小题大做现本质——记一道高考陈题的探索历程

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1、2014年第9期福建中学数学5z满足题意．2km-(km+Y+kn2m+2kmn+2no)()(yo)：：—————．————————————————————————————————————————————————————同理可证双曲线也有同样的结论．m一n(2m、+22v，，=-兰=2k满足题意．推广2已知双曲线一=l(a>0，b>0)，过e。，aD双曲线内点Q(m，0)任作一直线交双曲线于c，JD两(2)当直线CD的斜率存在时，点，点P为直线X=n上任意一点，，。，分别设直线CD：Y=k(x—m)，为直线，，PD的斜率，若mgl=口，则k=由恒成立．得

2、kX一(2km+2p)x+k2m=0，对于抛物线是否是类似的结论呢?推广3已知抛物线Y：2px(p>0)，过抛物线内f2k2m+2．点Q(m，o)任作一直线交抛物线于c，D两点，点P．．{+—’代入①式，得到【．=2，为直线X=上任意一点，Ij}Pc，。，分别为直线PC，PQ，PD的斜率，若m+=0，则+=22)一(km+yo+)+(2+2nyo)恒成立．(呐：证明设点C(x。，Y1)，点D(x，Y：)，点P(n，Yo)，·，=．kc+：+2②km2k2mn2pnk⋯．1一，l2一—一+一(Yl—Yo)(一”)+(Y2～Yo)(一1"1)由m+=0，(kZ

3、n—k2m—p)(一m)一(一)(2一)=k2～2kmFl—p(n—m1+k2n(l—km—yo)(X2一)+(kx2一km—yo)(Xl—n)=k2m～2kmn一2pn+k2，?，一(xl—n)(x2一1代入②：，满足题意．2kxIX2一(km+Yo+)(l+X2)+(2kmn+2nYo)—1＼：／X2一n(xl+X2J+n‘参考文献(1)当直线CD的斜率不存在时，[1]暨新明．一道上海市松江区高考模拟卷中解析几何题的推广．福建中直线CD：X=m，则xl=m，x2=m，代入①学数学，2012(9)：2-4小题大做现本质——记一道高考陈题的探索历程钱永武江

4、战明1浙江省长兴县华盛高级中学(313100)2浙江省德清县高级中学(313200)能力的提升与思维的发展，需要经历一次又一10)：若函数f：{1，2，3}{1，2，3}，满足fOC(x))=f(x)，次的“刺激”和锻炼．同样，数学水平的提高，也离不则这样的函数个数共()开对经典题型的磨练，特别是一些优秀高考题，深A．1个B．4个C．8个D．10个入的探究，会让人豁然开朗并感叹于命题者的智慧从2006年至今，笔者看到此题作为典型例题，和数学的博大精深，而且这样的经历很有可能会使出现在“无数”教辅资料上，但解答千篇一律，基本都人终身难忘1是枚举所有可能的结果

5、，以致于笔者曾一度以为此1问题产生即为唯一方法．有这样一道高考陈题(2006年高考浙江卷·理现用图示法枚举主要结果如下：6福建中学数学2014年第9期可以自由选择其中之一对应，所以此类情况有c；c=6种；③若函数值域中有3个元素且使函数满足条件，那么3个原像只能分别对应与自己相等的∞㈢元素，即C3_1种，综上可得，满足条件的函数个数第一类第二类第三类有10个．满足_厂(_厂())=f(x)的函数，第一类显然有3种；3深入探究第二类，当只有1对1时，2、3对2和2、3对3都对于第二种解法，可能会有学生提出同样的问满足条件，即有2种，同理，当仅2对2和仅3对3

6、题，是否还有其他满足条件的函数呢?其实第二种时各有2种，所以第二类有6种；而第三类满足条解法的关键是满足，(())=f(x)条件的本质是函数件的显然只有1种，故满足条件的函数一共有10个，一定符合：若存在与自变量相等的函数值，则自变答案选D．量与函数值必需等值对应，否则不满足条件；若不从选择题角度来讲，上述解决方法是没有问题存在与自变量相等的函数值，则自变量可以在任意的(因为由选项可知答案最多l0个)，但从解题角度函数值中对应．那么这样的结论是否严密呢?答案来说，此方法至少不够严密，因f：{1，2，3}{1，2，3}是肯定的，下面分两步给出证明．的函数一共

7、可构造出33=27个，是否会有满足条件的设原像集合A={1，2，3}，函数值集合{1，2，其它函数呢?显然上述方法难以说明．而且即使是3}且B≠，(1)若函数满足厂(1厂(x))=f(x)且存在上述处理，仍有很多学生搞不清楚第二类的6种情Xo∈A又X0∈B，则必有f(xo)=Xo；(2)若X0∈A但况．因此对大部分学生(即便是高三学生)来说，本题X。B，则f(Xo)∈B即满足f(J。())=f(x。)．是有难度的，而且就算教师讲解了上述过程，可能证明(1)反证法：假设／)≠Xo，不妨设f(Xo)学生依然只是知道结果，而不清楚是不是一定要这=X1∈B，而且必

8、存在X2∈A，X2≠Xo，使得f(x2)=样做以及还有没有其它满足