结构动力学中的常用数值方法.doc

《结构动力学中的常用数值方法.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第五章结构动力学中的常用数值方法5．1．结构动力响应的数值算法当c为比例阻尼、线性问题模态叠加最常用。但当C无法解耦，有非线性存在，有冲击作用（激起高阶模态，此时模态叠加法中的高阶模态不可以忽略）。此时就要借助数值积分方法，在结构动力学问题中，有一类方法称为直接积分方法最为常用。所识直接是为模态叠加法相对照来说，模态叠加法在求解之前，需要对原方程进行解耦处理，而本节的方法不用作解耦的处理，直接求解。（由以力学，工程中的力学问题为主要研究对象的学者发展出来的）中心差分法的解题步骤1.初始值计算（1）形成刚度矩阵

2、K，质量矩阵M和阻尼矩阵C。（2）定初始值，，。（3）选择时间步长，使它满足，并计算，，（4）计算（5）形成等效质量阵（6）对阵进行三角分解2．对每一时间步长（1）计算时刻t的等效载荷（2）求解时刻的位移（3）如需要计算时刻t的速度和加速度值，则若系统的质量矩阵和阻尼矩阵为对角阵时，则计算可进一步简化。纽马克法的解题步骤1.初始值计算（1）形成系统刚度矩阵K，质量矩阵M和阻尼矩阵C（2）定初始值，，。（3）选择时间步长，参数、。并计算积分常数，，，，，，（4）形成等效刚度矩阵（5）矩阵进行三角分解1.对第一时

3、间步长（1）计算时刻的等效载荷（2）求解时刻的位移（3）计算时刻的加速度和速度威尔逊-法的解题步骤1.初始值计算（1）形成系统刚度矩阵K，质量矩阵M和阻尼矩阵C（2）定初始值，，。（3）选择时间步长，并计算积分常数，，，，，，（4）形成等效刚度（5）将等效刚度进行三角分解2.对每一个时间步长（1）计算时刻的等效载荷（2）求解时刻的位移（3）计算在时刻的加速度、速度和位移5．2结构动力响应数值算法性能分析对公式（5.1）描述的线性系统结构动力学问题，已经有证明对整个多自由度的积分，等价于将模态分解后对单自由度的

4、积分的结果进行模态叠加，因此可以通过对单自由度问题的分析，来说明算法的特性，其中阻尼均假设为比例阻尼，这样，模态分解后的单自由度结构动力学方程为：（5-29）以下算法的性能分析，均将算法用于这个方程。5．2．1算法用于结构动力学方程的有限差分表示将数值计算方法应用于（5-29）,即分别在相邻的不同时刻应用算法可得如下一般形式（5-30）A为放大矩阵或称逼近算子，为载荷逼近算子。例如将Newmak方法应用于方程（5-29）有：（5-33），矩阵A的特征多项式为（5-34）其中A1，A为该矩阵的两个特征向量，分别

5、为矩阵的迹的一半和矩阵的行列式（5-35）（5-36）（5-37）对Newmak方法有：,（5-38）其中h为时间步长，。Newmak方法放大矩阵的规模是二维的，因此特征值也只有两个，可以根据它们进行分析。有的算法放大矩阵是三维的，例如Wilson-方法,在无阻尼情况下放大矩阵为：（5-39）放大矩阵A的特征多项式为：（5－40）其中A1，A2，A3为该矩阵的三个特征向量，分别为矩阵的迹的一半、各阶主子式的和以及矩阵的行列式，对Wilson-方法有（5-41）此外，在几个不同时刻应用数值算法，然后将方程中的速

6、度和加速度项消去，可得数值算法关于位移的差分方程，例如Newmak方法，有（5-42）很显然，其特征方程与其放大矩阵A的特征方程是相同的，使用关于位移的线性多步方式和放大矩阵来说明算法性能是一样的，只不过各有方便之处。5．2．2算法的稳定性分析设为放大矩阵A的特征值，则定义为A的谱半径，若特征值互异，则的算法是稳定的，但若有重特征根，则要求。如果算法的稳定性要求对步长的选取有限制，称算法是有条件稳定的，反之为无条件稳定的。放大矩阵的谱半径小于等于1成立的充分条件是（5-43）对的放大矩阵（5-44）上两式是关

7、于算法自由参数的不等式，由它可以判断算法是否无条件稳定，若不是，将给出稳定条件。例5－1分析Newmak方法、Wilson-方法的稳定性解：将（5-38）代入（5-43）有显然，当（5-45）算法无条件稳定。当且（5-46）算法稳定，但为条件稳定，其中为临界采样频率。由于（5-43）式仅仅是充分条件，所以可进一步按照稳定性的定义得到5.1.2节叙述的无条件稳定条件。对Wilson-方法，将（5-41）代入（5-44）得（5-47）容易看出，其中第一，二，五不等式恒成立，对第三，四不等式若希望对任意的均成立，则

8、有：求解上述不等式得（5-48）实际使用中通常选取=1.45.2.3算法的相容性和收敛性直接积分算法的相容性、收敛性分析同样要使用其位移型的差分方程，或对应的单步多值形式。在算法（5-30）式中，用精确解代替近似解，即可得到局部截断误差表达式，用符号表示（5-49）局部截断误差表达式用放大矩阵的特征量以最常用的线性三步法为例可表示为（5-50）其中分别为对应的的放大矩阵的三个特征向量，然后将在点进行