也说立体几何中利用图形变式解题

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1、也说立体几何中利用图形变式解题人大附中郑州分校刘凡邮编（452370）（本文发表在2008.2《数理化学习》哈师大P17.）在解答立体几何问题时，许多学生常因空间想象能力差、空间概念模糊，导致计算、论证等方面出现障碍。但若能注意到几何图形的变式及应用，则可以化难为易。下面就常见的几种利用图形变式解题的方法予以归纳，以飨读者。一空间图形平面化在立体几何解题时，为了解题目的需要，常把空间图形变式为平面图形。利用平面化后的图形与空间的关系，对比、寻觅图中“变”与“不变”的位置关系与元素，常可以巧妙地解决一些问题。常见的平面化的方法有：（1）展开直观图在解决一些几何体表面上

2、的最短问题时，常采用“以直代曲”，展开直观图形，使空间问题平面化的方法。例：长方体中，AB现有一只小虫从A点出发沿长方体表面爬行到达点，求小虫爬行的最短路程，并指出与最短路线相对的路线的条数。解析：如图为长方体侧面展开图，在矩形中，在矩形中，依题意，小虫爬行的最短路程为由图知与最短路线对应的路线有两条。（2）利用射影法平面化将立体图形中的元素位置影射到某平面中，使之转化为平面图形中的线线、点线关系，常可以达到化简之目的。例：在正方体中，E，F分别是的中点，设求解析：由于直观图中空间元素之间相互遮掩、交错，不易寻找问题的突破口。现利用影射法作图变式，即向面作垂直射影，

3、则问题转化为在正方形中，E为中点，G为AB中点，求证：DCA求E到距离即EH的长。从而迅速找到了解题思路，AB优化了解题过程。（3）利用“隔离”法平面化为了排除直观图中的空间元素之间的干扰因素，可以应用隔离法把要研究的对象从直观图抽出来，在平面内单独研究，可以花繁为简。例：在棱长为的正方体中试求异面直线与的距离。解析：连接则面与平面的距离等于异面直线与的距离。连接交于连BD交AC于O，面面过作于M，于是把问题转化为在直角梯形内研究。现抽出此直角梯形。由三角形面积公式可求得为所求。二等效变换图形位置灵活利用题设条件，等效变化图形位置关系，常可以突破解题难点，探求出巧妙

4、的解题方法。常见的图形位置变换方法有：（1）平移在保持线与线、线与面、面与面的位置关系不变的情况下，将某一元素平移到某特殊位置，聚散为整，化难为易。这是立体几何中常见的图形变式策略。例：在三棱柱中，AB=E，F分别为上的点，且求三棱锥的体积。解析：因为且F，F分别在直线上，故不论E，F在上的何位置，为定值。那么平移E与B重合，平移F与C重合时，三棱锥就平移到三棱锥所在位置。于是有一（2）对称例：已知四棱锥的底面为边长4的正方形。面分别为PB，AB的中点，求三棱锥的体积。解析：点P到面ＤＥＦ的距离不易直接求出。若注意到Ｅ为ＰＢ中点，且Ｐ，Ｂ两点到面ＤＥＦ的距离相等，于

5、是利用对称性，原问题就可以转化为求三棱锥的体积，再换顶点转化为求三棱锥的体积就很顺利的使问题得以解决。注：灵活的利用图形间的对称关系，进行图形变式，常可以得到简捷、优美的解题方法。（３）　旋转例：二面角的平面角为在平面内，于Ｂ，ＡＢ＝２，在内于Ｄ，ＣＤ＝３，ＢＤ＝１，Ｍ是棱上一动点，则ＡＭ＋ＣＭ的最小值是多少？解析：将平面绕棱旋转到和平面处于同一平面位置，如图Ｃ点落在位置，连接交ＢＤ于当与Ｍ重合时，ＡＭ＋ＣＭ最小。由，易求得AM+CM=注：当在求解某些问题时，如果能恰当地旋转某一图形（线，面，体等）的空间位置，则能收到事半功倍之效。三变换图形形状与特性利用图形的空间

6、关系，实施有效“增补”或“分割”，改变原图形的“形状”，为实现解决问题之目的而采用的方法。这种变换图形“形状”的变式是立体几何解题常用的方法。（1）图形增补例：三棱柱侧面的面积为S，棱到侧面的距离为求三棱柱的体积。解析：为求出三棱柱体积现在原图形基础上做出如下补形：过B作过作连接CD，则有三棱柱与三棱柱等积，而所以注：解题时，若能依据题设条件，对图形进行合理的增补使之变为某个我们所熟悉的或具有某些特殊性质的图形，然后借助于这些图形的有关性质，可以使许多问题化难为易。（2）图形分割例：在棱长为的正方形中，E，F分别为中点，求到面的距离。解析：直接求点到面的距离不易，可

7、先连接EF，则截面将四棱锥分割成两个等体积的三棱锥和，而的体积通过“转换”利用等积法求解。故为所求。注：在一些空间关系比较复杂的图形中或依据题设条件无法直接从图形中找到解题信息时，常可以采用图形分割的方法，将“复杂”图形分割成几个较为简单或具有特殊性的图形，然后分别求解，于是便可以达到解决问题的目的。EFACB