y)=?(B)cov(X,,y)=cr2

33M_1_O(C)O(X1+Y)=——a2n(D)D(Xl-y)=-(T2n所需进行的试验次数，试求E(X)和O(X)。

34J例7.设随机变量X和丫的联合分布在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量u=x+y的方差。

35例8.设随机变量X的概率分布密度为/(x)=；eM,(1)求X的E(X)和。(X)(2)求X与凶的协方差，问X与因是否不相关？(3)问X与凶是否相互独立？为什么？

36vy例9.已知随机变量（X,Y）服从N（l,0,9,16;-]）,设Z=7+]（1）求Z的E（Z）和。（Z）⑵求/?xz（3）问Z,X是否相互独立？为什么？例io.设随机变量（x,y）在。：.2+y2W1内服从均匀分布，则X和y的相关系数PxY=例ii.随机变量x和y均服从正态分布,（A）x+y一定服从正态分布（B）x和丫不相关与独立等价（C）（x,y）一定服从正态分布（。）（X,—丫）未必服从正态分布

37例12.在“次独立重复试验中，x和丫分别表示成功和失败的次数，则x和y的相关系数等于⑷-1⑻0(C)y(D)1例13.设A和5是两个随机事件，定义两个随机变量如下：1他现fl8出现x=<一和y一0册现[08出现证明：X与y不相关的充分必要条件是A与8相互独立。例14.已知随机变量X的分布P(X=k)=f左=0,1,2,...2k!其中c为常数，则随机变量y=2x-3的。(丫)=o例15.(04)设A,8为两个随机事件，且P(A)=；,P(8|A)=g,P(川B)=g,A发生A不发生令乂=18发生08不发生‘求(D二维随机变量(x,y)的概率分布；

38(idx与y的相关系数Oxy；(in)z=x2+y2的概率分布。例16.(06)设二维随机变量(x,y)的概率分布为X\Y-101-1a00.200.1b0.2100.1c其中a,b,c为常数，且X的数字期望，E(X)=-0.2,P(r<0|X<0)=0.5记2=乂+丫0

39(I)y的概率密度加y)；(II)cov(X,y);(III)F(-1,4).第五讲大数定律和中心极限定理考试要求：数学一：了解：切比雪夫不等式，切比雪夫大数定律，伯努利和辛钦大数定律，棣莫弗一拉普拉斯定理，列维―林德伯格定理数学三、四：了解：切比雪夫大数定律，伯努利和辛钦大数定律，棣莫弗-拉普拉斯定理，列维一林德伯格定理数学三：掌握：切比雪夫不等式数学三、四：会用：相关的定理近似计算有关事件的概率。数学四：了解：切比雪夫不等式§1切比雪夫不等式和依概率收敛一.切比雪夫不等式p{|x-e(x)|n£}w^^£>o二.依概率收敛limP(|xn-A|<£)=l£>o记作x“一例设随机变量X的方差为2,则根据切比雪夫不等式有估计P(|X-E(X)|>2)<。§2大数定律切比雪夫大数定律设%,*2，...,七,,...两两不相关，4(*,.)和。(*,)存在且存在常数。，使O(XJWC

40(，=1,2,...)则对任意£>0limP(，£X,」£E(XJ<£)=1二.伯努利大数定律XnB(〃,p),则对任意£>0limP(4-p<£)=1«-»*»n三.辛钦大数定律设展,*2，...,乂“,...独立同分布，E(X)=/j,则对任意£>0,limPC-YX,.-//<£)=1§3中心极限定理棣莫弗-拉普拉斯定理设XnB(n,p),则对任意xlimP(

41§4典型例题分析例1.设随机变量X和y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5,则根据切比雪夫不等式尸(|x-y|>6)<。例2.将一枚骰子重复掷〃次，则当〃时，〃次掷出点数的算术平均值依概率收敛于例3.(05)设乂,*2，...,凡,,...为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为4(/1>1)的指数分布，记①(X)为标准正态分布函数，则Jx,.-n2(4)limP{-j=—Wx}=(x)isJ"%第六讲数理统计第一章基本概念考试要求：数学一、三理解：总体，简单随机样本，统计量，样本均值样本方差和样本矩数学一了解：/，分布，r分布，尸分布，分位数并会查表计算,正态总体的常用抽样分布数学二了解：产生Z2变量，，变量，产变量的典型模式理解：标准正态，力?分布，，分布，/分布的分位数并会查表计算，经验分布掌握：正态分布的常用抽样分布

