基于灰色马尔柯夫模型的黄金价格预测

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基于灰色马尔柯夫模型的黄金价格预测秦笙，陈阳〔陕西师范大学国际商学院，西安710062〕摘要：黄金价格变化受多种因素的影响，表现出既有宏观趋势确实定性又有微观波动的随机性，而准确预测黄金价格一直是金融机构的重要研究任务之一。因此，根据灰色预测模型和马尔柯夫链的根本原理，考虑各自的特点，构造出预测黄金价格的灰色马尔柯夫模型。两种方法可以优势互补，使得预测结果更加合理可靠。实例计算分析说明，灰色马尔柯夫模型可以有效预测具有某种变化趋势而随机波动较大的黄金价格。关健词：灰色预测模型；马尔柯夫链；灰色马尔柯夫模型；黄金价格中图分类号：文献标识码：ABasedonGrayMarkovmodelstopredictthepriceofgoldQINSheng,CHENYang(InternationalBusinessSchool,ShaanxiNormalUniversity,Xi’an710062,China)Abstract:Thepriceofgoldisaffectedbymanyfactors,itshowedthecertaintyofmacroandtherandomofmicro,accuratelyforecastthepriceofgoldhasbeenoneoftheimportantresearchtaskinfinancialinstitutions.Therefore,accordingtothebasicprinciplesofGreyforecastingmodelandtheMarkovchain,consideringtheirowncharacteristics,constructedGreyMarkovmodeltopredictthepriceofgold.Twomethodscancomplementeachother,makingpredictionismorereasonableandreliable.CalculationandanalysisshowedthattheGreyMarkovmodelcaneffectivelypredictthepriceofgold.Keyword:Greyforecastingmodel;Markovchain;GreyMarkovmodel;Thepriceofgold1引言全球性金融危机的爆发，使得各个国家的资本市场大幅下跌，证券和期货市场的风险骤然增加，与此同时，黄金的避险和保值功能吸引了大批投资者转战黄金市场，黄金价格一路飙升。然而，黄金市场也存在着风险，黄金价格也会随着一些影响因素的变化而波动，对其进行深入的研究有利于我们更好地把握其规律，提高黄金投资的收益率。影响黄金价格的因素包括通货膨胀率、汇率、利率、股票价格指数等，黄金价格的形成是一个十分复杂的经济过程，是许多因素综合作用的结果。因此可以把黄金价格的形成过程看作是既含有信息，又含有未知信息的灰色动态系统，从黄金价格时间序列本身挖掘有用的信息，建立系统开展变化的GM(1，1)动态预测模型。鉴于黄金价格的时间数据序列常常呈现趋势性和较大的波动性,传统的GM(1，1)灰色预测模型对随机波动性较大的数据序列拟合效果较差，预测精度较低，而马尔柯夫链适合于随机波动性较大的预测问题，因此这两种方法的优点可以互补，前者用来揭示预测数据序列的开展变化总趋势，后者用来确定状态的转移规律，把两者有机结合起来，形成一个灰色马尔柯夫预测模型，可大大提高随机波动较大数据序列的预测精度。2灰色马尔柯夫模型的建立

12.1灰色预测模型GM(1,1)灰色系统理论认为，尽管由于各种因素对系统的影响，使表现系统的行为特征值的离散数据呈现出离乱，但系统总有整体功能，也就必然蕴含着某种内在规律。因此如何用科学的方法将原始数据加以整理而寻找其变化规律来认识系统的本来面目是值得研究的。灰色系统GM(1,1)预测模型的根本思路是把一个随时间变化的数据序列通过累加,生成新的数据列,根据灰微分方程的白化微分方程的解,复原后即得灰色GM(1,1)预测模型。设X(0)=｛x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)｝(1)为从某系统采集的一组时间序列，这些数据可能是杂乱无章无规律的，但经过下边的累加生成后，弱化了数据的随机性和波动性，增加了信息的白化度而呈现出一定的规律。将X(0)作一次累加得到累加生成模块:X(1)=｛x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)｝(2)其中x(1)(k)=k=1nx1(k)(k=1,2,…,n)(3)此生成序列X(1)就呈现出一定的规律性，其规律可通过求解一阶线性微分方程得到，即解dX(1)dt+aX(1)=u(4)其中a、u为未知待估计参数，记估计量为b=au(5)为解(1)，其拟合过程是将微分方程对离散时刻k=1,2,……,n差分化,得到近似线性方程组：x(0)(k+1)+a2[x(1)(k)+x(1)(k+1)]=u(k=1，2，……，n-1)(6)在方程个数大于未知参数个数而无解情况下，那么按最小二乘法求使minY-Bb2=min(Y-Bb)’(Y-Bb)的最小二乘解，得：b=(B'B)-1B'Y(7)其中：B=-12[x11+x12]1-12[x12+x13]1⋮⋮-12[x1n-1+x1n]1(8)Y=(x02,x03,…,x0(n))(9)于是得到方程〔1〕的解为：x1t=x01-uae-at+ua(10)写成离散形式那么为：

