求数列极限的几种典型方法

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1、求数列极限的几种典型方法首先我们要知道数列极限的概念:设为数列，为定数，若对任给的正数，总存在正整数N，使得当nN时有，则称数列收敛于，定数则称为数列的极限，并记作（）。若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列。下面我们来研究求数列极限的几种方法：方法一：应用数列极限的定义例一：证明，这里为正数。证明：由于故对任给的，只要取，则当时就有这就证明了。用定义求数列极限有几种模式：（1），作差，解方程，解出，则取或（2）将适当放大，解出；（3）作适当变形，找出所需N的要求。方法二：（迫敛性）设收敛数列都以为极限，数列满足：存在正整数,当时有：7则数列收敛，且。例二：求数列的

2、极限。解：记，这里（，则有由上式的,从而有数列是收敛于1的，因为任给的，取，则当时有，于是上述不等式两边的极限全为1，故由迫敛性证得。方法三：（单调有界定理）在实系数中，有界的单调数列必有极限。例三：设其中实数，证明数列收敛。证明：显然数列是递增的，下证有上界，事实上，于是由单调有界定理知收敛。7方法四：对于待定型利用e例四：求解：因e，而.=e即故方法五：（柯西收敛准则）数列收敛的充要条件是：对任给的，存在正整数N，使得当n，m时，有例五：证明任一无限十进小数=0.的n位不足近似（n=1，2，）所组成的数列满足柯西条件（从而收敛），其中为中的一个数，证明：记，不妨设，

3、则有7对任给的，取,则对一切，有这就证明了题目满足柯西条件，从而收敛。方法六：Stolz定理：设n>N时，且，若（为有限数或无穷大），则例六：求（解：=方法七：形如数列极限例七：设，其中k与为正数，则收敛于的正根。7解：因为，所以对一切n有，则是一有界数列，但非单调。事实上，若，则，考察由于故收敛，从而收敛，由于，则在等式两边取极限，得，故是方程的正根。方法八：利用积分求数列极限众所周知，如果在上正常可积，则，其中。对于反常积分，我们可以证明如下结论：命题1：设在（0，1)是单调的，x=0，x=1可以是的奇点，如果收敛，则命题2：设在（0，单调，且收敛，则例八：设常数，

4、试求极限解：令7则所以方法九：阶的估计法特别的：在用阶的估计来求极限过程中需要初等函数的泰勒公式常用估计式有：7更一般地：以上表达式中x可换成，其中，例如：例九：试证明证明：因为所以从而参考文献【1】数学分析上册第三版华东师范大学数学系编北京：高等教育出版社，2001（2006重印）。【2】数学分析上册华东师大第三版同步辅导及习题全解中国矿业尔大学出版社【3】分析中的基本定理和典型方法，宋国柱编北京：科学出版社，20047