42§1总体和样本一.总体：所研究对象的某项数量指标X全体。样本，如果相互独立且都与总体X同分布，则称X「X2，...,X“为来自总体的简单随机样本，简称样本。样本容量，样本值，观测值XF（x）,则“的联合分布尸（石,吃，…，占）=巾尸（七）i=lXf（x）,则X1,X2，...,X”的联合密度7=]例设总体Xe（2）,则来自总体X的样本X1,X2，...,X“的联合概率密度/（X,W,X”）=§2统计量和样本数字特征—.统计量样本（X，X2，...,X“）的不含未知参数的函数7=7（乂，乂2，...,*“）。如果％1,々,“.,乙是样本X1,X2，...,X”的样本值，则数值T（X，X2，...,X“）为统计量7（%,X2，...,*“）的观测值。二.样本数字特征i.样本均值x=-yxi；〃,=i

432.样本方差S2=-4(Xl又)2,3.样本k阶原点矩k=\,2；〃/=14.样本二阶中心矩=-y(X,.-X)2ni=\E(又)=E(X)=〃，D(X)=^^2=—,£(S2)=D(X)=ct2nn如果e(x*)=4,n,=if2尤0

44X2=X12+X22+...+X,,2服从自由度为"的72分布，记42(〃)IJ*-x2e2,x>0/(%)=<2代)0,x<0E(x~)=n,£>(/)=2〃：2.可加性：设石272(%),//2(巧)，且力2和必相互独立则/；+公42(勺+巧)；3.上a分位点/(〃)：设//(〃)，对于给定的二(0<。<1),称满足条件P(/>/(〃))=«的点力：(〃)为72(")分布的上a分位点。例已知//(〃)，则£1(/)=O二.，分布XN(0,l),YX

45),则“、,(Id)2,-00ta(«))=a,tx_a(ri)=-ta(n),P(,|>，%(〃))=a

46三.尸分布1.典型模式：X,y独立，X/2（/）,y~72（%）,则「（空）生丝x>0x<0%2小2-r（f）r（f）'2（*+,）”如果FE（4，%），则一尸（〃,,〃1）F1.上a分位点工（勺,%）F尸(4，小)，0Fa(n],n2))=aFag，%)§4正态总体的抽样分布一.一个正态总体设XN（〃,/）,X，X2，..X“来自总体X的样本样本均值X,样本方差S2,则(1)XN(O,1)〃a!\/n（2）又与§2相互独立，且x2=（"?三/（〃一1）(3)T=r(w-l)S/4n⑷/=二支(x,「〃)2z2(n)

47b/=1二.两个正态总体设XN(4,b；),Y'(4,/2)，X|,X2，..Xq和几X，..'，分别来自X和y的样本，相互独立，X,Y,S~,S^,(1)X-YN(从一〃^互+空)，uN(O,1)'勺巧陛+红V〃1“2(2)如果CT：=%2,则T=(X—y)：M；%),(/+〃「2)«2其中5/」/T)S；+(/l)S；勺+几,一2(3)F="巧221,巧T)§2/%§5典型例题分析例1.设总体X服从参数为p的0—1分布，则来自总体X的简单随机样本X”X2，..X“的概率分布为。例2.设总体XP(2),则来自总体X的样本X”X2，..X“的样本均值5的分布律为例3.(98)设X，X2，X3，X4是来自正态总体NQ22)的样本，已知

