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《新课标人教A版高中数学必修五典题精讲(1.3正弦定理余弦定理的应用).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、典题精讲例1在湖面上高h米处，测得天空中一朵云的仰角为α，测得云在湖中之影的俯角为β，试证明云距湖面的高度为h·.思路分析:因湖面相当于一个平面镜，云C与它在湖中之影D关于湖面对称，设云高CM=x.在三角形中建立含x的方程，解出x即可.图1-3-3解：如图1-3-3，设湖面上高h米处为A，测得云C的仰角为α，测得C在湖中之影D的俯角为β，CD与湖面交于M，过A的水平线交CD于E.设云高CM=x,则CE=x-h,DE=x+h,AE=.又AE=,∴=.整理，得x=·h=h·.绿色通道：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂平面内，视线与水平线的夹角.当视线在水
2、平线之上时，称为仰角;当视线在水平线之下时，称为俯角.变式训练1如图1-3-4，为了测量上海东方明珠塔的高度，测量人员站在A处测得塔尖的仰角为75.5°，前进38.5m后，在B处测得塔尖的仰角为80°，试计算塔的高度.图1-3-4思路分析:由于CD难以直接求解，我们可借助解直角三角形求解，只要能计算出BC的长，则在Rt△BCD中，可得塔高CD，而BC的长可在△ABC中利用正弦定理求得.解：∵∠CAD=75.5°,∠CBD=80°,∴∠ACB=4.5°.在△ABC中，由,得BC=≈477m.∴CD=BCsin80°≈470m,即塔的高度为470m.变式训练2一人见一建筑物A在正北方
3、向，另一建筑物B在北偏西30°方向，此人向北偏西70°方向行走3km后，则见A在其北偏东56°方向，B在其北偏东74°方向，试求这两个建筑物的距离.（精确到10m）图1-3-5解：如图1-3-5所示，在△BCO中，∠BOC=70°-30°=40°,∠BCO=(180°-70°)-74°=36°,∴∠CBO=180°-40°-36°=104°.由正弦定理，得.∴BO=.在△AOC中，∠AOC=70°,∠CAO=56°,∴∠ACO=54°.由正弦定理，得.∴AO=.在△AOB中，由余弦定理,知AB=≈1630(m).∴这两个建筑物的距离为1630m.例2如图1-3-6，甲船在A处，乙
4、船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，应沿什么方向，用多少小时最快追上乙船？（精确到度）图1-3-6思路分析:假设用t小时在C处追上乙船，则在△ABC中，AC、BC可用t来表示，进而利用余弦定理求得t，解此三角形即可.解：假设用t小时，甲船在C处追上乙船，在△ABC中，AC=28t,BC=20t,∠ABC=180°-45°-15°=120°.由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC,即(28t)2=81+(20t)2-2×9×20t×(-).整理，得128t2-60t-27=
5、0,即(4t-3)(32t+9)=0.∴t=,t=(舍去).∴AC=28×=21,BC=20×=15.由正弦定理，得sin∠BAC=.又∠ABC=120°,∴∠BAC为锐角,∠BAC=38°.∴45°-38°=7°.∴甲船应沿南偏东7°方向用小时最快追上乙船.绿色通道：航海问题常利用解三角形的知识去解决，在具体解题时，应画出示意图，找出已知量及所求的量，转化为三角形的边角，利用正弦、余弦定理求解.变式训练在某海滨城市附近海面上有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O的东偏南θ(cosθ=)方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形
6、区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受影响达多少小时？思路分析:设t小时后台风中心在Q，此时城市O受到台风影响，即此时O在台风侵袭的圆形区域内，注意台风在行进过程中，其半径在不断地增大，连结OQ，把问题放到△OPQ中，利用正弦、余弦定理解三角形即可.图1-3-7解：如图1-3-7，设在t小时后台风中心在Q点，此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60（km）.若在此刻城市O受到台风的影响，则OQ≤10t+60.由余弦定理,知OQ2=PQ2+PO2-2PQ·POcos∠OPQ.由PO=300,PQ=20t,cos∠OPQ=co
7、s(θ-45°)=cosθcos45°+sinθsin45°=×+1-.∴OQ2=（20t)2+3002-2×20t×300×=202t2-9600t+3002.∴202t2-9600t+3002≤(10t+60)2.整理，得t2-36t+288≤0.解得12≤t≤24.∴12小时后该城市开始受到台风的侵袭，受影响达12小时.例3沿一条小路前进，从A到B，方位角是50°，距离是470m，从B到C，方位角是80°，距离是860m，从C到D，方位角是150°，距离是640m.试画出示
