二次函数总复习

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中小学1对1课外辅导专家学员编号：年级：初三课时数：3学员姓名：辅导科目：数学培训师：课题二次函数总复习教学目的1.掌握二次函数的概念、形式、图像与性质，并能根据二次函数的图像与性质解决相关问题2.掌握用待定系数法求抛物线的解析式及二次函数的实际应用3.能画出二次函数的图像，并掌握画图像的几个基本要素，并且能平移图像教学内容一知识点梳理1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.2.顶点式：其中对称轴是直线顶点坐标为（-，）3.交点式（两点式）：其中：为抛物线与轴交点的横坐标（一元二次方程的两根）4.二次函数一般式用配方法可化成：的形式，其中对称轴是直线顶点坐标为（-，）5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；6.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.12精锐教育网站：www.1smart.org

1中小学1对1课外辅导专家（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.7.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.8.抛物线中，的作用（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.｜a｜越大,开口越小。（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.（左同右异）（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：①，抛物线经过原点;②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.9.抛物线与坐标轴的交点（1）与轴的交点为(0,).令（2）与轴的交点.二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：12精锐教育网站：www.1smart.org

2中小学1对1课外辅导专家①有两个交点抛物线与轴相交；②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；③没有交点抛物线与轴相离.(3)与其它直线的交点一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点;②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.10.填表：抛物线对称轴顶点坐标最值单调性开口方向y=ax2当a＞0时，开口当a＜0时,开口Y=ax2+kY=a(x-h)2y=a(x-h)2+kY=ax2+bx+c11、图像的平移一般做图像的平移时，使用顶点式，左加右减，上加下减向左平移个单位则，向右平移个单位则；向上平移个单位则，向下平移个单位则12.二次函数的图像关系（a≠0）（a≠0，a,h为常数）12精锐教育网站：www.1smart.org

3中小学1对1课外辅导专家(a≠0,a,k为常数)+k（a≠0，a,h,k为常数）二、典型例题题型一：历年中考选择题专练：1.(2003·杭州)把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有().A.b=3,c=7B.b=-9,c=-15C.b=3,c=3D.b=-9,c=212.已知二次函数的与的部分对应值如下表：…013……131…则下列判断中正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线与轴交于负半轴C．当＝4时，＞0D．方程的正根在3与4之间3．（2009南州）抛物线的图象如图1所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（）学科网A、y=x2-x-2B、y=学科网C、y=D、y=学科网4.(2009南充)抛物线的对称轴是直线（）A．B．C．D．5.（2009莆田）二次函数的图象如何平移就褥到的图像()A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位．B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位．C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位．D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位。6.（2009丽水）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a＞0.②该函数的图象关于直线对称.③当时，函数y的值都等于0.12精锐教育网站：www.1smart.org

4中小学1对1课外辅导专家其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．07.图1（2009嘉兴）已知，在同一直角坐标系中，函数与的图象有可能是（）A．B．C．D．1Oxy8.（2009烟台）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（）yxOyxOB．C．yxOA．yxOD．9.（2009黄石）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图3所示，下列结论：①abc＞0②2a+b＜0③4a－2b+c＜0④a+c＞0，其中正确结论的个数为（）A、4个B、3个C、2个D、1O(第7题)题型二：历年中考填空题专练：1．二次函数图像的顶点坐标是（2001——上海函数）2．抛物线y=x2－6x+3的顶点坐标是___________________。3．二次函数的图象关于原点O（0,0）对称的图象的解析式是_________________。学科网4.（2009湖州）已知抛物线（＞0）的对称轴为直线，且经过点，试比较和的大小：_（填“>”，“<”或“=”）三课堂练习一、填空1、二次函数y=-x2+6x+3的图象顶点为_________对称轴为_________。2、二次函数y=(x-1)(x+2)的顶点为_________,对称轴为________。12精锐教育网站：www.1smart.org

5中小学1对1课外辅导专家3、二次函数y=2(x+3)(x-1)的x轴的交点的个数有_______个，交点坐标为_____________。4、y=x2-3x-4与x轴的交点坐标是__________,与y轴交点坐标是____________5、由y=2x2和y=2x2+4x-5的顶点坐标和二次项系数可以得出y=2x2+4x-5的图象可由y=2x2的图象向__________平移________个单位，再向_______平移______个单位得到。6.如果函数y=(k-3)+kx+1是二次函数,则k的值一定是_______.7.抛物线的顶点在原点，则．8．抛物线，若其顶点在轴上，则．9.二次函数的值永远为负值的条件是0，0．10.如果函数y=ax2+4x-的图像的顶点的横坐标为l，则a的值为.11.已知抛物线y=ax2+12x-19的顶点的横坐标是3，则a=.12.抛物线y=2x2+bx+c的顶点坐标为（2，-3)，则b=,c=.二、选择题：1、抛物线的顶点坐标是（）班级姓名（A）（－2，3）（B）（2，3）（C）（－2，－3）（D）（2，－3）2、抛物线与的形状相同，而开口方向相反，则=（）（A）（B）（C）（D）3．与抛物线的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（）A．B．C．D．4．二次函数的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）A．＝4B.＝3C.＝－5D.＝－1。5．抛物线的图象过原点，则为（）A．0B．1C．－1D．±16．直角坐标平面上将二次函数y＝-2(x－1)2－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（）A.(0，0)B.(1，－2)C.(0，－1)D.(－2，1)7．函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（）A．B．C．D．12精锐教育网站：www.1smart.org

