2018版高中数学苏教版必修五学案：1.3　正弦定理、余弦定理的应用（二）

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1、2017-2018学年苏教版高中数学必修五学案学习目标　1.会运用测仰角(或俯角)解决一些有关底部不可到达的物体的高度测量问题.2.会用测方位角解决立体几何中求高度问题.3.进一步培养学习数学、应用数学的意识．知识点一　测量仰角(或俯角)求高度问题思考　如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，如果能测出点C，D间的距离m和由C点，D点观察A的仰角，怎样求建筑物的高度AB(已知测角仪器的高是h)?　　梳理　问题的本质用α、β、m表示AE的长，所得结果再加上h.知识点二　测量方向角求高度问题思考

2、　如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，怎样求此山的高度CD?72017-2018学年苏教版高中数学必修五学案　　梳理　问题本质是：如图，已知三棱锥D－ABC，DC⊥平面ABC，AB＝m，用α、β、m、γ表示DC的长．类型一　测量仰角(或俯角)求高度问题命题角度1　仰角问题例1　如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，求A

3、点离地面的高AB.引申探究如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的坡度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50m，山坡对于地平面的坡度为θ，求cosθ.　72017-2018学年苏教版高中数学必修五学案命题角度2　俯角问题例2　在200m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为________m.反思与感悟　利用正弦、余弦定理来解决实际问题时，要对所给的实际背景进行加工、提炼，抓住本质，抽象出数学模型，使之转

4、化为解三角形问题．跟踪训练1　江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.类型二　测量方位角求高度问题例3　如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.　　　　　　　　　　72017-2018学年苏教版高中数学必修五学案反思与感悟　此类问题特点：底部不可到

5、达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”．解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题．跟踪训练2　如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________m.1．一架飞机在海拔8000m的高空飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________m．(精确到0.1m)2．

6、甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________米．3．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，则建筑物的高度为________m.4．设A是△ABC中最小的内角，则sinA＋cosA的取值范围是________．1．在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较烦琐，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合

7、题目条件来选择最佳的计算方式．2．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．72017-2018学年苏教版高中数学必修五学案答案精析问题导学知识点一思考　解题思路是：在△ACD中，＝所以AC＝，在Rt△AEC中，AE＝ACsinα，AB＝AE＋h.所以AB＝＋h.知识点二思考　先在△ABC中，用正弦定理求BC＝，再在Rt△DBC中求DC＝BCtan8°.题型探究

8、例1　解　方法一　设AB＝xm，则BC＝xm．∴BD＝(10＋x)m.∴tan∠ADB＝＝＝.解得x＝5(＋1)m.∴A点离地面的高AB为5(＋1)m.方法二　∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°，∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.由正弦定理，得AC＝·sin∠ADC＝·sin30°＝.∴AB＝ACsin45°＝5(＋1)m.引申探究解　在△ABC中，由正弦定理＝，∴