利用立体几何中的核心载体模型解题-正方体在立体几何解题中的应用

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1、万方数据2010年第2期中学数学教学利用立体几何中的核心载体模型解题——正方体在立体几何解题中的应用江西省奉新一中俞文琪(邮编：330700)目前全国大部分省份已开始使用新课标教材，如何利用新教材提供的知识、方法、思想进行解题，如何找到新教材中的核心知识、核心思想、核心载体和模型，让学生将所学的知识、方法、思想在模型中理解、应用、提升，培养学生的六种能力和创新意识，提高课堂的教学效果，是我们每位数学教师关注的事情．下面本文就立体几何中的核心模型——正方体进行了一些探究，供同f-：参考．1正方体模型的核心地位在高中数学必修2(北师大版第一章立体几何初步)和新课程标准

2、中明确指出“本章就是以长方体为载体来认识和理解并论证出空间的点、线、面的位置关系，在学习中理解体会这种从具体到抽象的思考问题的方法．”而正方体是长方体的核心模型吗?请看统计：1．1从以正方体为载体的例题、习题的分布情况来看必修2(北师大版)中，以正方体为载体的例习题有第25页例2，第30页例3，第39页例4，第26页习题4，5．第41页习题6，7．第48页习题4，第54页复习题中A组9，11，12，15，B组第5题，共10个习题，3个例题和第51页课题学习：正方体截面形状．第一章共有习题73个，以正方体为载体的模型占10／73=14％．1．2从以2009年8个新课

3、改省高考试题统计情况来看考查点、线、面的位置关系的省份有：广东、宁夏、海南、江苏、浙江，其中以正方体为载体考查点、线、面的位置关系有：宁夏、海南；以补体成正方体或分割成正方体(或内的几何体)和其他几何体考查的有：福建、辽宁、天津三省．又由于正方体也是学生最熟悉，最了解的空间模型，从而可知正方体模型自然成为新教材中立体几何初步和高考中的核心模型．2核心模型——正方体的性质从课本中的以正方体(如图)为载体的例题及习题中可归纳出性质：2．1体现点、线、面的位置关系中的平行、相交、垂直的有C如：AB／／CtD-，AC／／A-C，；AB与CC，异面垂直，AC，与BD、AD、

4、AB、AAl两两垂直，AAlj_平面ABCD，A1C上平面B1D。；AA。∥平面BCClB1，平面ABBlAl上平面ABCD，平面AB，D，／／平面C。BD等等．2．2体现点、线、面的度量关系中的角、距离、面积、体积关系式的有如：设正方体棱长为a，有面对角线AB。与面对角线AD。和13(2。都成60。，面对角线A。C。与BD和B。D。都成90。；A。C与棱A。A所成的角的余弦值E为辈，体对角线A。c与面ABCD所成角正弦值为等；点A到平面BDD。B。的距离为等n，棱A。B。到平面ABCD的距离为a，平面ABCD到平面A。B。ClD。的距离为a，点A到平面BDA，的

5、距离为雩n；S△仙lDl=擘(屈)2，u。一加。=丢口3等等．2．3体现正方体的切割可得一些棱柱、棱锥的有如：底面为等腰直角三角形的直三棱柱ABD—A。B，D。，过一顶点的三条侧棱两两垂直的正三棱锥A。一ABD，棱长为√2n的正四面体A，C。BD等等都可以看成是正方体切割后得到的．3利用正方体模型解题3．1将复杂的点、线、面的位置关系置于正方体中求解例1(2009年广东)给定下列四个命题：万方数据52中学数学教学2010年第2期肚C，D，，显然平面A。B。CD与平面ABC。D。相交，所以①错误；对于②取平面ABCD，它的垂线AA。，则发现通过AA。的平面与平面AB

6、CD垂直(这是线而垂直的判定定理)，所以②正确；对于③取两直线为AB、A。D。都垂直于同一直线AA，，但AB、A，D。异面，所以③错误；对于④取两平面为平面ABCD，平面ADD。A。，在平面ADD，A。内只要不垂直交线AD的直线就可发现它不垂直于平面ABCD(可以用反证法证明)，所以④正确．故选D．评注利用正方体中的点、线、面的位置关系解题。重要的是点、线、面不要局限于8个顶点、12条棱、6个面上，要让题设中的点或线或面“动起来”，即在不同的位置上进行判断，并且宜用筛选排除法，对于举不出反例命题，对它的真假判断可用所学知识再证明其正确．3．2利用正方体的性质求解例

7、2(2009年宁夏海南)如图，正方体舳CD—A。B。C。D，的棱长为1，线段B。D。上有两个动点E、F，且石EF一华，则下列结论中错误厶的是()A．ACj-BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A—BEF的体D．异面直线AE、BF所成的角为定值解对于A，由正方体性质知AC上平面BDDlBl，而BE∈平面BDD。B。，故ACj-BE，所以A正确；对于B，由正方体性质知B。D。∥BD，且BD量平面ABCD，故B，D1∥平面ABCD，所以B正确；对于C，由正方体性质知AA。／／平面BDD。B，，且它们相互间的距离是1厅÷Ac一等为一定值，即j棱锥A，一BEF的高厶为定值，

8、又点B到直