（同济大学）结构动力学教程 第六章 结构动力学中常用的数值方法

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1、第六章结构动力学中常用的数值方法6.1结构动力反应的数值解法（step-by-step法）[M]{x}+[C]{x}+[K]{x}={Q}一般结构动力学方程：{x}={x};{x}={x}{x}≈{x}+∆t{x}+1∆t2{x}初始条件：t00t00t+∆tttt212{x}≈{x}−∆t{x}+∆t{x}6.6.1中心差分法t−∆tttt2位移对时间导数的差分表示：1{x}=({x}−{x})tt+∆tt−∆t2∆t1[M]{x}t+[C]{x}t+[K]{x}t={Q}t{x}t=2({x}t+∆t−2{x}t+{x}t

2、−∆t)(∆t)11211[M]+[C]{x}={Q}−[K]−[M]{x}−[M]−[C]{x}代入得近似式：(∆t)22∆tt+∆tt(∆t)2t(∆t)22∆tt−∆t11a=,a=,a=2a引入记号：02120(∆t)2∆t[M]=a[M]+a[C]简化上式为01{Q}={Q}−([K]−a[M]){x}−(a[M]−a[C]){x}tt2t01t−∆t1{x}=({x}−{x})[M]{x}={Q}tt+∆tt−∆tt+∆tt2∆t1[M]=a0[M]+a1[C]{x}t=2({x}t+∆t−2{

3、x}t+{x}t−∆t)式中，(∆t){Q}={Q}−([K]−a[M]){x}−(a[M]−a[C]){x}tt2t01t−∆t根据t−∆t及t时刻的向量{x}的值→t+∆t时刻{x}的方程求解[M]{x}t+∆t={Q}t→t+∆t时刻的向量{x}→t时刻的向量{x}，{x}{x}t−∆t1{x}−∆t的计算：根据初始条件{x0}，{x0}→{x}0=({x}∆t−{x}−∆t)2∆t111及→{x}0=2({x}∆t−2{x}0+{x}−∆t){x}−∆t={x}0−{x}0+{x}0(∆t)2a2a10其中，{x}0可根据[M]

4、{x}0={Q}0−[C]{x}0−[K]{x}0算得。Tn∆t≤∆t=稳定条件：时间步长crπ（T为体系最小自振周期）n计算步骤：1，初始值计算：（1）矩阵[M],[C],[K]{x},{x},{Q}∆t（2）初始值000，确定时间步长11a=,a=,a=2a（3）计算02120(∆t)2∆t11{x}={x}−{x}+{x}（4）计算−∆t000[M]{x}={Q}−[C]{x}−[K]{x}2a2a000010（5）计算[M]=a0[M]+a1[C]2，对每一时间步（1）计算：{Q}t={Q}t−([K]−a2[M]){x}t−(a0

5、[M]−a1[C]){x}t−∆t[M]{x}={Q}（2）求解位移向量：t+∆tt（3）求解速度、加速度向量{x}=a({x}−{x})t1t+∆tt−∆t{x}=a({x}−2{x}+{x})t0t+∆ttt−∆t6.6.2Newmark法设t→t+∆t时间间隔内加速度呈线性变化，取常数：{x}={x}+γ({x}−{x})(0≤γ≤1)tt+∆ttxt+∆txxt若取γ=1/2→{x}=1/2({x}t+∆t−{x}（平均加速度）t)tt+∆t~取速度{x}t+∆t的一阶泰勒展开：{x}t+∆t={x}

6、t+{x}∆t~将{x}={x}t+γ({x}t+∆t−{x}t)代入→{x}={x}+(1−γ){x}∆t+γ{x}∆tt+∆tttt+∆t用同样方法处理位移1~2泰勒展开：{x}t+∆t={x}t+{x}t∆t+{x}∆t2类似地设t→t+∆t时间间隔内：{x}={x}t+2δ({x}t+∆t−{x}t)(0≤δ≤0.5)22{x}={x}+{x}∆t+(0.5−δ){x}∆t+δ{x}∆tt+∆ttttt+∆tt+∆t[M]{x}+[C]{x}+[K]{x}={Q}根据时刻的运动方程：

7、t+∆tt+∆tt+∆tt+∆t及{x}t+∆t={x}t+(1−γ){x}t∆t+γ{x}t+∆t∆t22{x}={x}+{x}∆t+(0.5−δ){x}∆t+δ{x}∆tt+∆ttttt+∆t{x}，{x}，{x}{x}t+∆t，{x}t+∆t，{x}t+∆t三组方程联立，可根据ttt算得22（1）由{x}t+∆t={x}t+{x}t∆t+(0.5−δ){x}t∆t+δ{x}t+∆t∆t→{x}t+∆t用{x}t+∆t表示：111{x}=({x}−{x})−{x}∆t−(−1){x}t+∆t2t+∆

8、ttttδ∆tδ∆t2δ{x}={x