48%2=。(毛一2乂2)2+伙3乂3—4乂4)2服从力2(〃)分布，其中凡6为常数，则〃=_1或2。例4.设随机变量丁«〃)，则尸服从的分布及参数为。例5.(05)设X，X2，..X,(〃N2)为来自总体N(O,1)的简单随机样本，X为样本均值，S?为样本方差，则…四⑹一⑺(C)业翌r(〃-1)(£>)㈡叭F(l,n-1)si=2例6.设XN(0"：,从总体X中抽样取样本X1,X2，...,X9,试确定o■的值，使得尸(1〈又<3)为最大，其中又例7.已知乂，乂2，乂3相互独立，且服从N(0,cr2),证明J|V,服从f(1)分布。

49例8.设总体X服从正态N(〃,(b>0)从该总体中抽取简单随机样本12nX1,X2,..毛汉，其样本均值为x=—yx,.,求统计量2〃,=|Y=£(Xj+Xn+i-2X)2的数学期望£(r)o(=1

50J例9.(04)设总体X服从正态分布'(“,〃)，总体服从正态分布%(〃2，〃)，X,,X2,...,XHi和小匕,…,，分别是来自总体x和y的简单随机样本，则“1小£(x,.-%)2+£(y,.-F)2E±!=o〃i+“2—2

51例10.(06)设总体X的概率密度为/(x)=ge-N(-oo

52例设总体的数学期望和方差分别为〃和4是来自总体X的样本，记X=（\-a）Xi+aX2（1）试证：X是//的无偏估计；（2）确定。使O（X）最小。

53§2估计量的求法一.矩估计法用样本估计相应的总体矩，用样本矩的函数估计总体矩相应函数1.矩估计不必知道分布形式，只要矩存在2.可用中心矩，也可用原点矩3.k个参数要求列出一阶至k阶矩方程考试大纲只要一阶矩和二阶矩4.囚。?为一阶、二阶原点矩，自和应2为一阶、二阶样本原点矩，g(61,必)就是g(4,a2)的矩估计量。二.最大似然估计法1.似然函数离散型P(X=4)=p(4；。)1=1,2,...,Lg)=—X“;6)=f]p(X,；。)1=1连续型fix\0)L(^=L(X„X2，…,X,；0=n/(X,；01=12.最大似然估计使似然函数L(x”X2，...,x,,；e)达到最大值的参数值。(乂,乂2，…,x.)3.似然方程摊叶dLg)d(ln〃e))夕为一维时，=0或=0dode

54

5552=(4-1)5：+(叼-1电2勺+%一2例设来自正态总体N(〃,0.92)的样本值1=2之七=5,则未知参数〃的置信水平为0.95的置9i=1信区间是.例(05)设一批零件的长度服从正态分布N(〃,a?),其中〃，/均未知，现从中随机抽取16个零件，测得样本均值i=20(cm),样本标准差s=l(cm),则〃的置信度为0.90的置信区间是(A)(20--Z005(l6),204--/()os(16))(B)(20--ZOI(16),20+—tQA(16))(C)(20--4os(15),20+aho5(15))(O)(20--/0j(15),20+—Zo,(15))

56§4典型例题分析n-\1.设X”X2，...,X“为总体'(〃,4)的一个样本，已知32=。工(乂卬一X,)2为4的无偏/=1估计，则常数C等于(C)—J—2(〃一1)(A)工(B)-n-

572.(05)设X1,X2，...,X“(〃>2)为来自总体N(0,4)的简单随机样本，又为样本均值,¥=Xj—X。z=1,2,...,n求:(I)匕的方差。匕，z=l,2,...,n；(idX与匕的协方差cov(6K)；(in)若。(匕+匕)2是4的无偏估计量，求常数c；(IV)P{Y}+Yn<0}«例3.从总体X中分别抽取容量为々和巧的两个独立样本，样本均值分别为元和元，且后(乂)=〃和£)(*)=(72,已知T=a耳+。用为〃的无偏估计量，试求：(1)常数。和匕应满足的条件；(2)使。(T)达到最小值的。和人

58例4.设X1,X2，...,X“是来自总体X的样本，已知XP（2）,证明T=（1一,）前是P（X=0）的无偏估计量。n例5.（04）设随机变量X的分布函数为E（x;a,0=1-(-/,X0,x>a,其中参数x0/>C,设X1,X2，...,X,为来自总体X的简单随机样本,（I）当a=l时，求未知参数夕的矩估计量（II）当a=l时，求未知参数£的最大似然估计量;（III）当£=2时，求未知参数a的最大似然估计量。例6.设某种元件的使用寿命X的概率密度为2产沏,x>00,x<0其中e为未知参数，又设％,工2,…，工是x的一组样本观测值，求参数。的最大似然估计值。

