结构动力学中地常用数值方法

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1、实用标准文案第五章结构动力学中的常用数值方法5．1．结构动力响应的数值算法当c为比例阻尼、线性问题模态叠加最常用。但当C无法解耦，有非线性存在，有冲击作用（激起高阶模态，此时模态叠加法中的高阶模态不可以忽略）。此时就要借助数值积分方法，在结构动力学问题中，有一类方法称为直接积分方法最为常用。所识直接是为模态叠加法相对照来说，模态叠加法在求解之前，需要对原方程进行解耦处理，而本节的方法不用作解耦的处理，直接求解。（由以力学，工程中的力学问题为主要研究对象的学者发展出来的）中心差分法的解题步骤1.初始值计算（1）

2、形成刚度矩阵K，质量矩阵M和阻尼矩阵C。（2）定初始值，，。（3）选择时间步长，使它满足，并计算，，（4）计算（5）形成等效质量阵（6）对阵进行三角分解2．对每一时间步长（1）计算时刻t的等效载荷（2）求解时刻的位移（3）如需要计算时刻t的速度和加速度值，则精彩文档实用标准文案若系统的质量矩阵和阻尼矩阵为对角阵时，则计算可进一步简化。纽马克法的解题步骤1.初始值计算（1）形成系统刚度矩阵K，质量矩阵M和阻尼矩阵C（2）定初始值，，。（3）选择时间步长，参数、。并计算积分常数，，，，，，（4）形成等效刚度矩阵（

3、5）矩阵进行三角分解1.对第一时间步长（1）计算时刻的等效载荷（2）求解时刻的位移（3）计算时刻的加速度和速度威尔逊-法的解题步骤1.初始值计算（1）形成系统刚度矩阵K，质量矩阵M和阻尼矩阵C（2）定初始值，，。（3）选择时间步长，并计算积分常数精彩文档实用标准文案，，，，，，（4）形成等效刚度（5）将等效刚度进行三角分解2.对每一个时间步长（1）计算时刻的等效载荷（2）求解时刻的位移（3）计算在时刻的加速度、速度和位移5．2结构动力响应数值算法性能分析对公式（5.1）描述的线性系统结构动力学问题，已经有证明

4、对整个多自由度的积分，等价于将模态分解后对单自由度的积分的结果进行模态叠加，因此可以通过对单自由度问题的分析，来说明算法的特性，其中阻尼均假设为比例阻尼，这样，模态分解后的单自由度结构动力学方程为：（5-29）以下算法的性能分析，均将算法用于这个方程。5．2．1算法用于结构动力学方程的有限差分表示将数值计算方法应用于（5-29）,即分别在相邻的不同时刻应用算法可得如下一般形式（5-30）精彩文档实用标准文案A为放大矩阵或称逼近算子，为载荷逼近算子。例如将Newmak方法应用于方程（5-29）有：（5-33），

5、矩阵A的特征多项式为（5-34）其中A1，A为该矩阵的两个特征向量，分别为矩阵的迹的一半和矩阵的行列式（5-35）（5-36）（5-37）对Newmak方法有：,（5-38）其中h为时间步长，。Newmak方法放大矩阵的规模是二维的，因此特征值也只有两个，可以根据它们进行分析。有的算法放大矩阵是三维的，例如Wilson-方法,在无阻尼情况下放大矩阵为：（5-39）放大矩阵A的特征多项式为：（5－40）其中A1，A2，A3为该矩阵的三个特征向量，分别为矩阵的迹的一半、各阶主子式的和以及矩阵的行列式，对Wilso

6、n-方法有精彩文档实用标准文案（5-41）此外，在几个不同时刻应用数值算法，然后将方程中的速度和加速度项消去，可得数值算法关于位移的差分方程，例如Newmak方法，有（5-42）很显然，其特征方程与其放大矩阵A的特征方程是相同的，使用关于位移的线性多步方式和放大矩阵来说明算法性能是一样的，只不过各有方便之处。5．2．2算法的稳定性分析设为放大矩阵A的特征值，则定义为A的谱半径，若特征值互异，则的算法是稳定的，但若有重特征根，则要求。如果算法的稳定性要求对步长的选取有限制，称算法是有条件稳定的，反之为无条件稳定

7、的。放大矩阵的谱半径小于等于1成立的充分条件是（5-43）对的放大矩阵（5-44）上两式是关于算法自由参数的不等式，由它可以判断算法是否无条件稳定，若不是，将给出稳定条件。例5－1分析Newmak方法、Wilson-方法的稳定性解：将（5-38）代入（5-43）有精彩文档实用标准文案显然，当（5-45）算法无条件稳定。当且（5-46）算法稳定，但为条件稳定，其中为临界采样频率。由于（5-43）式仅仅是充分条件，所以可进一步按照稳定性的定义得到5.1.2节叙述的无条件稳定条件。对Wilson-方法，将（5-41

8、）代入（5-44）得（5-47）容易看出，其中第一，二，五不等式恒成立，对第三，四不等式若希望对任意的均成立，则有：求解上述不等式得（5-48）实际使用中通常选取=1.45.2.3算法的相容性和收敛性直接积分算法的相容性、收敛性分析同样要使用其位移型的差分方程，或对应的单步多值形式。在算法（5-30）式中，用精确解代替近似解，即可得到局部截断误差表达式，用符号表示（5-49）局部截断误差表达式用放大