浙江省杭州学军中学2022-2023学年高二上学期开学考试数学Word版含答案

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杭州学军中学2022学年高二第一学期数学考试数学试题一．选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A2.已知为虚数单位，复数的共轭复数为（）A.B.C.D.【答案】B3.已知直线与平面，则能使的充分条件是（）A.，B.，，C，D.，【答案】D4.已知圆台下底面半径是上底面半径的2倍，若从该圆台中挖掉一个圆锥，圆锥的底面是圆台的上底面，圆锥的顶点是圆台下底面的圆心，则圆锥的侧面积是圆台侧面积的（）A.B.C.D.【答案】B5.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A.B.C.D.【答案】A6.已知在某滨海城市A附近的海面出现台风活动，据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向，距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动．已知该台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为km．则城市A受台风影响的时间为（）

1A.5hB.hC.hD.4h【答案】B7.由，可得与最接近的数是（）A.B.C.D.【答案】B8.已知球的直径，，是该球球面上的两点，，，则棱锥的体积为（）A.B.C.D.【答案】C二．选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若，则下列不等式恒成立的有（）A.B.C.D.【答案】ACD10.已知且，函数与函数在同一个坐标系中的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】BC11.函数满足，且在上单调，若在上存在最大值和最小值，则实数可以是（）

2A.B.C.D.【答案】AD12.如图，已知边长为1的正方形是线段上的动点（包括端点），分别是上动点，且分别是中点，下列说法正确的是（）A.B.若，则的最小值为C.若，则的最小值为D.若，则的最大值为【答案】ABD三.填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.棣莫佛（Demoivre，是出生于法国的数学家．由于在数学上成就卓著，他被选为柏林科学院和巴黎科学院的外籍院士．棣莫佛定理为：，这里．若，则_________．【答案】214.一水平放置的平面图形按“斜二测画法”得到直观图为斜边等于的等腰直角三角形，则原平面图形的面积为______．【答案】15.如图，是等边三角形，是等腰三角形，交于，则__________.

3【答案】##16.已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有，则关于的不等式在区间上的解集为__________.【答案】四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知.（1）求的值;（2）若，且，求角.【答案】（1）（2）【小问1详解】解：因为，所以，解得；【小问2详解】解：因为，，则，解得，

4又，所以，又因，所以，则，所以.18.如图，在直三棱柱中，，点为中点，连接交于点，点为中点.（1）求证:平面；（2）求证:平面平面.【小问1详解】证明：在直三棱柱中，四边形为矩形，则点为的中点，因为点为中点，所以，又平面，平面，所以平面；

5【小问2详解】证明：在直三棱柱中，因，所以四边形为正方形，所以，由平面，平面，所以，又，则，又平面，所以平面，因为平面，所以，又因平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.19.在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解决该问题.问题：已知的内角及其对边，若，且满足___________.求的面积的最大值(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)【答案】条件选择见解析；最大值为.【详解】选择条件①：因为，所以，根据正弦定理可得，由余弦定理得：，

6又由，可得，根据余弦定理得，则，所以，所以当且仅当时，面积取得最大值，最大值为.选择条件②：因为，由余弦定理得，所以，，所以当且仅当时，面积取得最大值，最大值为.选择条件③：因为，由余弦定理得：，因为，可得，又由余弦定理得：，所以，，所以当且仅当时，面积取得最大值，最大值为.20.如图，在中，已知D，E分别是的中点，，与交于点O.

7（1）若，求的值；（2）若，求的长.【答案】（1）；（2）2.【详解】解：（1）在中，，由正弦定理可得，所以.设.因为D为中点，所以.又因为，所以.（2）因为D，E分别是的中点，且与交于点O，所以O为的重心，所以.又因为，.所以，所以因为，，所以.

8即，解得或（舍去），所以.21.如图1，在矩形中，已知，E为的中点.将沿向上翻折，进而得到多面体（如图2）.（1）求证：；（2）在翻折过程中，求二面角的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】解：（1）如图1，连接交于F.因为，且E为的中点，，在矩形中，因为，所以，所以，所以，所以，即.由题意可知平面，

9所以平面.因为平面，所以.（2）如图2，过作，垂足为H，过H作，垂足为G，连接.因为平面平面，所以.又因为平面，所以平面.因为平面，所以.又因为平面，所以平面.因为平面，所以.所以是二面角的平面角.在翻折过程中，设.在矩形中，由，E为的中点，得.在直角三角形中，，所以，因为，所以，所以，所以.在直角三角形中，.设，所以.所以，即.解得，当时，等号成立，故，因为，所以，

10所以二面角的最大值为.22.已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数的实根都是的实根；反之，方程的实根都是的实根．（Ⅰ）求d的值；（Ⅱ）若，求c的取值范围；（Ⅲ）若，，求c的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．试题解析：（Ⅰ）设r是方程的一个根，即，由题设得，于是，即，即；（Ⅱ）由题设及（Ⅰ）知，．由得b，c是不全为零的实数，且，则，方程就是①方程就是②（1）当时，方程①②的根都为，符合题意；（2）当时，方程①②的根都为，符合题意；（3）当时，方程①的根都为，，它们也都是方程②的根，但它们不是方程的实根，由题意，方程无实根，故，得．综上所述，c的取值范围是．（Ⅲ）由，，得，，③由可以推断出，知方程的根一定是方程的根．

11当时，符合题意；当时，，方程的根不是方程④的根，因此，根据题意，方程④应无实根，那么当，即时，，符合题意；当，即或时，方程④得，即⑤，则方程⑤应无实根，所以有且．当时，只需，解得：，矛盾，舍去；当时，，解得：，因此．综上所述，c的取值范围是．考点：一元二次方程根的判别式．