2x1k+1=[x01-ua]e-ak+ua(k=0,1,…,n)(11)由(2)、(3)看出，经过累加所得的生成系列X(1)呈现出指数函数的变化趋势，故可由这二式对X(1)预测模型作出预测。我们关注的原始数据序列X(0)的变化规律再由累减生成可得到，即有x0k+1=x1k+1-x1k=1-eax01-uae-ak=Ae-ak(k=1,2,…，n)(12)其中A=1-eax01-ua(13)记Y(k)=x0k+1(14)2.2马尔柯夫预测为构造状态转移概率矩阵,首先作状态的划分，即将数据序列分成假设干状态,记为⊗1,⊗2,…,⊗n〔状态转移时间为t1,t2,…,tn〕。这里⊗i的划分按与非平稳马氏过程Y(t)曲线的变化趋势相一致的准那么，即以Yt=x0(t+1)为基准曲线，作假设干条(由状态划分的数目可确定)平行于Y(t)的曲线而得到假设干条形区域，每一条形区域代表一个状态,即是⊗i所属的一个状态区域，如图1所示。由状态⊗i经过k步转移到达状态⊗j的次数记为Mij(k)，状态⊗i出现的次数记为Mi，那么由状态⊗i经k步转移到状态⊗j的转移概率为Pij=Mij(k)Mi(15)由k步转移概率元素构成的矩阵称为k步状态转移概率矩阵P(k)=P11(k)P12(k)⋯P1n(k)P21(k)P22(k)⋯P2n(k)⋮⋮⋱⋮Pn1(k)PnN2(k)⋯Pnn(k)(16)P(k)反映了系统各状态之间转移的规律，它是灰色马尔柯夫预测模型的根底。通过考察状态转移概率矩阵P(k)，可以预测系统的未来变化趋势。实际应用中，一般只需考察一步转移概率矩阵P(1)就行。设预测对象处于⊗k状态，那么考察矩阵P(1)中第k行，假设maxjPkj(1)=Pkl(1)，那么认为下一时刻系统最有可能由⊗k状态转向⊗l状态。假设P(1)中第k行出现两个以上概率相近或相同时，系统的未来状态转向难以确定，此时，需要考察二步P(2)或多步P(k)(k≥3)的转移概率矩阵。根据具体情况,将序列Y(t)划分成几个状态,那么任一状态⊗i(灰数)由灰元⊗1i、⊗2i可表示成

3⊗i=[⊗1i，⊗2i]⊗1i=Yt+Ai⊗2i=Yt+Bi〔Ai，Bi为适当常数，i=1,2,…，n〕系统各种状态转移的统计规律在状态转移概率矩阵P(k)中得到了反映。通过考察状态转移概率矩阵P(k)，可预测系统未来的开展变化。预测时需要先列出预测表，表的编制方法是:选取距离预测时刻最近的j个时刻，按照距离预测时刻由近到远的次序,转移步数分别定为1，2，…，j，在转移步数所对应的转移矩阵中，取起始状态对应的行向量，从而组成新的状态转移概率矩阵，对新的状态转移概率矩阵列向量求和，其和最大的列向量的状态即为系统预测时刻最有可能所处的状态。那么系统未来时刻最可能的预测值Y*(t)可取为灰区间[⊗1i，⊗2i]的中点处,即Y*t=12⊗1i+⊗2i=Yt+12(Ai+Bi)(17)3黄金价格的灰色马尔柯夫预测3.1GM(1,1)模型的建立2002—2021年历年黄金半年期均价统计数据如下表12002—2021历年黄金半年期均价年度2002.12002.22003.12003.22004.1均价年度2004.22005.12005.22006.12006.2均价0年度2007.12007.22021.12021.22021.1均价注：表中黄金价格为伦敦黄金市场下午收盘价格，计价单位为美元/盎司。。资料来源：以2002—2021年历年黄金半年期均价作为原始数据序列X(0)={301.59，318.47，349.46，377.69，400.74，417.58，427.20，462.46，590.88，617.99，658.76，734.57，911.36，832.05，915.11}，那么一次累加生成序列X(1)={301.59，620.06，969.52，1347.21，1747.95，2165.53，2592.73，3055.19，3646.07，4264.06，4922.82，5657.39，6568.75，7400.80，8315.91}，求得辨识参数为a=-0.087250，u=265.411909，进而得到灰色微分方程的离散解为：x1k+1=3568.198111e0.087250k-3266.608111〔k=0,1,2…n〕累计复原后得到原始数据的拟合值为x0k+1=298.130089e0.087250k〔k=0,1,2…n〕那么预测曲线yk=x0k+1=298.130089e0.087250k〔k=0,1,2…n〕