59例7.设总体xu（o,e）,%,*2，..”*“是来自总体*的样本，试求：参数。的最大似然估计。X01231例8.设总体X的概率分布为季~一…小*।m，其中。（0＜。＜彳）是未知参数，ru26/（1—u）u1—26/2利用总体X的如下样本值：3,1.3,0,3,1,2,30cx＜1l＜x＜2,其中。是未知参数（0＜。＜1）,其他求。的矩估计值和最大似然估计值。0,例9.（06）设总体X的概率密度为=\\-e,0,X”X2，...,X“为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值司,.,…,怎中小于1的个数,求（I）。的矩估计；（II）。的最大似然估计。第三章假设检验考试要求：理解：显著性检验的基本思想。

60掌握：假设检验的基本步骤，单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验数一了解：假设检验可能产生的两类错误。数三理解：假设检验可能产生的两类错误。数三会：构造简单假设的显著性检验，较简单情形两类错误概率的计算。§1基本概念一.实际推断原理：小概率事件在一次试验中实际上是不会发生的。二.假设检验假设；基本假设(原假设，零假设)和备选假设(备择假设，对立假设)，参数假设和非参数假设，简单假设和复合假设假设检验:根据样本,按照一定规则判断所做假设“0的真伪，并作出接受还是拒绝接受“0的决定。三.两类错误拒绝实际真的假设”0(弃真)称为第一类错误；接受实际不真的假设”0(纳伪)称为第二类错误。四.显著性检验1.显著性水平：在假设检验中允许犯第一类错误的概率，记为a(0

61§2正态总体参数的假设检验设显著性水平为a,单个正态总体为N(〃,b2)的参数的假设检验以及两个正态总体N3，b；)与'(外,力。的从-和苗=员的假设检验，列表如下:检验参数情形假设检验统计量“0为真时检验统计量的分布儿〃=〃0I］又一册MyCT2已知〃〉〃0配N(0,l)U>〃<4)U«4=4T_X-Mo『|N%(〃T)(T2未知〃〉〃0工1)T"(〃T)TWT"(〃T)『=5j若/Wb。?/>5；(T2<<7()2/="婴z2(»-i)/<显％(〃-1)或犷2残(〃-1)/2/(〃-1)/4建〃(〃一1)

62U]—“2CT；,4?已知〃］一外=氏内一*为从一代之风内一出手氏内一出>“)也一出<〃)N(0,l)3%U”U&T%霹未知但欧=%：内一出=出内一出工从、从一出之内Al-^2*Ao“一〃2>〃)〃一必Fa(n„n2)尸44-a(%，《2)(7,2-Oa\-a2端N%?b：>/2mjJ>1尸(4,%)自，〃2未知b：=42cr,2(T?CTj2工cr22bj>cr22CT12^(7),-bi2-l)F>Fa(n]-\jK-\)F

63a和,分别为.例2.设是取自正态总体N(〃,/)的简单样本，其中〃,人未知，记灭」fx,〃/=1=£(X/—5)2,则假设%：〃=0的/检验使用统计量T=o7=1例3.从两个煤矿各抽样数次，分析其含灰率(%)结果如下：甲矿：24.320.823.721.317.4乙矿：18.216.920.216.7假设各煤矿的含灰率分别服从正态分布，问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异(取显著水平a=0.05)?例4.从A,8两个厂生产的产品中各抽取十次，分析其有效成分质量百分数(％),结果如下：A：79.181.077.379.180.079.179.177.380.282.1B：78.172.476.274.377.478.476.075.576.777.3设这两个样本相互独立，且都来自正态总体，问A厂生产产品的有效成分是否高于8厂？取

