9 一道“教师基本功大赛试题”的探索历程

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1、解题22璺节事⋯_?_一__j一尽每方港。0：j22一⋯一⋯一⋯～⋯⋯一⋯--一一一⋯一⋯⋯⋯⋯～’一。⋯。‘1{萼≯2o09年第4期l上旬I⋯⋯磷蒸赫黎试题的汪贵平(云南省兰坪县第一中学)个平行四边形，交椭圆于点C，即得到第2个满足条1问题的提出件的椭圆内接四边形(图1)．2008年第6期《中学数学教学参考》(上半月)刊第3个会是什么样的一个四边形呢?笔者绞尽登的高中数学教师解题基本功技能大赛试题中有这脑汁，仍找不出一个符合条件的．难道只有以上两个22吗?或是还有其他的呢?拿不定主意了，于是笔者决样一道题n：已知椭圆+一1(n>6>o)，面积为定以此作为问题来探究．2ab的椭

2、圆内接四边形有()．2．2第二次探究A．1个B．2个C．3个D．无数个有没有第3个呢?按试题设计，笔者先取椭圆方2拿不定主意：符合条件的椭圆内接四边形程’为+z===1，然后在其上取两个点A(√-76，百1)和、厶有几个?B(x，)满足s△AoB一，求点B的坐标．2．1第一次试探找到第1个、第2个容易，找到第3个、第4个直结果算得B(±譬，±)．考V到无数个则很难．第1个是以椭圆的四个顶V虑点B在椭圆上哪些位置才满足．点围成的四边形；第2个是过点呢图2，以A(，)、召A(，磊2)分别作轴和一＼LJ．—图2DB1(一譬，譬)、A(一譬，一丢)、轴的平行线，交椭圆于点B和点D，以A

3、B和AD为邻边画一图1(上接第21页)简捷的证明．D、G四点的曲线系(含直线CH、GD)的方程为口对于四边形CGDH和它的对角线CD、GH，根据+6z+c。+P+，+(y—klz)(一是2z)一0，该曲射影几何中的笛沙格对合定理(任意一条直线(不是线系与直线AB，即与轴的交点P、Q的横坐标满足切线)与一条二次曲线及其内接四边形的对边相交所方程(口+。足)。+，一0．故由根与系数的关系可知得各点在同一对合中)，得z+zQ=0，即IOPl—IoQI．显然，这是一个更具一般性的证明，它有更广泛一篙，所以lAQl·lAP]=IBQ[·IBPI，的适用范围．过C、D、G、H的任意一条二次

4、曲线n即IBPl一IAPl一1BPI+IAPI’因此得。寸IAPI+6+c+e+厂+(一是1)(一是2)一0在直线AB上截得的线段PQ被O平分．特别地，直线一IBQ1．又0是AB的中点，所以lOPl—loQI．CH、GD可看作是一条退化的二次曲线，所以，直线参考文献CH、GD若与AB分别交于P、Q两点，则有IOP1I[英国]A．科克肖特，F．B．沃尔特斯．圆锥曲线的几何性质=j0Q1．若直线CG、HD与AB分别交于E、F两点，[M]．上海：上海教育出版社，20022冯克勤．射影几何趣谈[M]．上海：上海教育出版社，1987则亦有loEI—l0FI．3单鳟．解析几何技巧[M]．合

5、肥：中国科学技术大学出版证明2：若利用射影几何的知识，则有如下更为社．2001_萋一，一一一一-”零布漳，一_一。。_。一一一，妻23·‘B2(，一譬)围成的椭圆内接四边形A1B2的面积．(一事)_62(一)=6-yoz，·一为2，满足条件．．．±、／／一±鲁。．如图3，以A(，丢)、B。(一2，一)、(ii)若z。一。一一n6，则一．A(一，一号)、B(，)围同理得詈。，一±。．成的椭圆内接四边形AB。AB～从而得B(±詈。，±詈。)．以A(，3b)、的面积不为2，不满足条件．B。这样找到了第3个．还可以B(一。，。)、cc一，一弘，、D(。，一b。)为端找到第4个吗?重新取

6、点图3点的椭圆内接四边形ABCD的面积为2ab，符合条件；以A(，)，依此寻找，结果找A(z。，)、B(一byo,b。)、(一，一)、到了第4个．照这样找下去，可以找到无数个．2．3第三次试探D，(詈。，詈。)为端点的椭圆内接四边形A，B，CD的面将以上椭圆的特殊方程换成一般方程，也可以找积不为2ab，不符合条件．到无数个吗?还是拿不定主意，于是再用一般方法照此推理，点A的坐标换了，相应地，点B的坐寻找．标也就变了，紧跟着椭圆内接四边形ABCD也在变，已知椭圆方程为+一1(口>6>o)，其上有两因此，满足题意的椭圆内接四边形有无数个．如此费力的方法似乎让人觉得心里不踏实．个点A

7、(x。，j，o)和点B(z，)满足S△枷：==÷n6，求点3拿定丰意：有无数个B的坐标．解：设直线OB的方程为y=kx(k=fi=O)，则点A到3．1第四次试探以上四边形ABCD为什么满足条件?而四边形戡()B腿剐一'_0BI一I．~／1+惫ABCD为什么不满足条件呢?原因是AC和BD是椭圆的两条共轭直径，而Ac和BD不是椭圆的‘．．s△枷===1loB}×d={走。一3，。1·{zl两条共轭直径．说到椭圆的共轭直径，它的定义是什么呢?2x。lI若AB和CD是椭圆的两条直径，AB平分平行于C