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《轨迹方程的求法与典型例题(含答案)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、.轨迹方程的求法一、知识复习轨迹方程的求法常见的有（1）直接法；（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5）交轨法；（6）相关点法注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点.一、知识复习例1：点P（－3，0）是圆x2+y2－6x－55=0内的定点，动圆M与已知圆相切，且过点P，求圆心M的轨迹方程。...例2、如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，
2、AR
3、=
4、PR
5、.又因为R是弦
6、AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，
7、AR
8、2=
9、AO
10、2－
11、OR
12、2=36－(x2+y2)又
13、AR
14、=
15、PR
16、=所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=,代入方程x2+y2－4x－10=0,得－10=0整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程....例3、如图,直线L1和L2相交于点M,L1^L2,点NÎL1.以A,B为端点的曲线段C上的任一点到L2
17、的距离与到点N的距离相等.若DAMN为锐角三角形,
18、AM
19、=,
20、AN
21、=3,且
22、BN
23、=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点。依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点。设曲线段C的方程为，其中xA,xB分别为A，B的横坐标，P=
24、MN
25、。由①，②两式联立解得。再将其代入①式并由p>0解得因为△AMN是锐角三角形，所以，故舍去∴p=4,xA=1...由点B在曲线段C上，得。综上得曲线段C的方程为解法二：如图
26、建立坐标系，分别以l1、l2为轴，M为坐标原点。作AE⊥l1,AD⊥l2，BF⊥l2垂足分别为E、D、F设A(xA,yA)、B(xB,yB)、N(xN,0)依题意有...例4、已知两点以及一条直线：y=x，设长为的线段AB在直线上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程．解：PA和QB的交点M（x，y）随A、B的移动而变化，故可设，则PA：QB：消去t，得当t=－2，或t=－1时，PA与QB的交点坐标也满足上式，所以点M的轨迹方程是...例5、设点A和B为抛物线y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB
27、，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.解法一：设M(x,y)，直线AB的方程为y=kx+b由OM⊥AB，得k=－由y2=4px及y=kx+b，消去y,得k2x2+(2kb－4p)x+b2=0所以x1x2=,y1y2=，由OA⊥OB，得y1y2=－x1x2所以=－,b=－4kp故y=kx+b=k(x－4p),得x2+y2－4px=0(x≠0)故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，...它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.①②③④⑤
28、解法二：设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y
29、)依题意，有①－②得(y1－y2)(y1+y2)=4p(x1－x2)若x1≠x2,则有⑥①×②,得y12·y22=16p2x1x2③代入上式有y1y2=－16p2⑦⑥代入④，得⑧⑥代入⑤，得所以即4px－y12=y(y1+y2)－y12－y1y2⑦、⑧代入上式，得x2+y2－4px=0(x≠0)当x1=x2时，AB⊥x轴，易得M(4p,0)仍满足方程.故点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点....轨迹方程(练习1)1．(08、山东文22)已知曲线：所围成的封闭
30、图形的面积为，曲线的内切圆半径为，记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．(1)求椭圆的标准方程；(2)设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线，是上异于椭圆中心的点．①若＝λ(为坐标原点)，当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；②若是与椭圆的交点，求的面积的最小值．...解：(1)由题意得椭圆方程：＝1．(2)若AB所在的斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y＝kx(k≠0)，A()．①由．设M(x，y)，由
31、MO
32、＝λ
33、OA
34、(λ≠0)
35、MO
36、2＝λ2
37、OA
38、2．因为L是AB的垂直平分线，所以直线L的方程为y＝k＝，代入上式
39、有：，由，当k＝0或不存时，上式仍然成立.，综上所述，M的轨迹方程为，（λ0）．②当k存在且k0时，
40、OA
41、2＝．...由．＝．≥．＝≥，当且仅当4＋5k2＝5＋4k2时，即k＝1时等号成立．当；当k不存在时，．综上所述，的面积的最小值为．...2．（07、江西
