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《轨迹方程的求法及典型例题(含答案)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、轨迹方程的求法一、知识复习轨迹方程的求法常见的有(1)直接法;(2)定义法;(3)待定系数法(4)参数法(5)交轨法;(6)相关点法注意:求轨迹方程时注意去杂点,找漏点.一、知识复习例1:点P(-3,0)是圆x2+y2-6x-55=0内的定点,动圆M与已知圆相切,且过点P,求圆心M的轨迹方程。19例2、如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A、B是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解:设AB的中点为R,坐标为(x,y),则在Rt△ABP中,
2、AR
3、=
4、PR
5、.又因为R是弦AB的中点,依垂径定理:在Rt△OA
6、R中,
7、AR
8、2=
9、AO
10、2-
11、OR
12、2=36-(x2+y2)又
13、AR
14、=
15、PR
16、=所以有(x-4)2+y2=36-(x2+y2),即x2+y2-4x-10=0因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,Q点即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y),R(x1,y1),因为R是PQ的中点,所以x1=,代入方程x2+y2-4x-10=0,得-10=0整理得:x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.19例3、如图,直线L1和L2相交于点M,L1^L2,点NÎL1.以A,B为端点的曲线段C上的任一点到L2的距离与到点N的距离相等.若DAMN为锐角三角形,
17、AM
18、=,
19、AN
20、
21、=3,且
22、BN
23、=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.解法一:如图建立坐标系,以l1为x轴,MN的垂直平分线为y轴,点O为坐标原点。依题意知:曲线段C是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段,其中A,B分别为C的端点。设曲线段C的方程为,其中xA,xB分别为A,B的横坐标,P=
24、MN
25、。由①,②两式联立解得。再将其代入①式并由p>0解得因为△AMN是锐角三角形,所以,故舍去∴p=4,xA=1由点B在曲线段C上,得。综上得曲线段C的方程为解法二:如图建立坐标系,分别以l1、l2为19轴,M为坐标原点。作AE⊥l1,AD⊥l2,BF⊥l2垂足分别为E、D、F
26、设A(xA,yA)、B(xB,yB)、N(xN,0)依题意有19例4、已知两点以及一条直线:y=x,设长为的线段AB在直线上移动,求直线PA和QB交点M的轨迹方程.解:PA和QB的交点M(x,y)随A、B的移动而变化,故可设,则PA:QB:消去t,得当t=-2,或t=-1时,PA与QB的交点坐标也满足上式,所以点M的轨迹方程是19例5、设点A和B为抛物线y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB,求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.解法一:设M(x,y),直线AB的方程为y=kx+b由OM⊥AB,得k=-由y2=4px及y=kx
27、+b,消去y,得k2x2+(2kb-4p)x+b2=0所以x1x2=,y1y2=,由OA⊥OB,得y1y2=-x1x2所以=-,b=-4kp故y=kx+b=k(x-4p),得x2+y2-4px=0(x≠0)故动点M的轨迹方程为x2+y2-4px=0(x≠0),它表示以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆,去掉坐标原点.19①②③④⑤
28、解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依题意,有①-②得(y1-y2)(y1+y2)=4p(x1-x2)若x1≠x2,则有⑥①×②,得y12·y22=16p2x1x2③代入上式有y1y2=-16p2⑦⑥代入④,
29、得⑧⑥代入⑤,得所以即4px-y12=y(y1+y2)-y12-y1y2⑦、⑧代入上式,得x2+y2-4px=0(x≠0)当x1=x2时,AB⊥x轴,易得M(4p,0)仍满足方程.故点M的轨迹方程为x2+y2-4px=0(x≠0)它表示以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆,去掉坐标原点.19轨迹方程(练习1)1.(08、山东文22)已知曲线:所围成的封闭图形的面积为,曲线的内切圆半径为,记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆.(1)求椭圆的标准方程;(2)设是过椭圆中心的任意弦,是线段的垂直平分线,是上异于椭圆中心的点.①若=λ(为坐标原点),当点在椭圆上运动
30、时,求点的轨迹方程;②若是与椭圆的交点,求的面积的最小值.19解:(1)由题意得椭圆方程:=1.(2)若AB所在的斜率存在且不为零,设AB所在直线方程为y=kx(k≠0),A().①由.设M(x,y),由
31、MO
32、=λ
33、OA
34、(λ≠0)
35、MO
36、2=λ2
37、OA
38、2.因为L是AB的垂直平分线,所以直线L的方程为y=k=,代入上式有:,由,当k=0或不存时,上式仍然成立.,综上所述,M的轨迹方程为,(λ0).②当k存在且k0时,
39、OA
40、2=.由.=.19≥.=≥,当且仅当4+5k2=5+4k2时,即k=1时等号成立.当;当k不存在时,.综上所述,的面积的最小值为.19
41、2.(07、江西理21)设动点到点和的