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§3.2柯西积分定理一、柯西基本定理二、闭路变形原理三、复合闭路定理四、路径无关性五、原函数1
1证明Green公式C-R方程D一、柯西基本定理定理设函数f(z)在单连通域D内解析，G为D内的任意一条简单闭曲线，上述定理又称为柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理。则有GGP60定理3.22
2定理设单连域D的边界为C，函数f(z)在D内解析，则有CD在上连续，D一、柯西基本定理定理设函数f(z)在单连通域D内解析，G为D内的任意一条简单闭曲线，则有GGP60[注]3
3二、闭路变形原理将柯西积分定理推广到二连域定理设二连域D的边界为(如图)，函数在D内解析，在C上连续，或Dab证明如图，作线段ab，则二连域D变为单连域，由或则从而有P61定理3.44
4D在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，称此为闭路变形原理。二、闭路变形原理闭路变形原理如图，设在D内解析，在边界上连续，G为D内的一条“闭曲线”，则P625
5DrCG解如图以为圆心r为半径作圆，则函数在因此有当时，当时。上解析，重要其中，的一条闭曲线。计算例为包含为整数。6
6三、复合闭路定理将柯西积分定理推广到多连域函数在D内解析，或设多连域D的边界为(如图)，定理DC1C2C0C3Cn…在C上连续，则证明(略)P62推论7
7令解则奇点为(1)当C为时，C(1)(2)其中C为：例计算C3210P62例3.7修改8
8令解C1C2则奇点为(2)当C为时，令C1：C2：则C(1)(2)其中C为：例计算C32109
9的简单曲线，四、路径无关性定理设函数f(z)在单连通域D内解析，C1,C2为D内的任意两条从到证明由可见，解析函数在单连域内的积分只与起点和终点有关，则有P60定理3.3可记为因此，10
10计算例其中C为如图所示的一个半圆。xyCi2G解设G如图所示，处处解析，问是否可以直接计算？因此有即由于在复平面上P61例3.611
11五、原函数设在单连域D内，函数恒满足条件定义则称为在D内的一个原函数。1.基本概念及性质函数的任何两个原函数相差一个常数。性质设和是的两个原函数，则证明其中，c为任意常数。函数的原函数称为的不定积分，定义记作P64定义3.2补12
12D五、原函数2.由变上限积分构成的原函数定理若在单连域D内处处解析，则在D内解析，且令P63定理3.5证明(略)13
133.Newton-Leibniz公式定理若在单连域D内处处解析，为的原函数，P64定理3.6五、原函数则其中由于也是的一个原函数，证明有14
14例求解例求解例求解15
15解P65例3.9求例16
16§3.3柯西积分公式一、柯西积分公式二、平均值公式三、最大模原理17
17DC一、柯西积分公式Gd定理如果函数在区域D内解析，在边界C上连续，证明(思路)如图，以为圆心，d为半径作圆G，则左边右边|右边-左边|则P66定理3.718
18在边界C上连续，则一、柯西积分公式定理如果函数在区域D内解析，DdGC证明(思路)|右边-左边|即只要足够小，所证等式两边的差的模可以任意小，由于左边与右边均为常数，与无关，故等式成立。P66定理3.719
19在边界C上连续，则一、柯西积分公式定理如果函数在区域D内解析，DdGC意义将换成，积分变量换成，解析函数在其解析区域内的值完全由边界上的值确定。换句话说，解析函数可用其解析区域边界上的值以一种特定的积分形式表达出来。则上式变为P66定理3.720
20是多连域。一、柯西积分公式注意柯西积分公式中的区域D可以应用推出一些理论结果，从而进一步认识解析函数。比如对于二连域D,其边界为，DC1反过来计算积分则P67推论2重要21
21在上解析其中C为：例计算(1)(2)C1C2210(1)解(柯西积分公式)(2)(柯西积分定理)(函数在上解析)22
22C1C2令解则令C1：C2：其中C如图所示。例计算C201则(复合闭路定理)(柯西积分公式)23
23C203-3解试考虑积分路径为的情况。P67例3.10部分计算例24
24二、平均值公式如果函数在内解析，定理(平均值公式)在上连续，qxRyC证明由柯西积分公式有则有P67推论125
25D三、最大模原理如果函数在D内解析，且不为常数，定理(最大模原理)证明(略)则在D内没有最大值。理解如图，函数在解析区域dGdGdGD内任意一点的函数值是以该点为圆心的圆周上所有点的函数值的平均值，因此，不可能达到最大，除非为常数。P68定理3.826
26三、最大模原理在区域D内解析的函数，如果其模在D内达到最大值，推论1则此函数必恒为常数。若在有界区域D内解析，在D上连续，则推论2在D的边界上必能达到最大值。P70推论1P70推论227
27由最大模原理及其推论可知，证在上的最大值必在上取得，因此，当时，有即是r的单调上升函数。即P70例3.11设函数是在全平面解析，又证明例的单调上升函数。28
