高中数学(人教A版)必修五精讲精练【讲义】

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1、《新课标高中数学必修⑤精讲精练》——精讲第一章解三角形第1 讲§1.1.1 正弦定理¤学习目标：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的推导过程，并能运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题.¤知识要点：abc 1.正弦定理（lawofsines）：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即==.sinAsinBsinC2.应用正弦定理，可以研究两类解三角形的问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角.注意结合实际情况进行讨论¤例题精讲：【例1】在DABC中，已知A=4

2、5°，a=2cm，c=6cm，解三角形.（精确到1°，0.1cm）c 623解：根据正弦定理，sinC=sinA =´=，∴C=60°或C=120°.a222oasinB 2sin75当C=60°时，B=180°-(A+C)=75°，b==»2.7(cm ).osinAsin45oasinB 2sin15当C=120°时，B=180°-(A+C)=15°，b==»0.7(cm ).osinAsin45∴b»2.7(cm)，C=60°，B=75°或b»0.7(cm)，C=120°，B=15°.ABAD 【例2】在△ABC中，BD是∠ABC的平分线（如图）

3、，用正弦定理证明=.BCDCABADABsinÐADB证明：在△ABD内，利用正弦定理得=,即=.sinÐADBsinÐABDADsinÐABDBCDCBCsinÐBDC在△BCD内，利用正弦定理得=,即=. sinÐBDCsinÐDBCDCsinÐDBC∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC，∴sinÐABD＝sinÐDBC.∵∠ADB＋∠BDC＝180°，∴sinÐADB＝sin（180°－∠BDC）＝sinÐBDC.ABsinÐADBsinÐBDCBC ABAD ∴===，∴=.ADsinÐABDsinÐDBCCDBCDC2*【例3】在△

4、ABC中，已知a-a=2(b+c)，a+2b=2c-3，若sinC∶sinA＝4:13，求a，b，c．解：∵sinC∶sinA＝4∶13，∴c∶a＝4∶13.ìï2-=+13k13k2(b4k )设c＝4k，a＝13k，则íïî13k+2b=8k-323由①、②消去2b，得13k-16k+3=0，解得k＝或k＝1.133∵k＝时b＜0，故舍去．135-13∴k＝1，此时a＝13，b＝，c＝4．2点评：利用正弦定理，可以把角正弦的比值关系转化为边的比值关系，反之也行.由比值而设参数k，通过方程思想求出参数k，从而解决解三角形的问题.2a-ctanB *【

5、例4】在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且=．求角B的大小.ctanC2a-ctanB 2sinA-sinCtanBsinBcos C解：∵=，根据正弦定理，得==.ctanCsinCtanCsinCcosB化简为2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin(B+C).1在△ABC中，sin(B+C)=sinA，∴cos B=.2∵0°

6、相同才能实施转化.1 《新课标高中数学必修⑤精讲精练》——精讲第一章解三角形第2 讲§1.1.2 余弦定理¤学习目标：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理的推导过程，理解余弦定理与勾股定理的关系，并能运用余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.¤知识要点：1.余弦定理（lawofcosines）：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余222222222弦的积的两倍，即a=b+c-2bccosA，b=c+a-2accosB，c=a+b-2abcosC.222222222b+c-aa+c-ba+b-c 2.余弦定理的变

7、式：cos A =，cos B =，cos C=.2bc2ac2ab2.应用余弦定理，可以研究两类解三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.¤例题精讲：【例1】在DABC中，已知a=7,b=3,c=5，求最大角和sinC.222b+c-a10解：∵a>b>c，∴A为最大角，由余弦定理有cos A ==-，∴A=120.2bc23c 5353又∵sinA=，∴sinC=sinA =´=.2a7214rrrrrr*【例2】设a=(x1，y1) ，b =(x2，y2)，a与b 的夹角为q（0≤q≤p），求证：

8、x1x2+y1y2=

9、a

10、

11、b 

12、cosq.rr证明：如图，设a，b 起点在原点，终点为A，B