17极限

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1、九、微积分1.极限知识网络极限结构简图画龙点晴概念数列{}的极限:{}是一个无穷数列,是一个常数,如果对于预先给定的任意小的正数,总存在正整数N,使得只要正整数,就有-<,那么就说数列{}以为极限(或是数列{}的极限),记作[活用实例][例1]利用极限有定义证明[题解]任给>0,由,得.取N=[],当时,,所以[例2]利用极限有定义证明[题解]任给>0,由,得.取N=[],当时,恒成立,所以公式数列极限的四则运算法则：如果an=a,bn=b,那么[anbn]=ab;(abn)=b;;(an(C为常数).说明：（

2、1）法则的前提条件是an、bn都存在（如果是商的运算，bn=b0）;（2）法则可推广到有限个情形.几个常见数列的极限：（1）a=a(其中a为常数);（2）=0（其中p>0）;（3）=0(其中q<1);(4).无穷递缩等比数列(q<1)的各项和:数列前项的和,当无限增大时的极限,叫做这个无穷递缩等比数列各项的和,记为S,即[例3]等比数列{an}的首项a1=-1,公比q1前n项和为Sn，且，求Sn.[题解]，q5=-,得,故Sn=-所以Sn=[例4].已知数列{an}前n项和Sn=1+kan(其中，常数k0，且k

3、1).(1)求通项an的表达式（用n与k表示）;(2)若Sn=1，求实数k的取值范围.[题解]（1）a1=1+ka1，又k1，.2时，an=Sn-Sn-1=(1+kan)-(1+kan-1)，即(k-1)an=an-1,k1，.这说明{an}为公比q=0的等比数列，于是an=()n-1(k0,k1).（2）由题意得(1+kan)=1,k0，an=0，即()n-1=0，由此可知0<<1，解得实数k的取值范围是k<且k0.[例5]求下列各式的极限：（1）；（2）；（3）；（4）.[题解](1)=(2)=.(3)=[

4、=(4)==[例6]已知数列｛an｝,｛bn｝都是由正数组成的等比数列,公比分别为p,q,其中p>q,且p≠1,q≠1.设cn=an+bn,sn为数列｛cn｝的前n项和.求.[题解]下面分两种情况讨论.(Ⅰ)当p>1时，p>q>0,0<<1(Ⅱ)当p<1时，∵0

5、值并且无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a，记作f(x)=a;当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a，记作f(x)=a;如果f(x)=a且f(x)=a，那么说当x趋向于无穷大时，函数f(x)的极限是a，记作f(x)=a.三种变化方式时，函数的变化趋势与极限的关系：变化方式自变量x的变化趋势f(x)值的变化趋势极限表示从数值上看从数轴x上看从图象、表格上看从y-a看x

6、x取正值并且无限增大单方向，向右无限增大f(x)无限趋近于常数a差式y-a无限趋近于0f(x)=axx取负值并且绝对值无限增大单方向，向左绝对值无限增大f(x)无限趋近于常数a差式y-a无限趋近于0f(x)=axx取正值并且无限增大，x取负值并且绝对值无限增大双方向，向右无限增大和向左绝对值无限增大f(x)无限趋近于常数a差式y-a无限趋近于0f(x)=a当时函数f(x)的极限：当自变量无限趋近于（）时，如果函数无限趋近于一个常数a，就说当趋向时，函数的极限是a，记作.特别地，；.f(x)在点处的左极限：如果当

7、x从点x=x0左侧（即xx0）无限趋近于x0时，函数无限趋近于常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的右极限，记作.函数极限存在的一个充要条件:函数f(x)在x0处的极限存在的充要条件是:f(x)在x0处的左、右极限存在且相等，即f(x)=af(x)=f(x)=a.公式函数极限的四则运算法则：如果f(x)=a,g(x)=b,那么[f(x)g(x)]=ab;[f(x

8、g(x))=b;.说明:（1）[f(x)]=f(x)（C为常数）;（2）[f(x)]n=[f(x)]n(n);（3）这些法则对x的情况仍然成立;两个常用极限:xn=x;=0(n).[活用实例][例8]先分别写出下列函数在x=x0处的左极限与右极限，再说明它们在x=x0处是否存在极限？若存在，请求出它的极限值：f(x)=,x0=0;(2)g(x)=,x0=0.[题解]（1）f(x)=(x