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1、新课标人教A版高中数学必修五典题精讲（3.4基本不等式）典题精讲例1（1）已知0＜x＜，求函数y=x(1-3x)的最大值;（2）求函数y=x+的值域.思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x＞0与x＜0讨论.（1）解法一：∵0＜x＜,∴1-3x＞0.∴y=x(1-3x)=·3x(1-3x)≤［］2=，当且仅当3x=1-3x，即x=时，等号成立.∴x=时，函数取得最大值.解法二：∵0＜x＜,∴-x＞0.∴y=x(1-3x)=3x(-x)≤3［］2=，当且仅当x=
2、-x,即x=时，等号成立.∴x=时，函数取得最大值.（2）解：当x＞0时，由基本不等式，得y=x+≥2=2，当且仅当x=1时，等号成立.当x＜0时，y=x+=-［(-x)+］.∵-x＞0,∴(-x)+≥2,当且仅当-x=,即x=-1时，等号成立.∴y=x+≤-2.综上,可知函数y=x+的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞).绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备.变式训练1当x＞-1时，求f(x)=x+的最小值.思路分析：x＞-1x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与的积为常数.解：∵x＞-
3、1,∴x+1＞0.∴f(x)=x+=x+1+-1≥2-1=1.当且仅当x+1=,即x=0时,取得等号.∴f(x)min=1.变式训练2求函数y=的最小值.思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开.解：令t=x2+1，则t≥1且x2=t-1.∴y==.∵t≥1,∴t+≥2=2,当且仅当t=,即t=1时，等号成立.∴当x=0时，函数取得最小值3.例2已知x＞0,y＞0，且+=1，求x+y的最小值.思路分析：要求x+y的最小值，根据极值定理，应构建某个积为
4、定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会.解法一：利用“1的代换”,∵+=1,∴x+y=(x+y)·(+)=10+.∵x＞0,y＞0,∴≥2=6.当且仅当，即y=3x时，取等号.又+=1,∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.解法二：由+=1，得x=.∵x＞0,y＞0,∴y＞9.x+y=+y=y+=y++1=(y-9)++10.∵y＞9,∴y-9＞0.∴≥2=6.当且仅当y-9=，即y=12时，取得等号，此时x=4.∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.解法三：由+=1，得y+9x=xy,∴(x-1)(y-9)
5、=9.∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2=16,当且仅当x-1=y-9时取得等号.又+=1,∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.绿色通道：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察,学会变形，另外解法二，通过消元,化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响.黑色陷阱：本题容易犯这样的错误：+≥2①,即≤1,∴≥6.∴x+y≥2≥2×6=12②.∴x+y的最小值是12.产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是
6、=，不等式②等号成立的条件是x=y.在同一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论.变式训练已知正数a,b,x,y满足a+b=10,=1，x+y的最小值为18，求a,b的值.思路分析：本题属于“1”的代换问题.解：x+y=(x+y)()=a++b=10+.∵x,y＞0,a,b＞0，∴x+y≥10+2=18，即=4.又a+b=10，∴或例3求f(x)=3+lgx+的最小值（0＜x＜1）.思路分析：∵0＜x＜1,∴lgx＜0,＜0不满足各项必须是正数这一条件，不能直接应用基本不等式，正确的处理方法是加上负号变正数.解：∵0＜x
7、＜1,∴lgx＜0,＜0.∴-＞0.∴(-lgx)+(-)≥2=4.∴lgx+≤-4.∴f(x)=3+lgx+≤3-4=-1.当且仅当lgx=,即x=时取得等号.则有f(x)=3+lgx+(0＜x＜1)的最小值为-1.黑色陷阱：本题容易忽略0＜x＜1这一个条件.变式训练1已知x＜，求函数y=4x-2+的最大值.思路分析：求和的最值，应凑积为定值.要注意条件x＜，则4x-5＜0.解：∵x＜,∴4x-5＜0.y=4x-5++3=-［(5-4x)+］+3≤-2+3=-2+3=1.当且仅当5-4x=,即x=1时等号成立.所以当x=1时，函数的最大值是1.变式
