自考高等数学一元函数积分学

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1、第五章一元函数积分学（二）下面为第六节Ⅳ第二换元积分法作换元，则得当左边积分计算比较困难，然而右边的积分却比较容易计算时，我们可以用上边的公式将一个难计算的不定积分变为较易计算的积分。上面方框内的公式叫第二换元积分公式，用第二换元积分公式计算不定积分的方法叫第二换元积分法。用第二换元积分法计算不定积分的常见情形有下面四种：（1）当被积函数中含有根式，可令直接将根式有理化。（2）当被积函数中含有根式时，可令x=asinx将根式变为三角函数的有理式。（3）当被积函数中含有根式时，可令x=atant将根式变为三角函数的有理式。（4）当

2、被积函数中含有根式时，可令x=asect将根式变为三角函数的有理式。典型例题例一求下列不定积分例二求下列不定积分根据三角函数的定义根据，我们可以画出它所在的三角形为图示例三计算不定积分由右图所示的直角三角形知：由右图所示直角三角形知下面是第七节例四求不定积分根据右图所示的直角三角形知：由右图所示直角三角形知例五计算不定积分Ⅴ分部积分公式由导数的乘法公式两边积分得或上面的积分公式叫分部积分公式，用分部积分公式计算不定积分的方法叫分部积分法。在分部积分公式中有时左边的积分困难，而后边的积分容易，则有机会将一个复杂的积分变为较易的积分

3、计算。能用分部积分公式将一个复杂的积分变为较易的积分的常见情形有下面几种：典型例题例一：求下列不定积分分部积分公式可以多次使用。在上面的例题中，用到微分公式请同学们有意识记住例二：计算下列的不定积分本题的结果学员可以作为公式使用。例为当a=0时有例三：计算不定积分移项：合并同类项得②移项，合并同类项得一般地，如果被积函数是下面的初等函数的乘积：第一位：反三角函数，对数函数；第二位：幂函数；第三位：三角函数，指数函数；大家可以将乘积中的两个函数按上面次序前者选作u，后面的选作。有些积分，可能既要用分部积分法，还要用换元积分法综合计

4、算，请同学们看下面的例题例四求不定积分解：我们多次计算过由积分公式也有上面结果，所以移项后合并同类项得移项，合并同类项得Ⅵ微分方程初步（1）基本概念①含有未知函数的导数的等式或，叫一阶微分方程。例如等式，等等都是微分方程。②若将一个确定的己知函数代入微分方程中，使得则函数叫微分方程的解。在一阶微分方程的解中含有任意常数C，则这种解叫通解（全体解、全部解）；在微分方程的解中没有任意常数C，则这种解叫特解。例如：代入微分方程中有：是微分方程的解，而且是通解。又例如：代入分方程中有：是微分方程的解，而且是特解。（2）一阶可分离变量的微

5、分方程及其解法（一阶微分方程在微分方程中较为简单）的微分方程叫一阶可分离变量的微分方程。②一阶可分离变量的微分方程的解法。第一步将等式移项，使等式的一边只有变量y的表达式和y的微分，等式的另一边只有变量x的表达式和变量x的微分，成为己量的等式：等二步，已经分离变量的等式两边积分求出各自的原函数典型例题例一：求下面微分方程的解解：第一步，移项，分离变量得第二步：两边积分求出原函数得化简得（两边同乘2）：解：第一步，移项，分离变量得第二步：两边积分求出原函数得化简为：（通解）解：移项，分离变量（其中b可以为0，也可以为1，2…任何常

6、数均可）第二步，两边积分同理可得化简：第三步：求特解，所以在解中x=0时y=1，代入解中得：2=C解：第一步（求微分方程解）：移项，分离变量第二步：两边积分：例二：某种产品的产量Q的增长率（即为变化率也称导数）且t=0时产量Q=0，求Q与t的关系一阶的可分离变量微分方程求解方法：1.分离变量2.两边积分（3）一阶线性微分方程及其求解公式典型例题，求下列微分方程的解的一阶线性微分方程，同公式：的一阶线性微分方程第一步：用公式先求微分方程的通解第二步，根据附加的初始条件，即在解中有x=1,y=2,所以有解：该方程虽然是一阶线性微分方

7、程，若用公式求解，则的系数必须为1，所以应先将微分方程化为标准型，将等式两边同除以(x-1)得，的一阶线性微分方程，解为：解：若以y=y(x)为未知函数，则等式，它既不是可分离变量微分方程，也不是一阶线性微分方程，但若以x=x(y)为未知函数，则方程可化为：则它是以x=x(y)为未知函数的一阶线性微分方程，这时p(y)=1,Q(y)=siny⑤某商品的市场价格p的，求该商品的价格与时间的关系：总结：一阶的可分离变量微分方程求解方法分两步：1.分离变量2.两边积分一阶线性微分方程求解方法：用公式法第十节Ⅶ定积分的概念和性质，定积分

8、的几何意义，定积分的牛----莱公式（1）定积分的概念：符号叫被积函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，x叫积分变量，a叫积分下限，b叫积分上限定积分的实际意义是：将区间[a,b]分成n个小区间，其端点顺序为：，使每一个相邻的两个端点的小区间的长度乘在该区间上