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时间:2018-12-27
《数列极限的17种典型种方法》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、求数列极限的一些典型方法在数学分析的学习过程中,极限的思想和方法起着基础性的作用,极限的基本思想自始至终对解决分析学中面临的问题起关键作用,而数列极限又是极限的基础.涉及到数列极限的问题有很多,包括数列极限的求法、给定数列极限存在性的证明等.数列极限的证明和求解是较为常见的一种题型,数列极限反应的是数列变化的趋势,其证明和求解也是数学分析题中的重点,主要原因是其证法与求法没有固定的程序可循,方法多样,技巧性强,涉及知识面较广,因此在数学刊物上常可看到这类文章,但大多是对某一些或某一类数列极限的证明或求解,很少
2、系统地探索数列极限证法和求法的基本技巧和方法.随着社会的快速发展及数学本身的发展,迫切地需要对这些方法进行归纳.当前,有不少文献对数列极限求解方法做了一些探讨,如文献[1]-[10],但是方法的应用举例较少,不全面.在高等数学竞赛及研究生入学考试中,数列极限求解方法是经常出现的一种题型.这些都说明:数列极限求解方法是一个重要的研究课题.本文作者将对有关数列极限求解的方法做比较全面系统的归纳,同时举例进行说明.本文归纳了17种方法.1.定义法:设为数列,为定数,若对任给的正数,总存在正数N,使得当时,有,则称数
3、列收敛于.记作:.否则称为发散数列.例1.求证其中.证:当时,结论显然成立.当时,记,则,由得,任给,则当时,就有,即即当综上,例2.求解:<用定义求数列极限有几种模式:(1),作差,解方程,解出,则取或(2)将适当放大,解出;(3)作适当变形,找出所需N的要求。2.利用柯西收敛准则柯西收敛准则:数列收敛的充要条件是:正整数,使得当时,有.例3.证明:数列为收敛数列.证,取,当时,有由柯西收敛准则,数列收敛.例4.(有界变差数列收敛定理)若数列满足条件,则称为有界变差数列,试证:有界变差数列一定收敛证:令那么
4、单调递增,由已知知有界,故收敛,从而正整数,使得当时,有此即由柯西收敛准则,数列收敛.注:柯西收敛准则把定义中的与a的关系换成了与的关系,其优点在于无需借用数列以外的数a只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性.3.运用单调有界定理单调有界定理:在实数系中,有界的单调数列必有极.例5.证明数列(n个根式,a>0,n=1,2,)极限存在,并求.证:由假设知(1)用数学归纳法易证:此即证单调递增.用数学归纳法可证,事实上,由(1)(2)证得单调递增有上界,从而存在,对(1)式两边取极限得,解得和(舍去).4.利用迫
5、敛性准则(即两边夹法)迫敛性:设数列都以为极限,数列满足:存在正数N,当n>N时,有,则数列收敛,且.例6.求解:记,则由迫敛性得=.注:迫敛性在求数列极限中应用广泛,常与其他各种方法综合使用,起着基础性的作用.5.利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义:设为定义在上的一个函数,J为一个确定的数,若对任给的正数,总存在某一正数,使得对的任意分割T,以及在其上任意选取的点集,只要T<,就有,则称函数在上(黎曼)可积,数J为在上的定积分,记作.例7.解:原式===例8.求解:因为又=同理由迫敛性得=.注:数列极限为
6、“有无穷多项无穷小的和的数列极限,且每项的形式很规范”这一类型问题时,可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义.部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难,这时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论。6.利用(海涅)归结原则求数列极限归结原则:对任何,有例9.求解:==1例10.计算解:一方面,另一方面,由归结原则(取)由迫敛性得=注:数列是一种特殊的函数,而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质,有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限,从而使问题得到简化和解决.7.利用施
7、笃兹()定理求数列极限定理1:型:若是严格递增的正无穷大数列,它与数列一起满足,则有.其中为有限数,或+,或-.定理2:型:若是严格递减的趋向于零的数列,时且,则有.其中为有限数,或+,或-.例11.求极限.解:令则由定理1得==此题亦可由方法五(即定积分定义)求得,也较为简便,此略.例12.设求解:令,则单增,于是由定理2得=====方法六:Stolz定理:设n>N时,且,若(为有限数或无穷大),则例12:求(解:=.注:Stolz定理是一种简便的求极限方法,特别对分子、分母为求和型,利用Stolz定理有很
8、大的优越性.它可以说是求数列极限的洛必达(LHospita)法则.8.利用级数求和求数列极限。由于数列与级数在形式上的统一性,有时数列极限的计算可以转化为级数求和,从而通过级数求和的知识使问题得到解决.例13.求,(a>1)解:令,则,考虑级数.,∴此级数收敛.令=,再令=,∵∴==而因此,原式=.9.利用级数收敛性判断极限存在。由于级数与数列在形式上可以相互转化,使得级数与数列的性质有了内在的密切
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