6中小学1对1课外辅导专家D．C．B．A．8、若抛物线的开口向下，顶点是（1，3），随的增大而减小，则的取值范围是（）（A）（B）（C）(D)9、抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上，则c等于()A.-16B.-4C.8D.16三、解答：1．求抛物线y=x2+x+2与直线x=1的交点坐标。2．已知，如图，直线经过和两点，它与抛物线在第一象限内相交于点P，又知的面积为，求的值；2005年上海中考题（本题满分10分，每小题满分各为5分）3．在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数的图象与x轴的负半轴相交于点C（如图），点C的坐标为（0，－3），且BO＝CO（1）求这个二次函数的解析式；（2）设这个二次函数的图象的顶点为M，求AM的长.12精锐教育网站：www.1smart.org

7中小学1对1课外辅导专家4.已知一条抛物线的对称轴是直线x=1；它与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），且线段AB的长是4；它还与过点C（1，-2）的直线有一个交点是D（2，-3）．（1）求这条直线的函数解析式；（2）求这条抛物线的函数解析式；（3）若这条直线上有P点，使，求点P的坐标．5.如图，抛物线顶点为P（1，-1），与x轴交于O、A两点,其中O为原点,点C是对称轴与x轴的交点。（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；CAPOyx（2）试在抛物线上找点D，在对称轴上找点Q，使得以P、D、Q为顶点的三角形与△OPC相似。请求出所有可能的点D和点Q的坐标。12精锐教育网站：www.1smart.org

8中小学1对1课外辅导专家四总结这节课学到了什么？五课后巩固练习一填空题（每题3分，共33分）1.已知函数y=(k+2)是关于x的二次函数,则k=________.2.已知抛物线y=ax2和直线y=kx的交点是P(-1,2),则a=______,k=______.3..抛物线y=4x2-3是将抛物线y=4x2,向_____平移______个单位得到的.4.函数y=(x+1)(x-2)的图像的对称轴是______,顶点为________.5.抛物线y=-3x2+5的开口向________,对称轴是_______,顶点坐标是________,顶点是最_____点,所以函数有最________值是_____.6.如图1所示,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像,试确定下列各式的符号:a____0,b____0,c_____0图17.已知二次函数y=mx2+(m-1)x+m-1的图像有最低点,且最低点的纵坐标是零,则m=_______8.如果函数y=(k-3)+kx+1是二次函数,则k的值一定是_______.9.二次函数y=ax2+bx+c中,a>0,b<0,c=0,则其图像的顶点是在第_____象限10.把一根长100cm的铁丝分为两部分,每一部分均弯曲成一个正方形,它们的面积和最小是______.11.正方形的边长是3,若边长增加x,则面积增加y的函数关系式为________二．选择题（每题8分，共32分）1.下列结论正确的是()A.二次函数中两个变量的值是非零实数;B.二次函数中变量x的值是所有实数;C.形如y=ax2+bx+c的函数叫二次函数;D.二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c的值均不能为零2.若y=(2-m)是二次函数,则m等于()A.±2B.2C.-2D.不能确定3.下列函数中,不是二次函数的是()A.y=1-x2B.y=2(x-1)2+4;C.y=(x-1)(x+4)D.y=(x-2)2-x24.在半径为4cm的圆中,挖去一个半径为xcm的圆面,剩下一个圆环的面积为ycm2,则y与x的函数关系式为()A.y=x2-4B.y=(2-x)2;C.y=-(x2+4)D.y=-x2+1612精锐教育网站：www.1smart.org

9中小学1对1课外辅导专家三．解答题1.二次函数的图象与x轴从左到右两个交点依次为A、B，与y轴交于点C，（1）求A、B、C三点的坐标；（2）如果P(x，y)是抛物线AC之间的动点，O为坐标原点，试求△POA的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）是否存在这样的点P，使得PO=PA，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。2.某农场种植一种蔬菜,销售员根据往年的销售情况,对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测,预测情况如图,图中的抛物线(部分)表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系,观察图像,你能得到关于这种蔬菜的哪些信息?并写出此函数的表达式12精锐教育网站：www.1smart.org

10中小学1对1课外辅导专家3．已知二次函数图象的对称轴为直线，经过两点和，并与轴的交点分别为点B、C（点C在点B左边），其顶点为点P.（1）求此二次函数的解析式；（2）如果直线向上或向下平移经过点P，求证：平移后的直线一定经过点B；（3）在（2）的条件下，能否在直线上找一点D，使四边形OPBD是等腰梯形，若能，请求出点D的坐标；若不能，请简要说明你的理由.12精锐教育网站：www.1smart.org

11中小学1对1课外辅导专家12精锐教育网站：www.1smart.org