从一道拓广探索题说起

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1、“习题解读”栏目范文1从一道探索题说起人教版数学教科书七年级下册第91页拓广探索题中的第9题是这样的：如图1，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝100°，求x的值.图1分析：要求x的值，根据三角形的内角和为180°可知，需要求出∠2＋∠4的度数，由条件可知∠1＝∠2，∠3＝∠4，于是想到只要求出∠ABC＋∠ACB即可，这时就要考虑△ABC了.而条件中已知∠A＝100°，则∠ABC＋∠ACB可求，问题得以解决.解：在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°.又因为∠A＝100°，所以∠ABC＋∠ACB＝80°.由

2、条件知∠1＝∠2，∠3＝∠4，所以∠2＋∠4＝40°，从而x＝180°-40=140°.解决了这道题以后，我们不妨作进一步的思考：这个问题实质上就是已知了三角形中一个角的度数，要求其余两个角的平分线相交形成的角的度数.可以想到，已知的角与要求的角之间必然存在着某种联系.如果我们将其一般化，就得到下面这个问题：已知：如图2，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角的平分线相交于G.试探求∠BGC与∠A的关系.图2实质上，由上面那道题的解题过程可知，∠BGC＝180°－（∠2＋∠4）＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝1

3、80°－（180°－∠A）＝90°＋∠A，即∠BGC＝90°＋5/5∠A.其实，这也就是教科书第91页拓广探索题中的第10题：已知△ABC的∠B和∠C的平分线BE、CF交于点G，求证：（1）∠BGC＝180°－（∠ABC＋∠ACB）；（2）∠BGC＝90°＋∠A.因此，由第9题的解答到第10题的探索就是由特殊情况探索一般性的结论.这个结论很重要，我们可以将这个图形作为一个基本图形，它常常隐含在一些复杂的图形中，成为我们解决复杂几何题的有力工具.例1如图3，如果△ABC的三条角平分线交于点G，根据上述探究，你能得到

4、什么结论？图3解析：根据我们对教科书第91页拓广探索题中的第10题结论（2）的探索不难得到∠BGC＝90°＋∠BAC，∠AGB＝90°＋∠ACB，∠AGC＝90°＋∠ABC例2如图4，在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴、y轴上移动，BE是∠ABO的平分线，AF是∠BAO的平分线，M是BE与AF的交点.在移动过程中，∠AMB的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果发生变化，请求出变化范围.MBFAEYXO图45/5解析：仔细观察不难发现，图形中包含了我们前面所探索的基本图形，根据图2的结论可知，∠A

5、MB的大小不变，且∠AMB＝90°＋∠AOB＝90°＋×90°＝135°.例3（1）如图5，在△ABC中，∠A＝80°，∠B和∠C的平分线交于点A1，则∠A1＝.（2）如图6，在（1）的基础上，继续作∠ABA1和∠ACA1的平分线交于点A2，则∠A2＝.图5图6解析：（1）可以直接利用图2的结论，得∠A1＝90°＋×80°＝130°.（2）中不妨设∠ABA2＝x，∠ACA2＝y，则∠A1BA2＝x，∠A1BC＝2x，∠A1CA2＝y，∠A1CB＝2y.在△A2BC中，有∠A2＝180°－（∠A2BC＋∠A2CB）

6、＝180°－（x＋2x＋y＋2y）＝180°－3（x＋y）.而在△ABC中，有∠A＋4（x＋y）＝180°且，∠A＝80°，所以x＋y＝25°.从而可得∠A2＝180°－3（x＋y）＝180°－3×25°＝105°.变式4：在变式3中若继续这样下去，可以得到∠A3，∠A4，…∠An，猜想∠An＝分析：仿照变式3中②的方法，可得∠An＝80°＋×100°变式5：在变式4的基础上，将条件中的“∠A＝80°”去掉，其余不变，你能找出∠An与∠A的关系吗？5/5分析：仿照上述探究的方法，可得∠An＝×180°＋×∠A变式

7、1：如图7，如果将图1中的两条内角平分线改成一条内角平分线和一条外角平分线，即△ABC中的∠B的平分线和∠C的外角平分线BE、CF交于点G，此时，∠BGC与∠A又具有怎样的关系？图7我们可以仿照例3，利用方程思想来探索,不妨设∠A=2x,∠ACD=2y.运用外角的性质，有y＝x＋∠BGC,2y＝2x＋∠A.从而可以得到∠BGC＝∠A.例4如图8，在△ABC中，∠A＝，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2……∠A2008BC的平分线与∠A2

8、008CD的平分线交于点A2009，得∠A2009，则∠A2009＝____．AA1A2BCD图8解析：因为∠A1是△ABC的内、外角平分线的夹角，所以∠A1＝∠A＝；因为∠A2是△A1BC的内、外角平分线的夹角，所以∠A2＝∠A1＝；……5/5按此规律容易归纳得到∠A2009＝．变式3：若将图1中的两条内角平分线改成两条外角平分线，即△ABC的∠B和∠C的外角平分线BE