43.2状态的划分根据黄金历年半年期均价，划分成如下四个状态：⊗1:⊗11=Yk-0.2Y⊗21=Yk-0.1Y⊗2:⊗12=Yk-0.1Y⊗22=Yk⊗3:⊗13=Yk⊗23=Yk+0.1Y⊗1:⊗14=Yk+0.1Y⊗24=Yk+0.2Y式中Yk为k时刻GM(1,1)模型求得的黄金半年期均价预测值，Y为历年黄金半年期均价的平均值。表22002—2021黄金半年期均价及GM(1,1)预测模型拟合结果年份实际值预测值状态2002.1-2002.222003.122003.222004.122004.222005.112005.212006.122006.222007.122007.222021.142021.212021.113.3构造状态转移矩阵3.4计算预测值表3状态预测计算表年份转移步数初始状态状态12342021.111002021.22101002021.13400002007.2420合计--0

5由表3可以看出最近的4个年份中，由各年份所处初始状态经过不同步数的状态转移后，在2021年下半年到达各个状态的累积状态转移概率分别为1.167，1.708，0.125和0，其中到达状态2的累积状态转移概率最大，因此2021年下半年黄金均价最有可能处于状态2〔Yk-0.1Y，Yk〕。因此，最可能的预测值是Y15=12⊗12+⊗22=1075.824结论本研究用GM(1，1)模型预测曲线来反映系统宏观开展规律，获得黄金半年期均价开展的趋势和预测值，再利用随机过程理论的马尔柯夫链寻求系统的微观波动规律，对GM(1，1)的预测值进行修正，结果说明两种模型的结合可以充分利用历史数据给予的信息，对既具有趋势性又有一定波动性的黄金半年期均价进行模拟和预测。使用灰色马尔柯夫模型预测黄金价格计算简便，精度较高。使用灰色马尔柯夫模型需要注意的是，该模型是建立在历史数据的根底之上，需要较多的反映历史信息的数据，历史数据愈多，其预测精度愈高。另外，预测精度还与模型状态的划分数目等因素有关。参考文献：[1]GrahamSmith.ThePriceofGoldandStockPriceIndicesfortheUnitedStates[R].TheWorldGoldCouncil,2001[2]ColinLawrence.WhyisGoldDifferentfromotherAssets?AnEmpiricalInvestigation[J/OL].TheWorldGoldCouncil,2003[3]ForrestCapie,TerenceCMills,andGeoffreyWood.GoldasahedgeagainsttheUSdollar.TheWorldGoldCouncil,2004[4]GoldMarketKnowledge.WorldGoldCouncil,December2007[5]GoldDemandTrends.WorldGoldCouncil,August2021[6]GoldAsATacticalInflationHedgeandLong-termStrategicAsset.WorldGoldCouncil,July2021[7]ABriefIntroductionofLondonBullionMarketAssociation.伦敦黄金市场网站(LBMA):://lbma.org.uk[8]邓聚龙.灰色决策与预测[M].武汉:华中理工大学出版社,1986[9]邓聚龙.灰色系统理论教程[M].武汉:华中理工大学出版社,1990[10]蒋承仪.灰色马尔科夫预测模型[M].重庆:重庆建筑大学学报,1996[11]何勇,鲍一丹.灰色马尔柯夫预测模型及其应用[J].北京:系统工程理论与实践,1992[12]邓聚龙.灰理论根底[M].武汉:华中科技大学出版社,2002[13]陈海明,段进东.灰色-马尔柯夫模型在股票价格预测中的应用[J].山西:经济问题,2002[14]杨柳勇,史震涛.黄金价格的长期决定因素分析[J].北京:统计研究,2004[15]王泽文,张文,邱淑.灰色-马尔柯夫模型的改良及其参数计算方法[J].北京:数学的实践与认识,2021