64a=0.005例5.已知XM/Zpbf),YN(4，b；)为检验总体X的均值大于Y的均值，则应作检验的假设为(A)"。：从>〃2//1：//1<外(C)”<>："I<42H]：从(£))“。*—也“1：从>〃22007年(9).(数一、三、四)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为〃(0<〃<1),则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A)3P(I-”)？(B)6P(I-")?(C)3P2(1-pF(£>)6P2(1-a)，(10).(数一、三、四)设随机变量(x,y)服从二维正态分布，且x与丫不相关，人(力,人(丁)分别表示x,丫的概率密度，则在y=y的条件下，x的条件概率密度力,但甜为(㈤fx(x)(5)4(y)

65maxmin（16）.（数一、三、四）在区间（0,1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于工的概为。（I）求（匕丫）的概率分布;（II）求V与y的协方差8V（匕丫）。2008年（7）.（数一、三、四）设随机变量x,丫独立同分布，且x的分布函数为尸（x）》ijz=b，＞丫的分布函数为:(C)/xWA(y)(B)F(x)F(y)(C)1-[1-F(x)]2(D)[l-F(x)][l-F(y)J（24）.（数四）设随机变量X与y独立同分布，且X的概率分布为

66(8).(数一、三、四)设随机变量Xmi)，YN(l,4),且相关系数0xy=l，则(4)P[Y=-2X-\}=\(B)P[Y=2X-\}=\(C)P[Y=-2X+\}=\(。)P[Y=2X+l]=l(14).(数一、三、四)设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P{X=EX2}=(22).(数一、三、四)设随机变量X与丫相互独立，X的概率分布为P{X=，,}=；,(，=一1,0,1)「，0

67(23).(数四)设某企业生产线上产品的合格率为0.96,不合格产品中只有5的产品可进行再加工，且再加工的合格率为0.8,其余均为废品，已知每件合格产品可获利80元，每件废品亏损20元，为保证该企业每天的平均利润不低于2万元，问该企业每天至少应生产多少件产品？(7).(农)设A，4,4为3个随机事件，下列结论中正确的是：(A)若a，A，A3相互独立，则A，4,A两两独立。(B)若A，4,4两两独立，则A，4,A相互独立。(C)若p(44A)=p(4)p(4)p(4)则A，4,4相互独立。(。)若A与4独立，4与A独立，则A与4独立。(8).(农)设随机变量x服从参数为〃，〃的二项分布，则(A)E(2X-l)=2np(8)E(2X+D=4〃p(C)ZX2X-l)=2np(l-P)(。)ZX2X+l)=4/7p(l-P)

68(14).(农)设X|,X2，X3，X4为来自正态总体N(2,4)的简单随机样本，又为其样本均值，则£(X)2=.ax,0

69考研专业课：论述题答题技巧〉解析论述题在考研专业课中属于中等偏上难度的题目，考察对学科整体的把握和对知识点的灵活运用，进而运用理论知识来解决现实的问题.但是，如果我们能够洞悉论述题的本质，其实回答起来还是非常简单的.论述题，从本质上看，是考察队多个知识点的综合运用能力.因此，这就要求我们必须对课本的整体框架和参考书的作者的写书的内部逻辑。这一点是我们育明考研专业课讲授的重点，特别是对于跨专业的考生来说，要做到这一点，难度非常大.•►答题攻略：论述题三步走答题法是什么-为什么--怎么样1.论述题中重要的核心'概念，要阐释清楚;论述题中重要的理论要点要罗列到位。这些是可以在书本上直接找到的，是得分点，也是进一步分析的理论基点。2.要分析目前所存在问题出现的原因.这个部分，基本可以通过对课本中所涉及的问题进行总结ifu力戈。3提出自己合理化的建议。•►答题示范例如：结合治理理论，谈谈我们政府改革。

