2学习指导与习题解答-1

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1、第一章集合论基础§1.1基本要求1.掌握集合、子集、超集、空集、幂集、集合族的概念。懂得两个集合间相等和包含关系的定义和性质，能够利用定义证明两个集合相等。熟悉常用的集合表示方法。2.掌握集合的基本运算：并、交、余、差、直乘积、对称差的定义以及集合运算满足的基本算律，能够利用它们来证明更复杂的集合等式。3.掌握关系、二元关系、空关系、全域关系、相等关系、逆关系的概念以及关系的性质：自反性、对称性、反对称性、传递性。会做关系的乘积。了解关系的闭包运算：自反闭包、对称闭包、传递闭包。4.掌握等价关系、等价类、商集的概念，了解等价关系和划分的内在联系。5.掌握

2、部分序关系、部分序集、全序关系、全序集的概念以及部分序集中的特殊元素：最大元、最小元、极大元、极小元、上确界、小确界的定义。能画出有限部分序集的Hasse图，并根据图讨论部分序集的某些性质。6.掌握映射、映像、1-1映射等概念，会做映射的乘积。了解可数集合的概念，掌握可数集合的判定方法。7.了解关系在数据库中的应用（数据的增、删、改）以及划分在计算机中的应用。17§1.2主要解题方法1.2.1证明集合的包含关系方法一.用定义来证明集合的包含关系是最常用也是最基本的一种方法。要证明AB，首先任取xA，再演绎地证出xB成立。由于我们选择的元素x是属于A的任何

3、一个，而非特指的一个，故知给出的演绎证明对A中含有的每一个元素都成立。当A是无限集时，因为我们不能对xA，逐一地证明xB成立，所以证明时的假设“x是任取的”就特别重要。例1.2.1设A，B，C，D是任意四个非空集合，若AC，BD，则A×BC×D。证明：任取(x，y)A×B，往证(x，y)C×D。由(x，y)A×B知，xA，且yB。又由AC，BD知，xC，且yD，因此，(x，y)C×D。故，A×BC×D。方法二.还有一种证明集合包含关系的方法，基于集合的交和并运算的两个基本性质ABAÇB=AAÈB=B以及一些已经证出的集合等式。现在我们就用此方法将上例再证

4、一次。由下面例1.2.2证明的结论有（A×B）Ç（C×D）=（AÇC）×（BÇD），若AC，BD，则AÇC=A，BÇD=B，因此，（A×B）Ç（C×D）=A×B。因此，A×BC×D。1.2.2证明集合的相等方法一.若A，B是有限集，要证明集合A=B当然可以通过逐一比较两集合所有元素均一一对应相等即可，但当A，B是无限集时，一般通过证明集合包含关系的方法证得AB，BA即可。例1.2.2设A，B，C，D是任意四个集合，求证（A×B）Ç（C×D）=（AÇC）×（BÇD）。证明：首先证明（A×B）Ç（C×D）（AÇC）×（BÇD）。任取（x,y）（A×B）Ç（C

5、×D），则（x,y）（A×B），且（x,y）（C×D），故xA，yB，xC，yD，即xAÇC，yBÇD，因此，（x,y）（AÇC）×（BÇD）。由于以上证明的每一步都是等价的，所以上述论证反方向进行也是成立的。故可证得（AÇC）×（BÇD）（A×B）Ç（C×D）。因此，（A×B）Ç（C×D）=（AÇC）×（BÇD）。方法二.还有一种证明集合相等的方法，可以通过已证出的集合等式，通过相等变换将待证明的等式左（右）边的集合化到右（左）边的集合，或者两边同时相等变换到同一集合。例1.2.2设A，B，C是三个集合，已知AÇB=AÇC，AÈB=AÈC，求证B=C。

6、证法1：使用反证法。假设B≠C，则必存在x，满足xB，且xC，或者xB，且x17C。不妨设xB，且xC，①若xA，则xAÇB，但xAÇC，与AÇB=AÇC矛盾。②若xA，则xAÈB，但xAÈC，与AÈB=AÈC矛盾。所以原假设不对，B=C。证法2：利用已知以及集合运算的交换律、分配律与吸收律，有B=BÇ(AÈB)=BÇ(AÈC)=(BÇA)È(BÇC)=(CÇA)È(BÇC)=CÇ(AÈB)=CÇ(AÈC)=C1.2.3判断给定关系的性质给出一个关系，我们可以判断它是否具有自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性等性质，这既可以从以集合形式给出的关系来

7、判断，也可以从关系的关系图或关系矩阵出发来进行判断。R的集合表达式、关系图、关系矩阵三者均可以相互唯一确定，比较关系的这三种表示方法容易看出：关系的集合表达式便于书写，关系矩阵便于存储，而关系图直观、清晰。方法一.从关系的集合表达式判断关系的性质设R为集合A上的关系，（1）若IAÍR，则R具有自反性；（2）若IAÇR=f，则R具有反自反性；（3）若R-1=R，则R具有对称性；（4）若RÇR-1ÍIA，则R具有反对称性；（5）若R2ÍR，则R具有传递性。方法二.从关系图判断关系的性质定义1.2.1设A={x1，x2，…，xn}，R是A上的二元关系。以A中的

8、元素为顶点，在图中用“。”表示顶点。若xiRxj，则从顶点xi向xj引有向弧，称