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《粘弹性结构动力学分析的一种数值方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、粘弹性结构动力学分析中的一种数值方法彭凡傅衣铭（湖南大学工程力学系，长沙410082,中国）摘要：针对材料具积分型本构关系，及松弛模量为Prony级数形式的粘弹性结构动力学问题，本文结合Newmark方法与Taylor方法，建立了计算该类问题的一种数值算法。且以简支梁为例，应用该方法具体地分析了考虑线性与非线性粘弹性时梁的强迫振动响应。关键词：粘弹性动力学数值方法响应1引言随着人们对结构材料物理与力学性质了解的不断深入，以及新型材料的广泛应用，粘弹性结构的动力学研究受得了愈来愈多的重视，数值计算己成
2、为一种主耍的分析手段。文［1］基于Newmark方法建立了粘弹性结构动力学响应的有限元法，但只涉及到线性问题，而且在每一计算步，卷积积分的计算量较大。桂洪斌等⑵提出将粘弹性结构的动力学方程进行Laplace变换，然后在相域屮求解问题，显然这种处理方式同样只适应于线性情况。当考虑几何，物理包括损伤等非线性因素时，粘弹性结构动力学的数值分析就变得十分复杂与困难了。文［3,4］通过将微分一积分型非线性动力学方程化成高阶的微分方程，最终由Runge-Kutta法來获得数值解，但只有当材料为标准线性固体或Pr
3、ony级数取较少项数时，这种方法才比较容易实现。本文针对材料服从积分型本构关系，且松弛模量为Prony级数形式的粘弹性结构动力学问题，建立了从时域内直接求解的数值算法，它是基于Newmark方法与Taylor方法而得出的。其'I1Taylor方法为卷积积分的递规算法，能使计算量显著降低［5］。文中通过对粘弹性梁的受迫振动分析来说明方法的应用。2简支粘弹性梁受迫振动的动力学方程(1)考虑一简支梁，其跨度为L,高为h,中点受横向周期激励H^Ot。设材料具非线性粘弹性，可由Leaderman161本构关系
4、描叙，则有恥（£（"）+式中Eo=E（0）,E（r）为松弛函数，g（w）为应变w的非线性函数：=fie2+冷'英屮0与7为常数。在小挠度情况下，梁的受迫振动方程为：12a%48()dx2Idx2(3)dr=H8(x-L/2)sin0tpy3(r-r)12dx480dx2[式中oA分别为梁的质量密度及横截面面积，力为Dirac函数,满足两个简支端条件，即w（0j）=%（0』）=w（厶『）=%（厶/）=0的挠度w（x,/）取为毗山）=工£•⑴sin字（4）为说明问题起见，式⑷中只考虑R=1的项，且令士⑴
5、=/（/）0将式⑷代入式⑶后，作Galerkin积分，并记D(t)=E(r)/E0且取无量纲位移q(t)=f(t)/h,经运算和整理后得到:q+gjtD*dq+a©=H()sin价兀2pAjL80"丿Hq=2HLpAhD^dq-q(t)+硕-力d(t~T)D*姑=q"+j響_⑺Id(t-T)当材料为线粘弹性吋，简支梁的受迫振动方程为q+co1D*dq=Hqsin0t(6)式(5)与式(6)屮的£)(/)可表为Prony级数的形式KD⑴=X()+》X/7(7)k=其中材料参量Xq、Xz>0,且X
6、。+£x严1。*=13数值算法对式(5)进行数值求解，设时间增量步为&,基于Newmark171方法，/+4时刻的运动方程为；讥》如皿+2*窃)心=H()sin(r+A/)⑻又彳+少=--彳)—0-[亠-1彳⑼oAtoAt2a丿式中。和2是按积分精度及稳定性耍求而决定的参数。再市Taylor181的卷积积分数值递规算法有(D*dg)g=““+[©+$-4)+城?】(10)(11)(D*dqy)心=亿+iI-1+妙鹽K1-Q/KK式中如=x°+£x』：m,其中們)=匕1胡叭心=险+£器+”必*。(汀
7、+&；『"1C.A/A=1"1其中灯严二圍)+X用(4-必)]严“,勢)彳蹭+X卅((4)3_(皿)3)”2而为时刻q的值。且当心1,即20时，=0o将式⑼~(12)代入式⑻后得到A(G+zv)‘+Bqg+F=0(12)式屮A=弘“+
8、；B=y°+；F二—[h°sin(r+Ar)+齐么+y2q,+y©+e叽q(+昭屮(q/-阳—S、_在计算步/,及F已知，通过Newton法解非线性方程(12)来求出f+d时刻q的值。然后再反过來计算『+&时刻0及刁的值这里人二柏'Z2=^X7对线粘弹性情形1-21a
9、丿,齐=Ar(l-A),yn—2At。(16)qg=f'〔b式屮Ff=Hqsin(z+Ar)+yoqt+y2qt+y3qt+心皿一e址?「以上算法的具体计算步骤可参考文献［7］,这里为节省篇幅，不再叙述。4算例及分析首先取材料为标准线性固体D(r)=X°+X百S此时，通过对式(6)微分及消去积分项的运算后，得到q+c}q+arq+3陶％+arc}(1-X】)g+笛(1一X=H{}(qsin仗+&cos檢)(17)为对比结果，本文同时对式(18)用二级三阶Runge-K