701.阐释“治理”的定义，然后分段阐释“治理理论的核心主张，包括理论主张和政策主张”。2.分析目前“政府改革”中存在的问题及其原因.3.结合治理理论的理论和政策主张，并结合相关的一些理论提出自己的改革措施。我们育明考研经过长期摸索，总结了一套考研专业课答题模板。•►危机应对万一遇到自己没有碰到的问题，特别是没有关注到的热点问题怎么办呢?其实，论述题虽然是考察考生运用知识点分析问题的能力，其核心还是在于课本知识，在于理论。因此在回答的时候一定要紧扣理论不放松.•►温馨提示1.回答的视角要广，不要拘泥于一两个点.2.在回答论述题的时候一定要有条理性，但是条数不宜过多，在5-8条为主.字数在1500左右。用时为25-30分钟。2018考研专业课：简答题答题技巧〉解析简答题一般来说位于试题的第二部分，基本考察对某些重要问题的掌握程度。难度中等偏低。这就要求考生在复习的时候要把课本重要问题梳理清楚，要比较扎实的记忆。一般来说书本看到5遍以上可以达到记忆的效果。当然，记忆也要讲究方法。

71•►考研答题攻略：简答题定义框架答题法定义一》框架-》总结

72第一，先把简答题题干中涉及到的最重要的1-2个名词进行阐述，类似于“名词解释”.很多人省略了这一点，无意中丢失了很多的分数。第二，按照要求，搭建框架进行回答。回答要点一般3-5点。第三，进行简单的总结。＞简答题答题示范例如：简析绩效管理和绩效考评的区别和联系。1."绩效管理’和"绩效考评”的定义.2.区别3.联系4.总结＞危机应对当遇到自己没有见过，或者复习时遗漏的死角。这个时候不要惊慌。只要你平时认真复习了，基本你不会的，别人也基本如此。首先要有这个自信。其次，无限的向课本靠拢，将相关的你能够想到的内容，有条理的全部列出来，把困难抛给改卷老师。＞温馨提示第一，在回答简答题的时候，一定要有头有尾，换言之，必须要进行核心名词含义的阐释。第二，在回答的时候字数一般在800-1000为佳，时间为15-20分钟。2018考研专业课：名词解释答题技巧

73总分总结构一般来说，把一个名词解释清楚，你需要用到“总分总”结构：开头第一句话开门见山，对这一名词给出一句概括性解释，截止了当地告诉阅卷老师，这是一个“什么东西”;然后对这个名词展开具体论述，往往是根据教材提供的内容来，可能涉及的方面有时间、背景、内容、特点、性质、原因等，具体情况需具体分析;最后要有概括提升的结尾句，一般涉及该名字的意义、价值、影响等,既算是一个总结，也算是一种拔高。这三部分，完整连贯，缺一不可。»5~6分钟,150~200字正如前文所述，名词解释考查对基础知识的掌握能力，不同于论述和分析，无需长篇大论。根据测算，一般一个名词解释用时5~6分钟，篇幅150~200字最为合适。利用上文所提到的总分总结构，一段答下来即可，无需再分段.这样做的目的一方面是合理规划考场上的精力和时间，另一方面，名词解释考查的就是考生的概括能力，以简洁为上，答得事无巨细、洋洋洒洒、长篇大论，反而违背了设置这一题型的初衷。＞踩点给分同所有的主观题一样，名词解释也是踩点给分的。一般来说，“总分总”结构的三段论基本能保证答题结构的完整，但在“分”的部分，要答的点比较多，可能会有遗漏，这就需要考生在复习过程中注意整理、全面记忆。此外，话语要简洁明了，每一句话都说得明确，说在点上，切忌模棱两可、重复啰嗦。

74»整理与积累要想答好名词解释，除了掌握考场上技巧外，还需在平时复习过程中注意整理和积累。一般来说,容易出名词解释的考点都是上匕较好判断的：首先必须得是名词，动词或其他词不会拿来出题;其次都是重点，比如重要的人物、事件、作品、制度、原理、法规等;其次是有话可说的，如果一个词书上只是提了一提，并没有展开论述，一般不会考，因为“无话可说通过以上三个特征的判断,你基本能做到对本学科的名词解释心中有数，在平时复习过程中就有意识地积累，按照“总分总"的结构整理并记忆,到了考场上就会轻松许多。答好名词解释，既是考场上拿分的关键，又是对基础知识的整理和记忆，是文科类考研专业课必过的一关。希望小伙伴们都能重视起来，把名词解释的分稳稳握在手里，专业课妥妥通关！