7学习指导与习题解答6

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1、第六章群与环§6.1基本要求1.掌握二元代数运算、代数系统的定义，能够判断一运算是否为二元代数运算，运算是否满足交换律、结合律、分配律、幂等律、吸收律、消去律。2.掌握半群、群的定义以及群的性质，能够判断一代数系统是否为半群或群。3.掌握交换群的定义以及交换群中的三个指数律。4.掌握置换、轮换、不相杂轮换、对换等概念，会做置换的乘法，会将任意置换写成不相杂轮换的乘积。了解置换的顺向圈表示。5.掌握奇置换、偶置换的概念，了解置换的定性数与置换的图型及奇偶性的关系。6.掌握n次对称群、n次交代群的概念，会写出其中的元素。7.掌握子群的定义以及子群的判别条件。

2、掌握周期、循环群的定义和乘法群、加法群中周期的性质以及循环群中一元素作为生成元的充要条件。8.掌握群中合同、右陪集的定义。了解子群在大群中的右陪集的一些性质。掌握正规子群的概念以及一子群为大群的正规子群的充要条件。掌握并会正确应用Lagrange定理。9.掌握同态映射、同构映射、自同构映射的概念以及同态定理。会判断一个群与一乘法系统间的映射是否为同态映射、同构映射或自同构映射。10.掌握同态核的概念，了解若σ是群G到G′上的同态映射，则其核N为一正规子群。反过来，设N是G的一个正规子群，则有一个群G′以及一个G到G′上的同态映射σ，使N为σ的核。掌握并会

3、正确应用联系同态与同构的基本定理。了解σ为群G到G′上的同态映射时，G中子群与G′中子群的关系。11.掌握环、交换环、含壹环、消去环的定义及其性质，会判断。12.掌握整区、体、域、子环、子体、子域等概念，以及环的子集作成子环的充要条件。13.掌握并会应用理想、主理想的定义，掌握环中合同关系、剩余类的定义以及环中合同关系的性质。14.掌握环同态映射、同构映射、剩余环的定义，了解与群论中平行的环中的关于同态映射、同构映射的一些定理。15.掌握单纯环与极大理想的定义，以及二者的关系，了解一个环是域的充要条件。16.了解群与环在计算机科学中的应用--计数问题、纠

4、错码。§6.2主要解题方法6.2.1运算的性质对常见的运算性质诸如封闭、结合、交换、分配、幂等、吸收、消去等，要熟悉其定义，并且会推断某性质是否成立。后面对各种代数系统都是根据运算的性质来下的定义，因此，对某代数系统进行判断，都必然归结到对运算性质的判断上。例6.2.1设S=Q×Q，Q为有理数集合，﹡为S上的二元运算，对于任意的，∈S，有：﹡=，问：（1）﹡的单位元是什么？（2）当a≠0时，的逆元是什么？解：（1）设﹡的单位元是，则对于任意的∈S，有：

5、>﹡=，﹡=，因为是单位元，所以﹡=﹡=。故且，解得：。因此，﹡的单位元是<1，0>。（2）当a≠0时，设的逆元为，则﹡=<1，0>，而﹡=，故。解得：。因此，的逆元为<>。例6.2.2设（G，·）是一个群，若群G的每一个元素都满足方程x2=1（其中1是G的单位元），那么G是交换群。证明

6、：对任意的a，b∈G，则运算的封闭性有a·b∈G，故由题意知，a2=1，b2=1，（a·b）2=1。又（a·b）2=a·b·a·b，故a·b·a·b=1。因此，a·b=a·1·b=a·(a·b·a·b)·b由（G，·）是群，运算满足结合律，所以a·(a·b·a·b)·b=a2·（b·a）·b2=1·（b·a）·1=b·a即，a·b=b·a，所以，G是交换群。例6.2.3设（G，·）是一个半群，e是左壹，且对每一个x∈A，存在x’∈A，使得x·x’=e。试证明：对于任意的a，b，c∈A，如果a·b=a·c，则b=c。证明：对于任意的a，b，c∈A，如果a·

7、b=a·c，由题设条件知，对a∈A，存在a’∈A，使得a·a’=e。在等式a·b=a·c的两边同时左乘a’，得到a’·（a·b）=a’·（a·c）。因（G，·）是一个半群，运算满足结合律，故a’·（a·b）=（a’·a）·b=e·b，a’·（a·c）=（a’·a）·c=e·c。由e是左壹知，e·b=b，e·c=c。综上，b=c。6.2.2关于置换群要熟悉置换群的表示方法，一种是直接写，如，，另一种是将置换表示为不相杂轮换的乘积。要求正确地做置换的乘法。例6.2.4写出正四面体关于4个面的运动群（置换群）。解：首先给正四面体的四个面作上标记。取4为底面，在

8、保持4为底面的情况下，沿顺时针方向旋转正四面体0、1、2次，得到三个置换：（1）