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《一个双曲线轨迹的典型例题的探究及其发展》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、2007年第10期中学数学研究一州卜习又曲线习‘迹的典型例题的探究及其发展浙江省宁波市北仑中学(315800)马洪炎新课程标准倡导积极主动、勇于探索的学同一问题积极寻求多种不同思路，让学生从求习方式，要求教师努力营造学生自主探索、动手异思维中进一步认识事物-实践、合作交流、阅读自学等多样的学习方式，方法一:易知直线(刃斜率存在，设为k,发挥学生学习的主动性，激发学生学习兴趣，养则直线CD方程:Y一1=k(二一1).设C(xt成独立思考、积极探索的习惯，高中数学课程应Yi),D(x2,Y2)Y一1=k(x一1),力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，
2、，由{2x2一Y2=2,让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们(2一k2)x2一2k(1一Ox+2k一k2一3=0，则r的创新意识.本文将通过对一个双曲线轨迹的!乙、>0哎典型例题的探究与推广，介绍自己在这方面所!胜x1+“一2k2-1.-k2k一2得:‘一2,做的一次尝试.[例〕若给定双曲线2x2一Y2=2，试问过但此时△二一8<0.点N(1,1)能否作一直线与双曲线交于C,D即直线Y二2x一1与双曲线2x2一少一2无交点.，，这样的直线不存在.两点，且使N是线段CD的中点?若不存在，说明理由;若存在，求出直线的方程.方法二:设C(二。,YO),’
3、.'N是CD的中一、解法探究点，.'.D点坐标是(2一二。,2-Yo)，则苏霍姆林斯基说:“在人的心灵深处，都有万2xo’一Yo2=2“’、。一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个(2(2一xo)‘一(2一Ya)`=2(2)发现者、研究者、探索者.”故教师要善于挖掘问(1)一(2)得:Yo=2xo一1.题的多向性和解决问题的多样化，激励学生对代入(1)得:2x护-4xo十3=0，此方程无』呛创匕创匕倒肠创t洲巨到匕创ej匕了万1解:设Q(xo,YO)，由誉+yoz=1，则时，点M(5,22).乙x2=9一9yo2,.IOIQI=}Ixo2+(Y。一4
4、)2七、利用图形几何性质化繁为简=}/9一9y2+y2一8yo+16例7已知尸点在圆护+(y-4)2=1上护移动，Q点在椭圆-9十少二1上移动，求{PQI一丫-8(y,+告)2+27>3J3,.'.IPQ}的最大的最大值.值为1+3招.分析:本题若能从图形几减少运算量的方法还有很多，并且不同的何性质出发，看到}尸QI的最大题目也会有不同的方法，只要在平时的练习中值，即}O,QI的最大值与圆的苏多加注意，不断总结，肯定能够以简驭繁，事半功倍，使解题达到较高的水平.半径之和，则可避免大量的运图4中学数学研究2007年第10期实数解，:，这样的直线不存在足题
5、意的直线呢?方法三:设C(xL,Yt),D(x2,Y2)，则当点为原点时，显然存在满足题意的直线，因此只考虑点为非原点的情形，借助图象可得(2x1一YI一2,两式相减得:2(x1+X2)(x:一L2x2‘一)2`=2,当点在如图1所示的区域I,I(不包括渐近线)时，满足题意的直线存在，而当点在区域mx2)一(YI+Y2)(YI-Y2)二。.由中点坐标公式(包括渐近线)时，满足题意的直线不存在.和k.长行瓮得:场一2▲直线CD方程:y=2x一1.评注:班中极大部分同学都是按上述三种方法完成的，但用方法三完成的学生都觉得自己是对的，但方法一和方法二的过程显
6、然没问平S$IFY[It9IIx题，因此只能是方法三的直线CD:y二2二一1图1图2是不满足题意的.引导学生进行思考后有学生指出把直线CD方程代入双曲线2x2一少=2到此我们利用数形结合的方法直观地得到得:2护-4x+3=0，但此方程无实数解.说明了一个结论，但又产生了两个问题:(1)区域工、直线口〕与双曲线无交点，由此知若采用方法n、1如何刻画?(2)能不能对上述结论加以证三还必须检验明?二、本质探究及发展我们都知道圆能把平面分成三部分:圆内荷兰著名学者弗赖登塔尔说:“学习数学的部分、圆周、圆外部分，类似的可知椭圆也能把唯一正确方法是实行‘再创造’，
7、也就是由学生平面分成三部分:椭圆内部分、椭圆上、椭圆外本人把要学的东西自己去发现或创造出来，教部.那么同为圆锥曲线的双曲线和抛物线把平师的任务是引导学生去进行这种创造工作，而面分成的几个部分能不能类似刻画呢?不是把现成的知识灌输给学生.”从图形直观看圆的内部包含了圆心，椭圆引导学生分析可得在【例」中，点N的位置内部实际上包含了椭圆的两个焦点，因此我们对答案起着重要的作用，因此若变换点N的位也可约定双曲线包含焦点的部分叫做双曲线的置，又会产生什么结果呢?内部，不含焦点的部分叫做双曲线的外部，这样变式1:点N(1,1)变为点NI(2,1)，其余区域工就是双
8、曲线的内部，区域I、I就是双曲条件不变，结论如何呢?线的外部，但由【例」的变式知当点在区城n和
