余弦定理教学设计有道

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1、★精品文档★余弦定理教学设计有道余弦定理南京师范大学附属中学张跃红教学目标：1.掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．重点是余弦定理及其证明过程．教学难点：难点是余弦定理的推导和证明．1.创设情景，提出问题．问题1：修建一条高速公路，要开凿隧道将一段山体打通．现要测量该山体底侧两点间的距离，即要测量该山体两底侧A，B两点间的距离．请想办法解决这个问题．设计意图：这是一个学生身边的实际应用问题，在其解决的过程中得到余弦定理，自然引

2、出本课的学习内容．2.构建模型，解决问题．学生活动：提出的方法有，先航拍，然后根据比例尺算出距离；利用等高线量出距离等；也有学生提出在远处选一点C，然后量出AC，BC的长度，再测出∠ACB．△2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创6/6★精品文档★ABC是确定的，就可以计算出AB的长．接下来，请三位板演其解法．法1：如图2，过点A作垂线交BC于点D，则｜AD｜＝｜AC｜sinC，｜CD｜＝｜AC｜cosC，｜BD｜＝｜BC｜－｜CD｜＝｜BC｜－｜AC｜cosC，所以，

3、AB

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15、?cosC．C????????????如图3，因为AB?AC?CB，????2????????2所以，AB?(AC?CB)????2????2?????????AC?CB?2AC?CB?cos(??C),即

16、AB

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23、BC

24、?cosC．法3：C建立如图4所示的直角坐标系，则A，B，根据两点间的距离公式，可得

25、AB

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27、AC

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32、sinC?0)2，所以，

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41、BC

42、?cosC．活动评价：师生共同评价板演．3.追踪成果，提出猜想．师：回顾刚刚解决的问题，我们很容易得到结论：在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边长，则有c2?a2?b2?2abcosC成立．类似的还有其他等式，a2?c2?b2?2cbcosA，b2?c2?a2?2cacosB．正弦定理反映的是三角形中边长与角度之间的一种数量关系，因为与正弦有关，就称为正弦定理；而上面等式中都与余弦有关，就叫做余弦定理．问题2：刚才问题的解题过程是否可以作为余弦定理的证明

43、过程？设计意图：作为定理要经过严格的证明，在解决问题中培养学生严谨的思维习惯．学生活动：经过思考得出，若把解法一作为定理的证明过程，需要对角C进行分类讨论，即分角教师总结：证明余弦定理，就是证明一个等式．而在证明等式的过程中，我们可以将一般三角形的问题通过作高，转化为直角三角形的问题；还可以构造向量等式，然后利用向量的数量积将其数量化；还可以建立直角坐标系，借助两点4.探幽入微，深化理解．问题3：刚刚认识了余弦定理这个“新朋友”2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创6/6★精品

44、文档★，看一看它有什么特征？学生活动：勾股定理是余弦定理的特例．反过来也可以说，余弦定理是勾股定理的推广；当角C为锐角或钝角时，边长之间有不等关系a2?b2?c2，a2?b2?c2；c2?a2?b2?2abcosC是边长a、b、c的轮换式，同时等式右边的角与等式左边的边相对应；等式右边有点象完全平方，等等．教师总结：我们在观察一个等式时，就如同观察一个人一样，先从远处看，然后再近处看，先从外表再到内心深处．观察等式时，先从整体再到局部，从一般到特殊，或者从特殊到一般．问题4：我们为什么要学余弦定理

45、，学它有什么用？设计意图：让学生真正体会到学习余弦定理的必要性．同时又可以得到余弦定理能解决的三角形所满足的条件，以及余弦定理的各种变形．让学生体会在使用公式或定理时，不但要会“正向使用”还要学会“逆向使用”．学生活动：解已知三角形的两边和它们夹角的三角形；如果已知三边，可以求角，进而解出三角形，即b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2cosA?,cosB?,cosC?．2bc2ac2ab5.学以致用，拓展延伸．练习：1．在△ABC中，若a＝3，b＝5，c＝7，求角C．2．在△ABC中，

46、若b?3?1,c?,A?450，解这个三角形．在△2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创6/6★精品文档★ABC中，b?,B?600,c?1，求a．学生活动：练习后相互交流得出，解答题1时，利用的是余弦定理的变形形a2?b2?c2式cosC?；而题2既可以利用正弦定理，也可以利用余弦定理解决．2ab思考：正弦定理与余弦定理间是否存在着联系呢？你能用正弦定理证明余弦定理，用余弦定理证明正弦定理吗？请同学们课后思考．余弦定理本节主要研究xxxxxx，分两课时，这里是