2.2基本不等式教学设计

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2.2基本不等式(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第二章)一、教学目标1.结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，发展数学运算和数学建模素养熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题，通过基本不等式求最值，提升数学运算素养．2.会用基本不等式求解实际应用题．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.二、教学重难点1.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．(重点)2.会用基本不等式求解实际应用题．(难点)三、教学过程1.复习回顾已知x、y都是正数，(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值.(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．1.1问题探究，引发思考例：（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积时多少？3 追问（1）：前面我们总结了能用基本不等式解决的两类最值问题，本问题中的两个问题属于那两类问题吗？【师生活动】学生思考后回答：属于。第（1）题可以转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短，实际上是已知两个正数的积为定值，求当这两个数取什么值时，它们的和有最小值的问题。第（2）题可以转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大，实际上是已知两个正数的和为定值，求当这两个数取什么值时，它们的积有最大值的问题。追问（2）：第1课时中的例2给出了用基本不等式解决问题的数学模型：（I）如果正数x、y的积xy等于定值p，那么当x＝y时，和x＋y取得最小值2.；（II）如果正数x、y的和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，和x＋y取得最大值怎样把本题转化为为基本不等式的数学模型求解？【师生活动】学生思考后回答：第（1）题可以转化为数学模型（I）求解，第（2）题可以转化为数学模型（II）求解。学生进一步回答解答过程，教师予以规范，并板书。【设计意图】本例是典型而较简单的能够用基本不等式求解的问题。通过本例的教学，可以帮助学生理解如何用基本不等式模型理解和识别实际问题，从而用基本不等式解决问题，进一步发展学生的模型思想。1.2初步应用，理解概念例：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？【师生活动】学生独立阅读题目，理解题意，教师提出问题：（1）水池的总造价由什么来确定？（由池底的边长确定）（2）如何求水池的总造价？（设贮水池池底的相邻两条边的变成分别为xm，y m，水池的总造价为z元，则z=150×4 8003+1202×3x+2×3y=240 000+720(x+y)）3 （3）此问题可以用基本不等式的数学模型求解吗？为什么？（本例实际上是已知两个正数的积为定值，求当这两个数取什么值时，它们的和有最小值，以及最小值是多少，可以转化为数学模型（I）解决）【设计意图】本题的背景更加复杂，需引导学生简化问题，再用基本不等式模型求解。本例在上述问题的基础上，进一步培养学生用数学的眼光看问题的能力，提升他们的数学建模素养。1.3.归纳小结教师引导学生回顾本单元的内容，并回答下面的问题：（1）什么是基本不等式？如何推导得到基本不等式？（2）基本不等式的代数特征是什么？如何从几何图形上解释？（3）基本不等式的使用条件是什么？如何利用基本不等式解决最值问题？需要注意什么？（4）本节课有哪些数学思想方法？【设计意图】引导学生回顾总结本节课的学习内容和学习方法。在小结中，要注意引导学生体会研究一个特殊代数对象的一般过程四、课外作业1、用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m。当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？【设计意图】考察学生利用基本不等式的模型解决实际问题的能力。3