常平均曲率细分曲面的构造 - LSEC Index Home Page

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1、第２３卷第６期计算机辅助设计与图形学学报Ｖｏｌ．２３Ｎｏ．６２０１１年６月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒ－ＡｉｄｅｄＤｅｓｉｇｎ＆ＣｏｍｐｕｔｅｒＧｒａｐｈｉｃｓＪｕｎｅ２０１１常平均曲率细分曲面的构造潘青１）２），徐国良１）（湖南师范大学数学与计算机科学学院长沙４１００８１）２）（中国科学院数学与系统科学研究院计算数学与科学工程计算研究所北京１００１９０）（ｐａｎｑｉｎｇ＠ｌｓｅｃ．ｃｃ．ａｃ．ｃｎ）摘要：常平均曲率曲面经常作为界面出现在许多物理问题当中，是物理膜泡的一种数学抽象，而细分曲面的灵活性及其高质量的特性使得它成为一种强有

2、力的曲面设计工具．通过给定边界，使用由一个二阶能量范函导出的四阶几何偏微分方程和一个二阶几何偏微分方程来构造常平均曲率细分曲面，这２个方程采用有限元方法求解；由于扩展的Ｌｏｏｐ细分规则能处理带边界的曲面问题，所以采用其极限形式作为有限元空间．实验结果显示，采用文中方法能够近似地构造出具有任意拓扑结构控制网格和任意形状边界的常平均曲率曲面．关键词：常平均曲率曲面；Ｌｏｏｐ细分；几何偏微分方程中图法分类号：ＴＰ３９１ＣｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｏｆＣｏｎｓｔａｎｔＭｅａｎＣｕｒｖａｔｕｒｅＳｕｂｄｉｖｉｓｉｏｎＳｕｒｆａｃｅｓ１）２）ＰａｎＱｉｎ

3、ｇａｎｄＸｕＧｕｏｌｉａｎｇ１）（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅ，ＨｕｎａｎＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ４１００８１）２）（ＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｃｉｅｎｔｉｆｉｃ?ＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＣｏｍｐｕｔｉｎｇ，ＡｃａｄｅｍｙｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｙｓｔｅｍｓＳｃｉｅｎｃｅ，ＣｈｉｎｅｓｅＡｃａｄｅｍｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅｓ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１００１９０）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｕｒｆａｃｅｓｗｉｔｈｃｏｎｓｔａｎｔ

4、ｍｅａｎｃｕｒｖａｔｕｒｅａｌｗａｙｓａｒｉｓｅａｓｉｎｔｅｒｆａｃｅｓｉｎｍａｎｙｐｈｙｓｉｃａｌｐｒｏｂｌｅｍｓ，ａｎｄａｒｅｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌａｂｓｔｒａｃｔｉｏｎｏｆｐｈｙｓｉｃａｌｓｏａｐｆｉｌｍｓａｎｄｓｏａｐｂｕｂｂｌｅｓ．Ｔｈｅｆｌｅｘｉｂｉｌｉｔｙａｎｄｈｉｇｈｑｕａｌｉｔｙｏｆｓｕｂｄｉｖｉｓｉｏｎｓｕｒｆａｃｅｓｍａｋｅｔｈｅｍｔｏｂｅａｐｏｗｅｒｆｕｌｔｏｏｌｆｏｒｄｅｓｉｇｎｉｎｇｓｕｒｆａｃｅｓ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｔｈｅｃｏｎｓｔａｎｔｍｅａｎｃｕｒｖａｔｕｒｅｓｕｂｄｉ

5、ｖｉｓｉｏｎｓｕｒｆａｃｅｓｗｉｔｈｇｉｖｅｎｂｏｕｎｄａｒｉｅｓｕｓｉｎｇａｆｏｒｔｈ－ｏｒｄｅｒｇｅｏｍｅｔｒｉｃｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｄｅｄｕｃｅｄｆｒｏｍａｓｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒｅｎｅｒｇｙｆｕｎｃｔｉｏｎａｌａｎｄａｓｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒｇｅｏｍｅｔｒｉｃｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｔｈｅｓｅｅｑｕａｔｉｏｎｓａｒｅｓｏｌｖｅｄｂｙａｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄ．ＷｅａｄｏｐｔｔｈｅｌｉｍｉｔｆｕｎｃｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｅｘｔｅｎｄｅｄＬｏｏｐｓｓｕｂｄ

6、ｉｖｉｓｉｏｎｓｃｈｅｍｅａｓｔｈｅｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｓｐａｃｅｂｅｃａｕｓｅｔｈｉｓｓｃｈｅｍｅｃａｎｔｒｅａｔｓｕｒｆａｃｅｓｗｉｔｈｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ．Ｔｈｅｃｏｎｓｔａｎｔｍｅａｎｃｕｒｖａｔｕｒｅｓｕｂｄｉｖｉｓｉｏｎｓｕｒｆａｃｅｓｃａｎｂｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｌｙｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄｗｉｔｈａｎｙｔｏｐｏｌｏｇｙｏｆｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌｍｅｓｈａｎｄａｎｙｓｈａｐｅｄｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｏｎｓｔａｎｔｍｅａｎｃｕｒｖａｔｕｒｅｓｕｒｆａｃｅｓ；Ｌｏｏｐｓｕｂｄｉｖｉｓｉｏｎ；ｇｅｏｍｅｔｒ

7、ｉｃｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ考虑３中的光滑可定向的曲面Ｓ，在曲面Ｓ上处为常数的曲面被称为常平均曲率曲面．众所周知，的每一点ｘ，有２个主曲率ｋ１和ｋ２，Ｈ是这２个主最简单的闭的常平均曲率曲面是球面，最简单的开曲率的平均值，叫做平均曲率；曲面上的平均曲率处的常平均曲率曲面是圆柱面．常平均曲率曲面经常收稿日期：２０１０－０７－１１；修回日期：２０１０－１１－０２．基金项目：国家自然科学基金（１０７０１０７１，６０７７３１６５）；湖南师范大学青年优秀人才培养计划（ＥＴ１０９０１）．潘青（１９７４—），女，博士，副教

8、授，主要研究方向为ＣＡＧＤ、计算几何、计算数学、计算机图形学；徐国良（１９５３—），男，博士，研究员，博士生导师，主要研究方向为ＣＡＧＤ、计算几何、图像处理等．第６期潘青，等：常平均曲率细分曲