2013版高考数学一轮复习精品学案：2.2函数的单调性与最值

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1、教育资源2013版高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用2.2函数的单调性与最值【高考新动向】一、考纲点击1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性、最值。二、热点、难点提示1.确定函数单调性、单调区间及应用函数单调性求值域、最值，比较或应用函数值大小，是高考的热点及重点.2.常与函数的图象及其他性质交汇命题.3.题型多以选择题、填空题形式出现，若与导数交汇则以解答题形式出现.【考纲全景透析】一、函数的单调性（1）单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个

2、自变量x1,x2，改变量⊿x=x2-x1>0当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的（2）单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做f(x)的单调区间。注：①单调区间是定义域的子区间教育资源教育资源②函数的单调性反映在图象上是在某一区间上是上升的或下降的；而最大（小）值反映在图象上为其最高（低）点的纵坐标的值。二、函数的最值前

3、提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有f(x)≤M②存在x0∈I，使得f(x0)=M①对于任意x∈I，都有f(x)≥M②存在x0∈I，使得f(x0)=M结论M为最大值M为最小值注：函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在。相关提示：①函数的单调区间与该函数定义域间的关系函数的单调区间是该函数定义域的子集；函数的定义域不一定是函数的单调区间。②一个函数在定义域内的单调性与在某几个子区间上的单调性的关系如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增（减）函数，不能说这个函数在定

4、义域上是增（减）函数，如函数③相同单调性函数的和、差、积、商函数的单调性两个增（减）函数的和函数仍是增（减）函数，但两个增函数的差、积、商的函数单调性不确定，同样两个减函数的差、积、商的函数单调性也不确定。④奇函数在对称区间上的单调性奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反。因此，具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性。⑤求函数单调性解题策略第一，看函数的类型，如果是基本函数，常常记住函数的单调区间；第二，如果是复杂函数，常常利用导数进行研究；第三，如果是抽象函数，常常利用定义解决，或者借助图象，或者用具体函数代替处理。【热点难点

5、全析】一、函数单调性的判定1、用定义证明函数单调性的一般步骤，即：（1）取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1

6、通过加、减运算或复合运算构成的函数，用转化法，其思维流程为：（3）能求导的用导数法，其思维流程为：（4）能作差变形的用定义法，其思维流程为：注：函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制。例如函数y=1/x在内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为，不能用“∪”2．例题解析〖例1〗(2011·江苏高考)函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是______.(2)判断函数在(-1，+∞)上的单调性.【方法诠释】本例为判断函数的单调性或求函数的单调区间.(1)转化为基本初等函数的单调性去判断；(2)可用定义法或导

7、数法.解析：(1)函数f(x)的定义域为(，+∞)，令t=2x+1(t>0),教育资源教育资源因为y=log5t在t∈(0,+∞)上为增函数，t=2x+1在(，+∞)上为增函数，所以函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间为(,+∞).答案：(，+∞)(2)方法一：定义法：设x1>x2>-1,则∵x1>x2>-1,x2-x1<0,x1+1>0,x2+1>0,即y1-y2<0,y1