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时间:2018-03-09
《小题大做现本质——记一道高考陈题的探索历程》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、2014年第9期福建中学数学5z满足题意.2km-(km+Y+kn2m+2kmn+2no)()(yo)::—————.————————————————————————————————————————————————————同理可证双曲线也有同样的结论.m一n(2m、+22v,,=-兰=2k满足题意.推广2已知双曲线一=l(a>0,b>0),过e。,aD双曲线内点Q(m,0)任作一直线交双曲线于c,JD两(2)当直线CD的斜率存在时,点,点P为直线X=n上任意一点,,。,分别设直线CD:Y=k(x—m),为直线,,PD的斜率,若mgl=口,则k=由恒成立.得
2、kX一(2km+2p)x+k2m=0,对于抛物线是否是类似的结论呢?推广3已知抛物线Y:2px(p>0),过抛物线内f2k2m+2.点Q(m,o)任作一直线交抛物线于c,D两点,点P..{+—’代入①式,得到【.=2,为直线X=上任意一点,Ij}Pc,。,分别为直线PC,PQ,PD的斜率,若m+=0,则+=22)一(km+yo+)+(2+2nyo)恒成立.(呐:证明设点C(x。,Y1),点D(x,Y:),点P(n,Yo),·,=.kc+:+2②km2k2mn2pnk⋯.1一,l2一—一+一(Yl—Yo)(一”)+(Y2~Yo)(一1"1)由m+=0,(kZ
3、n—k2m—p)(一m)一(一)(2一)=k2~2kmFl—p(n—m1+k2n(l—km—yo)(X2一)+(kx2一km—yo)(Xl—n)=k2m~2kmn一2pn+k2,?,一(xl—n)(x2一1代入②:,满足题意.2kxIX2一(km+Yo+)(l+X2)+(2kmn+2nYo)—1\:/X2一n(xl+X2J+n‘参考文献(1)当直线CD的斜率不存在时,[1]暨新明.一道上海市松江区高考模拟卷中解析几何题的推广.福建中直线CD:X=m,则xl=m,x2=m,代入①学数学,2012(9):2-4小题大做现本质——记一道高考陈题的探索历程钱永武江
4、战明1浙江省长兴县华盛高级中学(313100)2浙江省德清县高级中学(313200)能力的提升与思维的发展,需要经历一次又一10):若函数f:{1,2,3}{1,2,3},满足fOC(x))=f(x),次的“刺激”和锻炼.同样,数学水平的提高,也离不则这样的函数个数共()开对经典题型的磨练,特别是一些优秀高考题,深A.1个B.4个C.8个D.10个入的探究,会让人豁然开朗并感叹于命题者的智慧从2006年至今,笔者看到此题作为典型例题,和数学的博大精深,而且这样的经历很有可能会使出现在“无数”教辅资料上,但解答千篇一律,基本都人终身难忘1是枚举所有可能的结果
5、,以致于笔者曾一度以为此1问题产生即为唯一方法.有这样一道高考陈题(2006年高考浙江卷·理现用图示法枚举主要结果如下:6福建中学数学2014年第9期可以自由选择其中之一对应,所以此类情况有c;c=6种;③若函数值域中有3个元素且使函数满足条件,那么3个原像只能分别对应与自己相等的∞㈢元素,即C3_1种,综上可得,满足条件的函数个数第一类第二类第三类有10个.满足_厂(_厂())=f(x)的函数,第一类显然有3种;3深入探究第二类,当只有1对1时,2、3对2和2、3对3都对于第二种解法,可能会有学生提出同样的问满足条件,即有2种,同理,当仅2对2和仅3对3
6、题,是否还有其他满足条件的函数呢?其实第二种时各有2种,所以第二类有6种;而第三类满足条解法的关键是满足,(())=f(x)条件的本质是函数件的显然只有1种,故满足条件的函数一共有10个,一定符合:若存在与自变量相等的函数值,则自变答案选D.量与函数值必需等值对应,否则不满足条件;若不从选择题角度来讲,上述解决方法是没有问题存在与自变量相等的函数值,则自变量可以在任意的(因为由选项可知答案最多l0个),但从解题角度函数值中对应.那么这样的结论是否严密呢?答案来说,此方法至少不够严密,因f:{1,2,3}{1,2,3}是肯定的,下面分两步给出证明.的函数一共
7、可构造出33=27个,是否会有满足条件的设原像集合A={1,2,3},函数值集合{1,2,其它函数呢?显然上述方法难以说明.而且即使是3}且B≠,(1)若函数满足厂(1厂(x))=f(x)且存在上述处理,仍有很多学生搞不清楚第二类的6种情Xo∈A又X0∈B,则必有f(xo)=Xo;(2)若X0∈A但况.因此对大部分学生(即便是高三学生)来说,本题X。B,则f(Xo)∈B即满足f(J。())=f(x。).是有难度的,而且就算教师讲解了上述过程,可能证明(1)反证法:假设/)≠Xo,不妨设f(Xo)学生依然只是知道结果,而不清楚是不是一定要这=X1∈B,而且必
8、存在X2∈A,X2≠Xo,使得f(x2)=样做以及还有没有其它满足
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